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SUMA O RESTA DE POTENCIAS
DE IGUAL GRADO
/ EXPLICACIÓN
DEL EJEMPLO 7
EJEMPLO 7: (Con fracciones)
x6 - 1/64 = (x - 1/2).(x5 + 1/2 x4 + 1/4 x3
+ 1/8 x2 + 1/16 x + 1/32)
x 1/2
1/64 es una potencia sexta, ya que (1/2)6
es igual a 1/64
EXPLICACIÓN:
A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:
1) x6 es potencia sexta. Entonces, averiguo si 1/64 es también potencia
sexta de algún número (¿qué
es una potencia?). Calculo la raíz sexta de 1/64, que es igual a 1/2
(¿cómo calculo la raíz de una fracción?). O pienso: "¿Hay algún número elevado a
la 6 me dá 1/64?". Ha de ser una fracción, y me doy cuenta que la
fracción 1/2 cumple con eso, porque (1/2)6 = 1/64
(¿cómo
me doy cuenta de eso?)
2) "Bajo las bases", que son x y 1/2
(¿qué
son las bases?). Ya que son las que, elevadas a la sexta, dan x6 y
1/64.
3) Divido el polinomio (x6 - 1/64) por el polinomio (x - 1/2). Por
ser una RESTA de potencias PARES, puedo dividir por la RESTA de las bases como
también por la SUMA de las bases, como ya
vimos en el EJEMPLO 3. Pero elijo hacerlo por la
RESTA.
Para hacer la división utilizo el método
de Ruffini:
| 1 0
0 0
0 0 -1/64
|
|
1/2| 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64
1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 |
0
(Explicación
de la división por Ruffini)
(¿Cómo sería esta división sin usar
"Ruffini"?)
El cociente es
entonces: x5 + 1/2 x4 + 1/4 x3 + 1/8 x2
+ 1/16 x + 1/32
(¿por
qué?). Y el resto
es 0, como debe ser (¿por
qué?).
Por último, pongo el polinomio por el que
dividí: (x - 1/2), multiplicando al cociente de la división: (x5 +
1/2 x4 + 1/4 x3 + 1/8 x2 + 1/16 x + 1/32). Así, queda factorizado
x6 - 1/64:
(x - 1/2).(x5 + 1/2 x4 + 1/4 x3
+ 1/8 x2 + 1/16 x + 1/32)
Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más
sobre esto)
B- POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:
Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este
ejemplo (y en todos los demás). La explicación completa de esta regla la
pueden ver en:
REGLA
PARA EL SEXTO CASO
1) El primer paso
es igual que con el otro método: x6 es potencia sexta. Entonces, averiguo si 1/64 es también potencia
sexta de algún número
(¿qué
es una potencia?). Calculo la raíz sexta de 1/64, que es igual a 1/2
(¿cómo calculo la raíz de una fracción?). O pienso: "¿Hay algún número elevado a
la 6 me dá 1/64?". Ha de ser una fracción, y me doy cuenta que la
fracción 1/2 cumple con eso, porque (1/2)6 = 1/64 (¿cómo
me doy cuenta?)
2) Por ser x6 - 1/64 una RESTA de potencias PARES, puedo usar la
RESTA de la bases o la SUMA de las bases, que son x y 1/2 (¿qué
son las bases?). Decido hacerlo con la RESTA de las bases. Y entonces
voy "armando" el resultado:
x6 - 1/64 = (x - 1/2).(............................)
3) Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con x5 y (1/2)0
. Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("5", uno
menos que el polinomio a factorizar), y el exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente de x en los siguientes términos, mientras que subo el
exponente de 1/2. Los términos irán todos positivos (+ + + + + +), porque así dice la regla que deben ser cuando se
factoriza una RESTA. Me queda así:
(x - 1/2).[x5.(1/2)0 + x4.(1/2)1 + x3.(1/2)2
+ x2.(1/2)3 + x1.(1/2)4 +
x0.(1/2)5]
4) Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más
simple:
(x - 1/2).[x5.1 + 1/2 x4. + 1/4 x3
+ 1/8 x2 + 1/16 x1 + 1/32 x0]
(x - 1/2).(x5 + 1/2 x4. + 1/4 x3
+ 1/8 x2 + 1/16 x + 1/32)
Y si lo hiciera por la SUMA de las bases, quedaría así:
(x +
1/2).(x5 - 1/2 x4 + 1/4 x3 - 1/8 x2 + 1/16 x
- 1/32)
Para una explicación
completa de esta regla consultar en: REGLA PARA EL SEXTO CASO
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los conceptos generales del Caso están en CONCEPTOS
- SEXTO CASO
¿Cómo sé si una fracción es una potencia determinada? (¿qué
es una potencia?)
