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SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7


EJEMPLO 7: (Con fracciones)

x6 - 1/64 = (x - 1/2).(x5 + 1/2 x4 + 1/4 x3 + 1/8 x2 + 1/16 x + 1/32) 

x     1/2

1/64 es una potencia sexta, ya que (1/2)6 es igual a 1/64


EXPLICACIÓN:

A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:

1) x6 es potencia sexta. Entonces, averiguo si 1/64 es también potencia sexta de algún número (¿qué es una potencia?). Calculo la raíz sexta de 1/64, que es igual a 1/2 (¿cómo calculo la raíz de una fracción?). O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 6 me dá 1/64?". Ha de ser una fracción, y me doy cuenta que la fracción 1/2 cumple con eso, porque (1/2)6 = 1/64
(¿
cómo me doy cuenta de eso?)

2) "Bajo las bases", que son x y 1/2 (¿qué son las bases?). Ya que son las que, elevadas a la sexta, dan x6 y 1/64.

3) Divido el polinomio (x6 - 1/64) por el polinomio (x - 1/2). Por ser una RESTA de potencias PARES, puedo dividir por la RESTA de las bases como también por la SUMA de las bases, como ya vimos en el EJEMPLO 3. Pero elijo hacerlo por la RESTA. 

Para hacer la división utilizo el método de Ruffini:

   | 1   0    0    0     0    0   -1/64 
   |
   |
1/2|    1/2  1/4  1/8  1/16  1/32  1/64
     1  1/2  1/4  1/8  1/16  1/32 | 0


(Explicación de la división por Ruffini)    (¿Cómo sería esta división sin usar "Ruffini"?)

El cociente es entonces: x5 + 1/2 x4 + 1/4 x3 + 1/8 x2 + 1/16 x + 1/32
(¿por qué?). Y el resto es 0, como debe ser (¿por qué?).

Por último, pongo el polinomio por el que dividí: (x - 1/2), multiplicando al cociente de la división: (x5 + 1/2 x4 + 1/4 x3 + 1/8 x2 + 1/16 x + 1/32). Así, queda factorizado x6 - 1/64:

(x - 1/2).(x5 + 1/2 x4 + 1/4 x3 + 1/8 x2 + 1/16 x + 1/32)

Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más sobre esto)  


B- POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:

Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este ejemplo (y en todos los demás). La explicación completa de esta regla la pueden ver en:
REGLA PARA EL SEXTO CASO


1) El primer paso es igual que con el otro método: x6 es potencia sexta. Entonces, averiguo si 1/64 es también potencia sexta de algún número
(¿qué es una potencia?). Calculo la raíz sexta de 1/64, que es igual a 1/2
(¿cómo calculo la raíz de una fracción?). O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 6 me dá 1/64?". Ha de ser una fracción, y me doy cuenta que la fracción 1/2 cumple con eso, porque (1/2)6 = 1/64 (¿cómo me doy cuenta?)

2) Por ser x6 - 1/64 una RESTA de potencias PARES, puedo usar la RESTA de la bases o la SUMA de las bases, que son x y 1/2 (¿qué son las bases?). Decido hacerlo con la RESTA de las bases. Y entonces voy "armando" el resultado:

x6 - 1/64 = (x - 1/2).(............................)


3) Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con x5 y (1/2)0 . Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("5", uno menos que el polinomio a factorizar), y el exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente de x en los siguientes términos, mientras que subo el exponente de 1/2. Los términos irán todos positivos (+ + + + + +), porque así dice la regla que deben ser cuando se factoriza una RESTA. Me queda así:

(x - 1/2).[x5.(1/2)0 + x4.(1/2)1 + x3.(1/2)2 + x2.(1/2)3 + x1.(1/2)4 + x0.(1/2)5]



4) Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más simple:

(x - 1/2).[x5.1 + 1/2 x4. + 1/4 x3 + 1/8 x2 + 1/16 x1 + 1/32 x0]

(x - 1/2).(x5 + 1/2 x4. + 1/4 x3 + 1/8 x2 + 1/16 x + 1/32)


Y si lo hiciera por la SUMA de las bases, quedaría así:

(x + 1/2).(x5 - 1/2 x4 + 1/4 x3 - 1/8 x2 + 1/16 x - 1/32)


Para una explicación completa de esta regla consultar en: REGLA PARA EL SEXTO CASO



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del Caso están en CONCEPTOS - SEXTO CASO


¿Cómo sé si una fracción es una potencia determinada? (¿qué es una potencia?)

