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SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6


EJEMPLO 6: (Con dos letras)

x7 - y7 = (x - y).(x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + y6)

x     y

La división por Ruffini se complica un poco en estos casos. Hay que tratar a la segunda letra como si fuera un número.


EXPLICACIÓN:

A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:

1) x7 e y7 son potencias séptimas (¿qué es una potencia?), evidentemente. Entonces es una RESTA de potencias IMPARES de igual grado.

2) "Bajo las bases", que son x e y (¿qué son las bases?). Ya que son las que, elevadas a la séptima, dan x7 e y7.

3) Divido el polinomio (x7 - y7) por el polinomio (x - y). Porque es una RESTA de potencias IMPARES, y entonces debo dividir por la RESTA de las bases, como ya vimos en el EJEMPLO 1. Utilizo el método de Ruffini, pero hay que saber utilizar Ruffini en un polinomio con dos letras. Como la primera letra del polinomio es la x, tendríamos que tomar a la x como "la letra del polinomio", y a "y7" lo tratamos como si fuera un número. Así, voy a mostrar cómo se completa el polinomio x7 - y7

x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x - y7  

(Explicación más amplia de todo esto en RUFFINI CON DOS LETRAS)

Luego, la división sería así:

  | 1  0   0   0   0   0   0   -y7 
  |
  |
 y|    y   y2  y3   y4  y5   y6  y7
                                  
    1  y   y2  y3   y4  y5   y6 |0


 (¿Cómo sería esta división sin usar "Ruffini"?)


El cociente es entonces: x6 + yx5 + y2x4 + y3x3 + y4x2 + y5x + y6  
(¿por qué?). Y el resto es 0, como debe ser (¿por qué?).

4) Pongo el polinomio por el que dividí: (x - y), multiplicando al cociente de la división: (x6 + yx5 + y2x4 + y3x3 + y4x2 + y5x + y6). Así, queda factorizado  x7 - y7:

(x - y).(x6 + yx5 + y2x4 + y3x3 + y4x2 + y5x + y6)

Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más sobre esto)


B- POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:

Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este ejemplo (y en todos los demás). La explicación completa de esta regla la pueden ver en:
REGLA PARA EL SEXTO CASO


1) El primer paso es igual que con el otro método: x7 e y7 son potencias séptimas. Entonces, x7 - y7 es una RESTA de potencias IMPARES de igual grado.


2) Por ser x7 - y7 una RESTA de potencias IMPARES, tengo que usar la RESTA de la BASES, que son x e y (¿qué son las bases?). Voy "armando" el resultado:

x7 - y7 = (x - y).(............................)


3) Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con x6 e y0. Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("6", uno menos que el polinomio a factorizar), y el exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente de x en los siguientes términos, mientras que subo el exponente de la y. Los términos irán todos positivos (+ + + + + +), porque así dice la regla que deben ser cuando se factoriza una RESTA. Me queda así:

x7 - y7 = (x - y).(x6.y0 + x5.y1 + x4.y2 + x3.y3 + x2.y4 + x1.y5 + x0y6)


4) Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más simple:

x7 - y7 = (x - y).(x6.1 + x5.y + x4.y2 + x3.y3 + x2.y4 + x.y5 + 1.y6)

          = (x - y).(x6 + x5.y + x4.y2 + x3.y3 + x2.y4 + x.y5 + y6)


Para una explicación completa de esta regla consultar en: REGLA PARA EL SEXTO CASO



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del Caso están en CONCEPTOS - SEXTO CASO


¿Cómo se usa la Regla de Ruffini en un polinomio con dos letras?

Cuando tenemos que dividir un polinomio con dos letras y queremos usar la Regla de Ruffini, tenemos que elegir una de las letras para que sea "la letra" del polinomio, y a la otra letra "tratarla como si fuera un número". ¿Qué significa esto? Veamos en algunos ejemplos:

a) En x7  - y7, puedo ver a la x como la letra (variable) del polinomio, y a "y7" como si fuera un número. Entonces, cuando completo el polinomio, las potencias que agrego van a ser las potencias que faltan de x (0x6, 0x5, 0x4, etc.); mientras que -y7 va a ser el número solo (
Término independiente). Así es como lo completaría:

x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x - y7  

Digo que es un polinomio "en x", y agrego las potencias de x que faltan.

b) En a5 + b5, puedo ver a la "a" como la letra del polinomio, y a "b5" como si fuera un número. Entonces, agrego las potencias de "a" que faltan, y b5 va a ser el término independiente:

a5 + 0a4 + 0a3 + 0a2 + 0a + b5

Digo que es un polinomio en "a", y agrego las potencias de "a" que faltan.


Una vez que tenemos el polinomio completo, ubicamos los coeficientes en la parte superior del diagrama de Ruffini (¿qué es el coeficiente?). El último número del diagrama de Ruffini es la segunda letra con su signo, como lo sería por ejemplo el número 8 en x3 + 8. Vamos a hacer la división del primer ejemplo x7 - y7, para ver eso. Decimos entonces que éste es un polinomio "en x", es decir que la letra del polinomio es la x. Y el último "número" o "término independiente" sería entonces -y7:

1x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x - y7  


  | 1  0   0   0   0   0   0   -y7 
  |
  |
  |    
                                  


Y como en este Sexto Caso tengo que dividir por la RESTA de las bases (x - y), debo poner a la "y" donde antes ponía un número, a la izquierda de la barra vertical:

  | 1  0   0   0   0   0   0   -y7 
  |
  |
 y|    
                                  

Luego, debo aplicar la Regla como siempre, la única diferencia es que se presentarán multiplicaciones y sumas entre letras, en vez de entre números:

