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SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5


EJEMPLO 5: (Con el "1")

x7 + 1 = (x + 1).(x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1)

x     1

No hay que olvidar que el "1" puede ser "cualquier potencia". Así que siempre puede ser tomado como base de cualquier potencia.


EXPLICACIÓN:

A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:

1) x7 es potencia séptima. Y el 1 también es potencia séptima, ya que existe un número que elevado a la séptima dá 1: Ese número no es otro que el 1, ya que 17 = 1 (¿qué es una potencia?). Y eso vale para cualquier otro ejemplo con cualquier otra potencia, ya que el 1 es siempre resultado de cualquier potencia a la que eleve al mismo número 1 (más sobre esto).

2) "Bajo las bases", que son x y 1. (¿qué son las bases?). Ya que son las que, elevadas a la séptima, dan x7 y 1.

3) Divido el polinomio (x7 + 1) por el polinomio (x + 1). Porque es una SUMA de potencias IMPARES, y entonces debo dividir por la SUMA de las bases, como ya vimos en el EJEMPLO 1. Utilizo el método de Ruffini:

  | 1   0   0   0   0   0   0   1 
  |
  |
-1|    -1   1  -1   1  -1   1  -1
    1  -1   1  -1   1  -1   1 | 0


(Explicación de la división por Ruffini)    (¿Cómo sería esta división sin usar "Ruffini"?)

El cociente es entonces: x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1 (¿por qué?). Y el resto es 0, como debe ser (¿por qué?).

4) Pongo el polinomio por el que dividí: (x + 1), multiplicando al cociente de la división: (x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1). Así, queda factorizado x7 + 1:

(x + 1).(x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1)

Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más sobre esto)


B- POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:

Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este ejemplo (y en todos los demás). La explicación completa de esta regla la pueden ver en:
REGLA PARA EL SEXTO CASO
 

1) El primer paso es igual que con el otro método: x7 es potencia séptima. 1 también es potencia séptima, ya que 17 dá 1.


2) Por ser x7 + 1 una SUMA de potencias IMPARES, tengo que usar la SUMA de la BASES, que son x y 1 (¿qué son las bases?). Voy "armando" el resultado:

x7 + 1 = (x + 1).(............................)


3) Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con x6 y el 10. Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("6", uno menos que el polinomio a factorizar), y al exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente de x en los siguientes términos, mientras que subo el exponente del 1. Los términos irán con los signos alternados (+ - + - + - + - + - +), porque así dice la regla que deben ser cuando se factoriza una SUMA. Me queda así:

x7 + 1 = (x + 1).(x6.10 - x5.11 + x4.12 - x3.13 + x2.14 - x1.15 + x016)


4) Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más simple:

x7 + 1 = (x + 1).(x6.1 - x5.1 + x4.1 - x3.1 + x2.1 - x.1 + 1.1)

              = (x + 1).(x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1)

En este caso particular, por trabajar con el número 1, resulta que todas las x quedan al final "sin coeficiente" (que es el 1 en realidad, pero no se pone), por lo cual es muy fácil aplicar esta regla en un caso como éste.

Para una explicación completa de esta regla consultar en: REGLA PARA EL SEXTO CASO



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del Caso están en CONCEPTOS - SEXTO CASO


"El 1 puede ser cualquier potencia" (¿qué es una potencia?)

El 1 elevado a cualquier exponente dá como resultado 1. Entonces, el 1 puede ser tomado como potencia de cualquier exponente que uno quiera. Por ejemplo:

13 = 1        El 1 es cubo. Porque existe un número que elevado al cubo dá 1.
14 = 1        El 1 es potencia cuarta. Porque existe un número que elevado a la cuarta dá 1.
15 = 1        El 1 es potencia quinta. Porque existe un número que elevado a la quinta dá 1.
16 = 1        El 1 es potencia sexta. Porque existe un número que elevado a la sexta dá 1.

Entonces, cuando en una Suma o Resta de dos potencias, uno de los términos es 1, puedo siempre decir que son potencias de igual grado, porque el 1 va a ser "cualquier potencia" que a mí me sirva. Por ejemplo:

x5 - 1 =  x5 - 15  

x5 - 1 es una resta de potencias quintas. Porque x5 es potencia quinta evidentemente, y el 1 también es potencia quinta, ya que es el resultado de elevar el 1 a la 5 (15 = 1). Es una Resta de Potencias Impares de Igual Grado, y puedo aplicar el Sexto Caso de Factoreo.


x10 - 1 =  x10 - 110  

x10 - 1 es una resta de potencias décimas. Porque x10 es potencia décima evidentemente, y el 1 también es potencia décima, ya que es el resultado de elevar el 1 a la 10 (110 = 1). Es una Resta de Potencias Pares de Igual Grado, y puedo aplicar el Sexto Caso de Factoreo.


¿Cómo sería la división si no uso la Regla de Ruffini?

Aquí la división con el procedimiento común para dividir polinomios:


 x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 |     x + 1                    
-x7 -  x6                                   x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1
         
      -x6 + 0x5
       x6 +  x5
                
           
  x5 + 0x4
             -x5 -  x4
                       
                  -x4 + 0x3
                   x4 +  x3
                            
                         x3 + 0x2
                        -x3 -  x2
                                  
                              -x2 + 0x
                               x2 +  x
                                       
                                     x  + 1
                                    -x  - 1
                                            
                                          0
                                          /



Verificación de la factorización:

Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado:

(x + 1).(x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1)  =
x7 - x6 + x5 - x4 + x3 - x2 + x + x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1  = x7 + 1

Se puede ver que hay términos "opuestos": -x6 y x6, x5 y -x5, etc. (¿qué es el opuesto?). Entonces se pueden "cancelar", ya que su suma dá cero. Sólo quedan los términos x7 y 1.
Así pude comprobar, mediante operaciones válidas, que el resultado de la factorización es igual al polinomio original. Quiere decir que la factorización es correcta.


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 5:

x5 - 1 = (x - 1).(x4 + x3 + x2 + x + 1)

x     1

a8 - 1 = (a - 1).(a7 + a6 + a5 + a4  + a3 + a2 + a + 1) ó

a      1   (a + 1).(a7 - a6 + a5 - a4  + a3 - a2 + a - 1)


b9 + 1 = (b + 1).(b8 - b7 + b6 - b5 + b4 - b3 + b2 - b + 1)

b      1




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de Potencias Impares)
EJEMPLO 2 (Resta de Potencias Impares)
EJEMPLO 3 (Resta de Potencias Pares)
EJEMPLO 4 (Suma de Potencias Pares)
EJEMPLO 6 (Con dos letras)
EJEMPLO 7 (Con fracciones)
EJEMPLO 8 (Con números decimales)

AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con el número en el primer término)
EJEMPLO 10 (Con los signos equivocados)
EJEMPLO 11 (Con un número multiplicando a la primera letra)
EJEMPLO 12 (Suma de potencias pares múltiplos de 3 u otros números impares)
EJEMPLO 13 (Con número y letra en el segundo término)
EJEMPLO 14 ("No se puede hacer con Ruffini")



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