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SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9


EJEMPLO 9: (Con el número en el primer término)

-125 + x3 = x3 - 125 = (x - 5).(x2 + 5x + 25) 

                 x      5

En un ejemplo como éste, puedo cambiar el orden para que quede la letra en el primer término, y así queda listo para aplicar la división de Ruffini.


EXPLICACIÓN:

A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:

Para poder aplicar la división de Ruffini necesitamos que la letra esté en primer lugar. Además, en este ejemplo, al ser el primer término negativo, no está tan claro si se trata de una SUMA o una RESTA. Pero puedo cambiar el orden de los términos (¿por qué?), y así me queda: x3 - 125, que claramente es una RESTA de potencias de igual grado. A partir de aquí el procedimiento es igual al de los ejemplos anteriores:

1) x3 es potencia tercera. Entonces, averiguo si 125 es también potencia tercera de algún número (¿qué es una potencia?). Calculo la raíz tercera de 125, que es igual a 5. O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 3 me dá 125?", y me doy cuenta que el número 5 cumple con eso, ya que 53 = 5.5.5 = 125. (¿cómo me doy cuenta de eso?)

2) "Bajo las bases", que son x y 5 (¿qué son las bases?). Ya que son las que, elevadas a la tercera, dan x3 y 125.

3) Divido el polinomio (x3 - 125) por el polinomio (x - 5). Porque en la RESTA de potencias IMPARES, debo dividir por la RESTA de las bases. Es decir: RESTA SE DIVIDE POR RESTA. Utilizo el método de Ruffini:

  | 1   0   0  -125
  |
  |
 5|     5   25  125  
    1   5   25 | 0


(Explicación de la división por Ruffini)    (¿Cómo sería esta división sin usar "Ruffini"?)

El cociente es entonces: x2 + 5x + 25 (¿por qué?). Y el resto es 0, como debe ser (¿por qué?).

4) Pongo el polinomio por el que dividí: (x - 5), multiplicando al cociente de la división: (x2 + 5x + 25). Así, queda factorizado x3 - 125:

(x - 5).( x2 + 5x + 25)

Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más sobre esto)


B- POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:

Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este ejemplo (y en todos los demás). La explicación completa de esta regla la pueden ver en:
REGLA PARA EL SEXTO CASO


Por el orden en que vienen dados los términos (-125 + x3), no está tan claro si se trata de una SUMA o una RESTA de potencias de igual grado. Pero puedo cambiar el orden de los términos (¿por qué?), y así me queda: x3 - 125, que claramente es una RESTA de potencias de igual grado. A partir de aquí el procedimiento es igual al de los ejemplos anteriores:

1) El primer paso es igual que con el otro método: x3 es potencia tercera. Entonces, averiguo si 125 es también potencia tercera de algún número
(¿qué es una potencia?). Calculo la raíz tercera de 125, que es igual a 5. O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 3 me dá 125?", y me doy cuenta que el número 5 cumple con eso, ya que 53 = 5.5.5 = 125.
(¿cómo me doy cuenta de eso?)


2) Por ser x3 - 125 una RESTA de potencias IMPARES, tengo que usar la RESTA de las bases, que son x y 5 (¿qué son las bases?). Voy "armando" el resultado:

x3 - 125 = (x - 5).(...............)


3) Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con x2 y el 50. Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("2", uno menos que el polinomio a factorizar), y el exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente de x en los siguientes términos, mientras que subo el exponente del número 5. Los términos irán todos positivos, porque así dice la regla que deben ser cuando se factoriza una RESTA. Me queda así:

x3 - 125 = (x - 2).(x2.50 + x1.51 + x0.52)


4) Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más simple:

x3 - 125 = (x - 5).(x2.1 + x.5 + 1.25 )

            = (x - 5).(x2 + 5x + 25)


Para una explicación completa de esta regla consultar en: REGLA PARA EL SEXTO CASO



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del Caso están en CONCEPTOS - SEXTO CASO


Otro Ejemplo de esta situación: Con los términos desordenados, pero el primer término es positivo

Es necesario presentar otro ejemplo de esta situación, donde el número está primero, pero ambos términos son positivos:

32 + x5 =

En este ejemplo, si queremos hacerlo con la división de Ruffini, debemos también cambiar el orden de los términos, para que la letra quede primero:

x5 + 32 = (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)
x      2

Pero si decidimos hacerlo con la Regla para el Sexto Caso, no hace falta que le cambiemos el orden, porque el primer término es positivo y por eso se ve claramente que 32 + x5 es una Suma. Entonces podemos aplicar la Regla tal como es para la Suma:

32 + x5 = (2 + x).(24.x0 - 23x1 + 22x2 - 21x3 + 20.x4) = (2 + x).(16 - 8x + 4x2 - 2x3 + x4)
2      x


¿Por qué puedo cambiar el orden de los términos?