Por ejemplo ¿cómo me doy cuenta si 1/64 es una potencia sexta?:
Tengo que mirar el número de arriba (numerador) y el número de abajo
(denominador), y ver que ambos sean
potencias sextas, o lo que es lo mismo, que sean números que tengan raíz sexta
exacta:
El 1 es potencia sexta. Lo es del número 1, ya que 16 es
igual a 1.
El 64 es potencia sexta. Lo es del número 2, ya que 26 es
igual a 64.
Entonces, 1/64 es potencia sexta. Y lo es de 1/2.
Y podemos comprobarlo luego, calculando
(1/2)6, que dá 1/64 por supuesto.
Otro ejemplo: ¿cómo me doy cuenta si 8/125 es potencia tercera?:
Para que así sea, tanto el numerador como el denominador deben ser potencias
terceras. Veamos:
8 es potencia tercera. Lo es del número 2, ya que 23
es igual a 8.
125 es potencia tercera. Lo es del número 5, ya que 53
es igual a 125.
Entonces, 8/125 es potencia tercera. Y lo es de 2/5.
Y podemos comprobarlo calculando
(2/5)3, que dá 8/125.
(Más
sobre esto en: FRACCIÓN
CUADRADO - FRACCIÓN CUBO)
También puedo darme cuenta hallando la raíz de la fracción. Raíz tercera,
cuarta, quinta, etc., depende de la potencia que quiero saber si es. Y para eso
conviene saber que la raíz de una fracción es igual a otra fracción formada
por la raíz del numerador sobre la raíz del denominador. Con un ejemplo se
entiende mejor:
Allí estamos usando la Propiedad Distributiva entre la raíz y la división (recordemos que la fracción es una división
¿por qué?):
¿Cómo sería la división en este ejemplo si no uso la Regla de Ruffini?
Aquí la división con el procedimiento común para dividir polinomios:
x6 + 0x5 + 0x4
+ 0x3 + 0x2 + 0x - 1/64 | x
- 1/2
-x7 + 1/2x5
x5 + 1/2x4 + 1/4x3 + 1/8x2 + 1/16x +
1/32
1/2x5 + 0x4
-1/2x5 + 1/4x4
1/4x4 + 0x3
-1/4x4
+ 1/8x3
1/8x3 + 0x2
-1/8x3 + 1/16x2
1/16x2 + 0x
-1/16x2 + 1/32x
1/32x - 1/64
-1/32x + 1/64
0
/
Verificación de la factorización:
Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado:
(x - 1/2).(x5 + 1/2 x4 + 1/4 x3
+ 1/8 x2 + 1/16 x + 1/32) =
x6 + 1/2 x5 + 1/4 x4 +
1/8 x3 + 1/16 x2 + 1/32 x - 1/2 x5 - 1/4 x4
- 1/8 x3 - 1/16 x2 - 1/32 x - 1/64 =
x6 - 1/64
Se puede ver que hay términos "opuestos": 1/2 x5 y -1/2 x5,
1/4 x4 y -1/4 x4, etc.
(¿qué
es el opuesto?).
Entonces se pueden "cancelar", ya que su suma dá cero. Sólo quedan
los términos x7 e y7. Así pude comprobar, mediante operaciones válidas, que el resultado de la
factorización es igual al polinomio original. Quiere decir que la factorización
es correcta.
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 7:
a5 + 32/243 = (a + 2/3).(a4 - 2/3 a3 + 4/9 a2
- 8/27 a + 16/81)
a
2/3
x3 - 27/8 = (x - 3/2).(x2 + 3/2 x + 9/4 x)
x 3/2
b4 - 16/625 = (b - 2/5).(b3 + 2/5 b2 + 4/25 b
+ 8/125) ó
b
2/5 (b + 2/5).(b3 - 2/5
b2 + 4/25 b - 8/125)
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1 (Suma de Potencias Impares)
EJEMPLO 2 (Resta de Potencias Impares)
EJEMPLO 3 (Resta de Potencias Pares)
EJEMPLO 4 (Suma de Potencias Pares)
EJEMPLO 5 (Con el "1")
EJEMPLO 6 (Con dos letras)
EJEMPLO 8 (Con números decimales)
AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con el número en el primer término)
EJEMPLO 10 (Con los signos equivocados)
EJEMPLO 11 (Con un número multiplicando a la
primera letra)
EJEMPLO 12 (Suma
de potencias pares múltiplos de 3 u otros números impares)
EJEMPLO 13 (Con número y letra en el segundo
término)
EJEMPLO 14 ("No se puede hacer con
Ruffini")
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