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SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8


EJEMPLO 8: (Con números decimales)

x5 + 0,00001 = (x + 0,1).(x4 - 0,1x3 + 0,01x2 - 0,001x + 0,0001)

x          0,1

También se puede hacer pasando los números decimales a fracción


EXPLICACIÓN:

A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:

1) x5 es potencia quinta. Entonces, averiguo si 0,00001 es también potencia quinta de algún número (¿qué es una potencia?). Calculo la raíz quinta de 0,00001, que es igual a 0,1 (cálculo mental de raíces de un número decimal). O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 5 me dá 0,00001?". Ha de ser un número decimal, y me doy cuenta de que 0,1 cumple con eso, porque 0,15 = 0,00001 (¿cómo me doy cuenta?)

2) "Bajo las bases", que son x y 0,1 (¿qué son las bases?). Ya que son las que, elevadas a la quinta, dan x5 y 0,00001.

3) Divido el polinomio (x5 + 0,00001) por el polinomio (x + 0,1). Por ser una SUMA de potencias IMPARES, puedo dividir por la SUMA de las bases, como ya vimos en el EJEMPLO 1. Para hacer la división utilizo el método de Ruffini:

    | 1    0     0      0       0     0,00001 
    |
    |
-0,1|    -0,1  0,01  -0,001  0,0001   -0,00001
      1  -0,1  0,01  -0,001  0,0001  |  0


(Explicación de la división por Ruffini)    (¿Cómo sería esta división sin usar "Ruffini"?)

El cociente es entonces: x4 - 0,1x3 + 0,01x2 - 0,001x + 0,0001 (¿por qué?). Y el resto es 0, como debe ser (¿por qué?).

Por último, pongo el polinomio por el que dividí: (x - 0,1), multiplicando al cociente de la división: (x4 - 0,1 x3 + 0,01 x2 - 0,001x + 0,0001). Así, queda factorizado x5 + 0,00001:

(x + 0,1).(x4 - 0,1x3 + 0,01x2 - 0,001x + 0,0001)

Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más sobre esto)  


B- POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:

Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este ejemplo (y en todos los demás). La explicación completa de esta regla la pueden ver en:
REGLA PARA EL SEXTO CASO


1) El primer paso es igual que con el otro método: x5 es potencia quinta. Entonces, averiguo si 0,00001 es también potencia quinta de algún número (¿qué es una potencia?). Calculo la raíz quinta de 0,00001, que es igual a 0,1 (¿cómo calculo raices de un número decimal?). O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 5 me dá 0,00001?". Ha de ser un número decimal, y me doy cuenta de que 0,1 cumple con eso, porque 0,15 = 0,00001
(¿cómo me doy cuenta?)

2) Por ser x5 + 0,00001 una SUMA de potencias IMPARES, puedo usar la SUMA de la bases, que son x y 0,1 (¿qué son las bases?). Y entonces voy "armando" el resultado:

x5 + 0,00001 = (x + 0,1).(............................)


3) Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con x4 y (0,1)0 . Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("4", uno menos que el polinomio a factorizar), y el exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente de x en los siguientes términos, mientras que subo el exponente de 0,1. Los términos irán con los signos alternados (+ - + - + -), porque así dice la regla que deben ser cuando se factoriza una SUMA. Me queda así:

(x + 0,1).(x5.0,10 - x4.0,11 + x3.0,12 - x2.0,13 + x1.0,14 - x0.0,15)


4) Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más simple:

(x + 0,1).(x5.1 - x4.0,1 + x3.0,01 - x2.0,001 + x1.0,0001 - x0.0,00001)

(x + 0,1).(x5 - 0,1x4 + 0,01x3 - 0,001x2 + 0,0001x - 0,00001)


Para una explicación completa de esta regla consultar en: REGLA PARA EL SEXTO CASO



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del Caso están en CONCEPTOS - SEXTO CASO


¿Cómo me doy cuenta si un número decimal es determinada potencia?

La forma más fácil es calcular la raíz correspondiente. Por ejemplo:

Para saber si 0,00001 es potencia quinta, tengo que calcular

Para saber si 0,000027 es potencia tercera, tengo que calcular

Y sino, se puede calcular mentalmente la raíz de la parte "significativa" del número (lo que no son ceros), y luego contar las cifras decimales (los números que están detrás de la coma). Si la cantidad de cifras decimales se puede dividir exactamente por el índice de la raíz, entonces el número tiene raíz exacta de ese índice (¿qué es el índice?). Y entonces, es potencia de ese exponente. Veamos varios ejemplos:

a. Para saber si 0,000027 es potencia tercera:

1) Calculo mentalmente la raíz tercera de 27: dá 3. (Si no me doy cuenta de ese tipo de cosas, mejor no usar este método)

2) Cuento las cifras decimales de 0,000027: Son 6 cifras decimales (números detrás de la coma). El número 6 (las cifras) es divisible por el número 3 (el índice de la raíz "tercera") (¿qué es el índice?). Entonces, puedo asegurar que 0,000027 tiene raíz tercera exacta, es decir: es potencia tercera. 