Recordemos todos los pasos:

1) Bajo el primer coeficiente, es decir el "1" de la izquierda:

  | 1  0   0   0   0   0   0   -y7 
  |
  |
 y|    
                                  
    1


2) Luego multiplico "y.1 = y", y pongo el resultado en la segunda columna, debajo del segundo coeficiente (0):

  | 1  0   0   0   0   0   0   -y7 
  |
  |
 y|    y
                                  
    1


3) Luego sumo la columna: 0 + y = y

  | 1  0   0   0   0   0   0   -y7 
  |   +
  |
 y|    y
                                  
    1  y


4) Ahora multiplico y.y = y2. Pongo el resultado en la columna siguiente, y la sumo:
0 + y2 = y2

  | 1  0   0   0   0   0   0   -y7 
  |   +   +
  |
 y|    y   y2
                                  
   1  y    y2


5) Multiplico y.y2 = y3. Pongo el resultado en la columna siguiente, y la sumo: 0 + y3 = y3

  | 1  0   0   0   0   0   0   -y7 
  |   +   +   +
  |
 y|    y   y2  y3
                                  
    1  y   y2  y3


6) Multiplico y.y3 = y4. Pongo el resultado en la columna siguiente, y la sumo: 0 + y4 = y4

  | 1  0   0   0   0   0   0   -y7 
  |   +   +   +   +
  |
 y|    y   y2  y3  y4
                                  
    1  y   y2  y3  y4



Bueno, ya se va viendo como sigue la cosa. Hay que seguir el mismo procedimiento hasta llegar al último número. Allí, la suma queda así: -y7 + y7 = 0, ya que son términos iguales con signo opuesto (¿qué es el opuesto?). Entonces el resto dá 0, como tiene que ser en este Sexto Caso:

  | 1  0   0   0   0   0   0   -y7 
  |                           +
  |
 y|    y   y2  y3   y4  y5   y6  y7
                                  
    1  y   y2  y3   y4  y5   y6 |0


En rojo están entonces los coeficientes del cociente (¿qué es el coeficiente?). Recordemos que hay que agregarle ahora las letras al polinomio, y habíamos dicho que éste era un polinomio "en x", entonces debemos agregar todas las x con las potencias correspondientes. Empezando con un grado menos que el dividendo y bajando hasta llegar al término independiente. Entonces, en este ejemplo tengo que empezar con la x6 (un grado menos que 7):

1x6 + yx5 + y2x4 + y3x3 + y4x2 + y5x1 + y6

Y quitando los "unos" que están de más:

COCIENTE = x6 + yx5 + y2x4 + y3x3 + y4x2 + y5x + y6


¿Cómo sería la división si no uso la Regla de Ruffini?

Aquí la división con el procedimiento común para dividir polinomios:


 x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x - y7 |     x - y                            
-x7 + yx6                                   x6 + yx5 + y2x4 + y3x3 + y4x2 + y5x + y6
         
      yx6 +  0x5
    - yx6 + y2x5
                
           
y2x5 +  0x4
           -y2x5 + y3x4
                      
                   y3x4 + 0x3
                  -y3x4 + y4x3
                            
                          y4x3 + 0x2
                         -y4x3 + y5x2
                                    
                                y5x2 +  0x
                               -y5x2 + y6x
                                          
                                       y6x - y7
                                      -y6x + y7
                                               
                                             0
                                             /



Verificación de la factorización:

Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado:

(x - y).(x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + y6) = x7 + x6y + x5y2 + x4y3 + x3y4 + x2y5 + xy6 - x6y - x5y2 - x4y3 - x3y4 - x2y5 - xy6 - y7 = x7 - y7

Se puede ver que hay términos "opuestos": x6y y -x6y, x5y2 y -x5y2, etc.
(¿qué es el opuesto?). Entonces se pueden "cancelar", ya que su suma dá cero. Sólo quedan los términos x7 e y7. Así pude comprobar, mediante operaciones válidas, que el resultado de la factorización es igual al polinomio original. Quiere decir que la factorización es correcta.


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 6:

a5 + b5 = (a + b).(a4 - ba3 + b2a2 - b3a + b4)

a     b


a8 - z8 = (a - z).(a7 + za6 + z2a5 + z3a4  + z4a3 + z5a2 + z6a + z7) ó

a     z    (a + z).(a7 - z a6 + z2 a5 - z3 a4  + z4 a3 - z5 a2 + z6 a - z7)


b9 - y9 = (b - y).(b8 + yb7 + y2b6 + y3b5 + y4b4 + y5b3 + y6b2 + y7b + y8)

b     y




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de Potencias Impares)
EJEMPLO 2 (Resta de Potencias Impares)
EJEMPLO 3 (Resta de Potencias Pares)
EJEMPLO 4 (Suma de Potencias Pares)
EJEMPLO 5 (Con el "1")
EJEMPLO 7 (Con fracciones)
EJEMPLO 8 (Con números decimales)

AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con el número en el primer término)
EJEMPLO 10 (Con los signos equivocados)
EJEMPLO 11 (Con un número multiplicando a la primera letra)
EJEMPLO 12 (Suma de potencias pares múltiplos de 3 u otros números impares)
EJEMPLO 13 (Con número y letra en el segundo término)
EJEMPLO 14 ("No se puede hacer con Ruffini")



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