Por ejemplo ¿cómo me doy cuenta si 1/64 es una potencia sexta?:

Tengo que mirar el número de arriba (numerador) y el número de abajo (denominador), y ver que ambos sean potencias sextas, o lo que es lo mismo, que sean números que tengan raíz sexta exacta:

El 1 es potencia sexta. Lo es del número 1, ya que 16 es igual a 1.
El 64 es potencia sexta. Lo es del número 2, ya que 26 es igual a 64.
Entonces, 1/64 es potencia sexta. Y lo es de 1/2. Y podemos comprobarlo luego, calculando
(1/2)6, que dá 1/64 por supuesto.

Otro ejemplo: ¿cómo me doy cuenta si 8/125 es potencia tercera?:

Para que así sea, tanto el numerador como el denominador deben ser potencias terceras. Veamos:

8 es potencia tercera. Lo es del número 2, ya que 23 es igual a 8.
125 es potencia tercera. Lo es del número 5, ya que 53 es igual a 125.
Entonces, 8/125 es potencia tercera. Y lo es de 2/5. Y podemos comprobarlo calculando
(2/5)3, que dá 8/125.

(Más sobre esto en: FRACCIÓN CUADRADO - FRACCIÓN CUBO)

También puedo darme cuenta hallando la raíz de la fracción. Raíz tercera, cuarta, quinta, etc., depende de la potencia que quiero saber si es. Y para eso conviene saber que la raíz de una fracción es igual a otra fracción formada por la raíz del numerador sobre la raíz del denominador. Con un ejemplo se entiende mejor:



Allí estamos usando la Propiedad Distributiva entre la raíz y la división (recordemos que la fracción es una división ¿por qué?):

  


¿Cómo sería la división en este ejemplo si no uso la Regla de Ruffini?

Aquí la división con el procedimiento común para dividir polinomios:


 x6 +  0x5  +  0x4  +  0x3  +  0x2 +  0x - 1/64 |     x - 1/2                            
-x7 + 1/2x5                                     x5 + 1/2x4 + 1/4x3 + 1/8x2 + 1/16x + 1/32
           
     1/2x5 + 0x4
    -1/2x5 + 1/4x4
                  
           
1/4x4 +   0x3
           -1/4x4 + 1/8x3
                         
                    1/8x3 +   0x2
                   -1/8x3 + 1/16x2
                                  
                            1/16x2 +  0x
                           -1/16x2 + 1/32x
                                          
                                     1/32x - 1/64
                                    -1/32x + 1/64
                                                  
                                               0
                                               /



Verificación de la factorización:

Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado:

(x - 1/2).(x5 + 1/2 x4 + 1/4 x3 + 1/8 x2 + 1/16 x + 1/32)  =
x6 + 1/2 x5 + 1/4 x4 + 1/8 x3 + 1/16 x2 + 1/32 x - 1/2 x5 - 1/4 x4 - 1/8 x3 - 1/16 x2 - 1/32 x - 1/64 = 
x6 - 1/64


Se puede ver que hay términos "opuestos": 1/2 x5 y -1/2 x5, 1/4 x4 y -1/4 x4, etc.
(¿qué es el opuesto?). Entonces se pueden "cancelar", ya que su suma dá cero. Sólo quedan los términos x7 e y7. Así pude comprobar, mediante operaciones válidas, que el resultado de la factorización es igual al polinomio original. Quiere decir que la factorización es correcta.


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 7:

a5 + 32/243 = (a + 2/3).(a4 - 2/3 a3 + 4/9 a2 - 8/27 a + 16/81)

a       2/3

x3 - 27/8 = (x - 3/2).(x2 + 3/2 x + 9/4 x)

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b       2/5       (b + 2/5).(b3 - 2/5 b2 + 4/25 b - 8/125)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de Potencias Impares)
EJEMPLO 2 (Resta de Potencias Impares)
EJEMPLO 3 (Resta de Potencias Pares)
EJEMPLO 4 (Suma de Potencias Pares)
EJEMPLO 5 (Con el "1")
EJEMPLO 6 (Con dos letras)
EJEMPLO 8 (Con números decimales)

AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con el número en el primer término)
EJEMPLO 10 (Con los signos equivocados)
EJEMPLO 11 (Con un número multiplicando a la primera letra)
EJEMPLO 12 (Suma de potencias pares múltiplos de 3 u otros números impares)
EJEMPLO 13 (Con número y letra en el segundo término)
EJEMPLO 14 ("No se puede hacer con Ruffini")



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