3) Y hasta puedo calcular esa raíz tercera o "la base". Es el número "3", pero le tengo que agregar ceros para que quede con 2 cifras decimales. ¿Por qué 2 cifras? Eso se calcula dividiendo 6:3 = 2. Es decir: El número de cifras decimales de 0,000027 (seis), dividido el índice de la raíz que quiero calcular (tres). Tengo que agregar ceros adelante del 3, para que quede con dos cifras decimales: 0,03


b. Para saber si 0,00001 es potencia quinta:

1) Calculo mentalmente la raíz quinta de 1, que es fácil: dá 1. (Si no me doy cuenta de ese tipo de cosas, mejor no usar este método)

2) Cuento las cifras decimales de 0,00001: Son 5 cifras decimales. El número 5 (las cifras) es divisible por el número 5 (el índice de la raíz "quinta"). Entonces, puedo asegurar que 0,00001 tiene raíz quinta exacta, es decir: es potencia quinta. 

3) Y hasta puedo calcular esa raíz quinta o "la base". Es el número "1", con una cifra decimal, y eso es por como dió la división: 5:5 = 1. Agrego ceros adelante del 1, para que quede con una cifra decimal: 0,1


c. Para saber si 0,000016 es raíz cuadrada:

1) La raíz cuadrada de 16 es 4.

2) 6 (cifras decimales) dividido 2 (índice de la raíz cuadrada) es igual a 3. El resultado va a tener 3 cifras decimales.

3) El resultado es 0,004. El número 4, pero con 3 cifras decimales.


e. Para saber si 0,000125 es raíz tercera:

1) La raíz tercera de 125 es 5.

2) 6 (cifras decimales) dividido 3 (índice de la raíz "tercera") es igual a 2. El resultado va a tener 2 cifra decimal.

3) El resultado es 0,05. El 5, pero con 2 cifras decimales.


¿Cómo sería la división en este ejemplo si no uso la Regla de Ruffini?

Aquí la división con el procedimiento común para dividir polinomios:


 x5  +  0x4  +  0x3  +  0x2 +  0x + 0,00001 |     x + 0,1                            
-x5 - 0,1x4                                   x4 - 0,1x3 + 0,01x2 - 0,001x + 0,0001
           
     -0,1x4 +  0x3
      0,1x4 + 0,01x3
                    
             
0,01x3 +  0x2
             -0,01x3 - 0,001x2
                              
                      -0,001x2 +      0x
                       0,001x2 + 0,0001x
                                          
                                 0,0001x + 0,00001
                                -0,0001x - 0,00001
                                                  
                                               0
                                               /



¿Qué es el "índice" de una raíz?

"El numerito de ahí arriba". Por ejemplo:

En el índice es 3. Es una raíz tercera.
En el índice es 6. Es una raíz sexta.


Verificación de la factorización:

Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado:

(x + 0,1).(x4 - 0,1x3 + 0,01x2 - 0,001x + 0,0001) =
x5 - 0,1x4 + 0,01x3 - 0,001x2 + 0,0001x + 0,1x4 - 0,01x3 + 0,001x2 - 0,0001x + 0,00001 =
x5 - 0,00001

Se puede ver que hay términos "opuestos": -0,1x4 y 0,1x4, 0,01x3 y -0,01x3, etc.
(¿qué es el opuesto?). Entonces se pueden "cancelar", ya que su suma dá cero. Sólo quedan los términos x5 y 0,00001. Así pude comprobar, mediante operaciones válidas, que el resultado de la factorización es igual al polinomio original. Quiere decir que la factorización es correcta.


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 8:

a6 - 0,000064  = (a - 2).(a5 + 0,2a4 + 0,04a3 + 0,008a2 + 0,0016a + 0,00032) ó

a         0,2        (a + 2).(a5 - 0,2 a4 + 0,04 a3 - 0,008 a2 + 0,0016a - 0,00032)


x3 + 0,000027 = (x + 0,03).(x2 - 0,03x + 0,0009)

x         0,03


b4 - 0,0625 = (b - 0,5).(b3 + 0,5b2 + 0,25b + 0,125) ó

b        0,5     (b + 0,5).(b3 - 0,5 b2 + 0,25b - 0,125)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de Potencias Impares)
EJEMPLO 2 (Resta de Potencias Impares)
EJEMPLO 3 (Resta de Potencias Pares)
EJEMPLO 4 (Suma de Potencias Pares)
EJEMPLO 5 (Con el "1")
EJEMPLO 6 (Con dos letras)
EJEMPLO 7 (Con fracciones)

AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con el número en el primer término)
EJEMPLO 10 (Con los signos equivocados)
EJEMPLO 11 (Con un número multiplicando a la primera letra)
EJEMPLO 12 (Suma de potencias pares múltiplos de 3 u otros números impares)
EJEMPLO 13 (Con número y letra en el segundo término)
EJEMPLO 14 ("No se puede hacer con Ruffini")



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