-125 + x3 es una suma de números Reales (¿qué son los números Reales?), ya que -125 es un número real y x3 es la variable o "indeterminada" de un polinomio (¿qué es una variable?) que puede ser reemplazada por un número Real. Y resulta que la suma de números Reales cumple la Propiedad Conmutativa, esa que dice que "se puede cambiar el orden":

"Sean a y b dos números Reales: a + b = b + a"

O sea que, por ser -125 y x3 dos números Reales, vale que -125 + x3 = x3 - 125.


¿Y en este ejemplo, no podríamos "sacar el menos afuera" dejando los términos en el mismo orden?

Sí, es verdad. -125 + x3 es igual a -(125 - x3) (¿por qué?). Entonces podríamos ver este ejemplo como una Resta de potencias, y resolverlo con la Regla para el Sexto Caso. Con el método de la división por Ruffini no, porque la letra tendría que estar en el primer término. Cuando sabemos usar la Regla, tenemos menos restricciones sobre la forma que tiene que tener el polinomio. En cambio si usamos el método de la división por Ruffini, la forma tiene que ser "letra más o menos número" (xn + a ó xn - a, siendo a un número), en ese orden, o "letra más o menos letra" (xn + yn ó xn - yn, siendo x e y letras).
Si lo hacemos con la Regla para el Sexto Caso, podemos hacer así:

-125 + x3 = -(125 - x3) = -(5 - x).(52.x0 + 51.x1 + 50.x2) = -(5 - x).(25 + 5x + x2)
                     5     x

Este resultado, por supuesto que es igual a (x - 5).(x2 + 5x + 25), que es cómo nos quedó cuando factorizamos de la otra manera (por la Regla) (¿por qué son iguales?).


¿Y la Regla, no se podría aplicar igual con el primer término negativo (-125 + x3)? (Regla Sexto Caso)

Nunca me puse a pensarlo. Pero por pura curiosidad lo podemos probar. Hay que tener mucho cuidado con los signos, ya que ¿estamos ante una suma o ante una resta? Eso es necesario saberlo, porque la regla nos dice qué signos poner en cada caso. -125 + x3 podría interpretarse como una suma, sin embargo si cambiamos el orden sería una resta. Entonces ¿ponemos los "signos alternados" o ponemos "todos signos positivos"? Para comprobar si se puede modificar la Regla de modo que abarque casos como éste, podemos probar toda la variedad de ejemplos posibles, a ver sí dá igual (ni yo sé que va a pasar). A ver: 

Ejemplo:  -64 + x6

Si cambiamos el orden queda una resta y el resultado sería (x - 2).(x5 + 2x4 + 4x3 + 8x2 + 16x + 32). Pero probemos usar la Regla en el orden en que viene el polinomio:

-64 + x6 tomado como Suma de -64 más x3. Las bases serían... ¿-2 y x? Y, parece que tuviera que tomar la primera base como -2, porque si la tomara como 2, sería como si estuviera factorizando 64 + x6, una suma de potencias Pares. Entonces, pruebo con -2 como primera base, y, según la Regla, alterno los signos (+ - + - + - + -)

¡CUIDADO! Lo que sigue no es correcto, estamos aplicando una Regla que no sabemos si es válida:

-64 + x6 = (-2 + x).[(-2)5 - (-2)4.x + (-2)3.x2 - (-2)2.x3 + (-2).x4 - x5]
-2     x
            = (-2 + x).(-32 - 16.x - 8x2 - 4x3 -2x4 - x5)

Y cambiando el orden de (-2 + x), tenemos que eso es igual a: 

(x - 2).(-32 - 16x - 8x2 - 4x3 -2x4 - x5)     ¡NO ES IGUAL!

No dá lo mismo que cuando lo hice correctamente: (x - 2).(x5 + 2x4 + 4x3 + 8x2 + 16x + 32)
Los signos del segundo polinomio dieron todos opuestos. Y no hay forma de que esas dos expresiones sean iguales: son opuestas. Entonces, aplicar la Regla así no sirve. ¿Podríamos modificar la Regla, agregando qué hacer en casos como éste? ¿algún cambio de signos? ¡Hum! Me parece que la Regla se complicaría mucho con lo que habría que agregarle: "Cuando es una suma, pero el primero es negativo, hay que hacer tal y tal cosa. Y si los dos son negativos hay que hacer tal otra..." No. Me parece que lo mejor es modificar la forma del polinomio ANTES de aplicar la Regla, tal como hicimos en este ejemplo. Para que el polinomio tenga la forma que tiene que tener para aplicarle la Regla tal como la conocemos. Éstas son la posibles modificaciones previas que habría que hacer, y daré ejemplos de cada una de ellas en los EJEMPLOS AVANZADOS:

1) -125 + x3 = x3 - 125    CAMBIO DE ORDEN, PARA QUE QUEDE UNA RESTA

2) -x5 - 243 = -(x5 + 234) "SACAR EL MENOS ADELANTE", Y QUEDA UNA SUMA


¿Cómo sería la división en este ejemplo si no uso la Regla de Ruffini?

Aquí la división con el procedimiento común para dividir polinomios:


 x3 + 0x2 + 0x - 125 |     x - 5     
-x3 + 5x2              x2 + 5x + 25
         
      5x2 +  0x
     -5x  + 25x
                
            25x - 125
           -25x - 125
                     
                   0
                   /



¿Qué es una "variable" o la "indeterminada" del polinomio?

"Variable" se le llama "algo" que puede cambiar de valor, que puede tomar distintos valores. Y la representamos con alguna letra, porque no tiene un valor determinado, sino que se le puede poner cualquier valor. Por eso en el polinomio se la llama la "indeterminada".  La letra es reemplazable por algún número. En el tema que llaman "Valor numérico de un polinomio", reemplazábamos la letra del polinomio por algún valor. Por ejemplo:

Sea P(x) = x3 + 2x - 1, para calcular su Valor Numérico cuando x = 4, reemplazamos la variable "x" por el valor que le queremos dar a esa variable: el valor 4:

P(4) = 43 + 2.4 - 1 = 64 + 8 - 1 = 71

Y así, podemos reemplazar a la "variable" x por cualquier otro valor, por ejemplo -2:

P(-2) = (-2)3 + 2.(-2) - 1 = -8 - 4 - 1 = -13

Y lo opuesto a "variable" es "constante". En Matemática se le dice "constante" a algo que no puede cambiar de valor, a algo que tiene siempre el mismo valor, a un número determinado. A los números se le dice "constantes", para diferenciarlos de las "variables", que son las letras. Por ejemplo, en la siguiente expresión:

2x + 3

La x es una variable, y el 3 es una constante. 


¿Por qué -125 + x3 es igual a -(125 - x3)?

Ya hablé mucho de este tipo de igualdades, sobre todo en el Segundo Caso. Aquí mostraré de una forma sencilla por qué -(125 - x3) es igual a -125 + x3, lo cual es lo mismo (si A = B, entonces B = A):

A -(125 - x3) le voy a sacar el paréntesis. Y como delante del paréntesis hay un signo menos, debo cambiarle los signos a cada uno de los términos que estaba dentro del paréntesis (regla para sacar paréntesis):

-(125 - x3) = -125 + x3.

Luego de sacar paréntesis, llego a la igualdad que estaba buscando.


¿Por qué son iguales (x - 5).(x2 + 5x + 25) y -(5 - x).(25 + 5x + x2)?

-(5 - x).(25 + 5x + x2) = (x - 5).(x2 + 5x + 25)

Porque -(5 - x) es igual a (x - 5), ya que -(5 - x) = -5 + x al sacar el paréntesis, y luego
 -5 + x = x - 5 si cambio el orden.

Y 25 + 5x + x2 es igual a x2 + 5x + 25, si cambio el orden.


Verificación de la factorización:

Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado:

(x - 5).(x2 + 5x + 25) = x3 + 5x2 + 25x - 5x2 - 25x - 125 = x3 - 125 = -125 + x3

Se puede ver que hay términos "opuestos": 5x2 y -5x2, 25x y -25x  (¿qué es el opuesto?). Entonces se pueden "cancelar", ya que su suma dá "0". Sólo quedan los términos x3 y -125.
Así pude comprobar, mediante operaciones válidas, que el resultado de la factorización es igual al polinomio original. Quiere decir que la factorización es correcta.


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 9:

-243 + x5 = x5 - 243 = (x - 3).(x4 + 3x3 + 9x2 + 27x + 81)

                 x      3

8 + a3 = a3 + 8 = (a + 2).(a2 - 2a + 4)

            a     2

-81 + b4 =  b4 - 81 = (b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27) ó
                b      3
                           = (b + 3).(b3 - 3b2 + 9b - 27)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de Potencias Impares)
EJEMPLO 2 (Resta de Potencias Impares)
EJEMPLO 3 (Resta de Potencias Pares)
EJEMPLO 4 (Suma de Potencias Pares)
EJEMPLO 5 (Con el "1")
EJEMPLO 6 (Con dos letras)
EJEMPLO 7 (Con fracciones)
EJEMPLO 8 (Con números decimales)

AVANZADOS:
EJEMPLO 10 (Con los signos equivocados)
EJEMPLO 11 (Con un número multiplicando a la primera letra)
EJEMPLO 12 (Suma de potencias pares múltiplos de 3 u otros números impares)
EJEMPLO 13 (Con número y letra en el segundo término)
EJEMPLO 14 ("No se puede hacer con Ruffini")



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