Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

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SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO / EJERCICIOS RESUELTOS

 

EJEMPLO 1: (Suma de Potencias Impares)

x5 + 32 = (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)
x        2


  | 1  0  0  0  0  32
  |
  |
-2|   -2  4 -8  16 -32
    1 -2  4 -8  16 |0


Cociente: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16


Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 25.
Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: (x + 2).  Y la división se suele hacer con la regla de Ruffini.
Divido (x5 + 32):(x + 2), y el resultado de la división es: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16. El resto dá 0. Se factoriza como (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16), es decir: "la suma de las bases multiplicada por el resultado de la división".

Pero también hay otra forma de factorizar este tipo de polinomio, que consiste en aplicar una reglita para construir el cociente sin hacer ninguna división. En cada ejemplo, se dá la explicación para hacerlo de las dos maneras.

La variedad de los siguientes ejemplos está pensada para las distintas situaciones que se presentan al utilizar el método de la división con la regla de Ruffini. Con el método de la regla, casi no hay variedad de situaciones: todos los ejercicios resultan prácticamente iguales.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1





EJEMPLO 2: (Resta de Potencias Impares)

x3 - 8 = (x - 2).(x2 + 2x + 4)

x     2

Cuando es una resta de potencias impares, hay que dividir por la resta de las bases.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2





EJEMPLO 3: (Resta de Potencias Pares)

b4 - 81 = (b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27) ó (b + 3).(b3 - 3b2 + 9b - 27)

b      3

En las restas de potencias pares se puede dividir tanto por la resta como por la suma de las bases.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3





EJEMPLO 4: (Suma de Potencias Pares)

x4 + 16 = x4 + 16

En general no se factorizan las sumas de Potencias pares. Porque algunas no son divisibles ni por la suma ni por la resta de las bases. Pero las potencias que son múltiplo de 3, 5, u otros números impares, sí se pueden factorizar. Aunque, como es un poco diferente su factorización, no lo suelen ver en el Nivel Medio. Consultar en EJEMPLO 12 un ejemplo de esto.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4





EJEMPLO 5: (Con el "1")

x7 + 1 = (x + 1).(x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1)

x     1

No hay que olvidar que el "1" puede ser "cualquier potencia". Así que siempre puede ser tomado como base de cualquier potencia.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5





EJEMPLO 6: (Con dos letras)

x7 - y7 = (x - y).(x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + y6)

x     y

La división por Ruffini se complica un poco en estos casos. Hay que tratar a la segunda letra como si fuera un número.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6





EJEMPLO 7: (Con fracciones)

x6 - 1/64 = (x - 1/2).(x5 + 1/2 x4 + 1/4 x3 + 1/8 x2 + 1/16 x + 1/32) 

x     1/2

1/64 es una potencia sexta, ya que (1/2)6 es igual a 1/64.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7





EJEMPLO 8: (Con números decimales)

x5 + 0,00001 = (x + 0,1).(x4 - 0,1x3 + 0,01x2 - 0,001x + 0,0001)

x          0,1

También se puede hacer pasando los números decimales a fracción (Ver en la EXPLICACIÓN) 


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8




PARA AVANZADOS: (Raramente se ve en Nivel Medio)


EJEMPLO 9: (Con el número en el primer término)

-125 + x3 = x3 - 125 = (x - 5).(x2 + 5x + 25) 

                  x     5

En un caso como éste, puedo cambiar el orden para que quede la letra en el primer término, y así queda listo para aplicar la división de Ruffini.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9





EJEMPLO 10: (Con los signos equivocados)

-x6 + 64 = -(x6 - 64) = -(x - 2).(x5 + 2x4 + 4x3 + 8x2 + 16x + 32) ó
                  x      2
                             = -(x + 2).(x5 - 2x4 + 4x3 - 8x2 + 16x - 32)

En realidad es un ejercicio combinado. Primero hay que "sacar el menos afuera", o "sacar factor común -1".


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10





EJEMPLO 11: (Con un número multiplicando a la primera letra)

8x3 +  27 = 8.(x3 + 27/8) = 8.(x + 3/2).(x2 - 3/2 x + 9/4)

                    x      3/2

El polinomio no está normalizado. Para dividir por Ruffini,  primero hay que normalizar el polinomio y luego aplicar el caso a lo que queda. Pero también existe una manera de hacer la división por Ruffini sin normalizar antes, aunque hay que saber un "truquito". Se explica de todas las maneras.



EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 11




EJEMPLO 12:
(Suma de potencias pares múltiplos de 3, o de otros números impares)

x6 + 64 = (x2)3 + 43 = (x2 + 4).(x4 - 4x2 + 16)

               x2      4

Esta es una suma de potencias pares que sí se puede factorizar. Pero a la potencia sexta hay que verla como potencia tercera, es decir, una potencia impar. En este ejemplo, x6 es potencia tercera, ya que es igual a (x2)3. Y 64 también es potencia tercera, ya que es igual a 43. Entonces, las bases ya no son x y 2, sino x2 y 4. La división no puede hacerse por el método de Ruffini, sino por la división común de polinomios.



EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 12





EJEMPLO 13: (Con letra y número en el segundo término)

x7 + 128a7 = (x + 2a).(x6 - 2ax5 + 4a2x4 - 8a3x3 + 16a4x2 - 32a5x + 64a6)

x       2a

En un ejemplo así se puede aplicar la división de Ruffini, pero es un poco más complicada, como la del EJEMPLO 6, ya que hay 2 letras. Y sino, se puede hacer con la división común o con la Regla para el Sexto Caso.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 13





EJEMPLO 14: ("No se puede hacer con Ruffini")


a7x7 +  128b7= (ax + 2b).(a6x6 - 2a5x5b + 4a4x4b2 - 8a3x3b3 + 16a2x2b4 -
32axb5 + 64b6)

ax         2b


Este ejemplo es apropiado para resolverlo con la REGLA PARA EL SEXTO CASO, en vez de hacer la división.  También se puede hacer la división, pero no con la Regla de Ruffini.
 

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 14






CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE EL SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO

¿Por qué se llama "Suma o Resta de Potencias de Igual Grado"?

Porque con este Caso de pueden factorizar aquellos polinomios que sean una suma o una resta de dos términos que sean potencias con el mismo exponente ("igual grado").
(¿qué es el grado?) (¿qué es una potencia?)

Por ejemplo:

x5 + y5    

El polinomio precedente es una suma de potencias quintas. Son dos potencias con el mismo exponente: 5. 

x3 - 8

Este polinomio es una resta de potencias terceras. Ya que 8 es igual a 23. Son dos potencias con el mismo exponente: 3

a8 - 1

Este polinomio es una resta de potencias octavas. Ya que 1 es igual a 18. Son dos potencias con el mismo exponente: 8


¿Cómo me doy cuenta de que puedo aplicar este Caso en un polinomio?

1) El polinomio tiene que tener 2 términos.

2) Los términos tienen que ser potencias con el mismo exponente. Pueden ser dos letras
(a3 + b3, por ejemplo), o una letra y un número (a3 + 8, por ejemplo). En el caso que haya un número, hay que pensar si el número es potencia con el mismo exponente que la letra. Por ejemplo:

x5 - 32

En el polinomio precedente, la x está elevada a la potencia quinta. Entonces, hay que pensar si el número 32 es potencia 5 de algún número (¿cómo me doy cuenta de eso?). Como 32 es igual a 25, entonces 32 es también una potencia quinta. Entonces, puedo aplicar el Caso.

3) Si es una suma, las potencias deben ser impares (x3, x5, a7, a9, etc.).

(Las sumas de potencias pares no siempre se pueden factorizar. Y cuando se puede, hay que hacer algo diferente con las bases, y la división no hace por Ruffini. Entonces, en general se opta por no enseñar eso y no factorizar ninguna potencia par.
Por ejemplo: x4 + y4 no puede factorizarse con este Caso ni de ninguna otra manera. Pero hay casos de sumas de potencias pares que sí pueden factorizarse con este Caso, como las potencias sextas, novenas, y otros múltiplos de 3, de 5, o de los otros números impares. Por ejemplo: x6 + 64 se puede factorizar. Presentaré un ejemplo para Avanzados de factorización suma de potencias pares, para quienes sí necesitan verlo, o para interesados o curiosos. 

4) En general (dependiendo del Nivel, el Curso, etc.), no se factorizan con este Caso los polinomios que tienen un número junto a la primera letra. Y es porque no se enseña a aplicar la división de Ruffini en un caso así (aunque hay un "truco" para hacerlo: ver aquí). Por ejemplo: 125x3 + 8. Sin embargo, el Caso sí se puede aplicar en ejemplos como ése, ya que es una suma o resta de potencias de igual exponente. El concepto que se utiliza es el mismo, solamente que podemos hacer la división de otra manera, o usar una Regla para hallar el cociente sin hacer la división (Regla para el Sexto Caso). Como se suele usar exclusivamente la división de Ruffini en este Caso de Factoreo, en la enseñanza de este tema se descartan todos los polinomios en los que no se puede usar Ruffini o es más complicado hacerlo, para no tener que enseñar todo lo otro. Pero en los ejemplos para Avanzados, estoy dando casos como éstos y explicando cómo se pueden hacer de las varias maneras posibles.


¿Cuál es el concepto en que se basa este Caso de Factoreo?

Primero recordemos que cuando "factorizamos" lo que buscamos es escribir el polinomio en forma de una multiplicación o "producto" (¿qué significa "factorizar"?). Partimos de un polinomio de dos términos sumándose o restándose, y lo queremos transformar en "algo multiplicado por algo". Así sería la forma de lo que queremos lograr:

x5 - 32 = ("algo").("algo")

Ahora, resulta que los polinomios que son "una suma o una resta de potencias de igual exponente", tienen una "propiedad especial". Pasa algo interesante con ellos. Esos polinomios se puede "dividir exactamente" por otro (¿qué es "dividir exactamente"?). Es decir, que puedo dividirlo por "cierto polinomio", y el resto de la división dá cero (0).
Esto es muy apropiado, ya que si puedo dividir al polinomio por algo, y el resto dá cero, luego, puedo decir que el polinomio es igual a la multiplicación de dos cosas. Pero mejor verlo con un ejemplo entre números, para que se entienda mejor.

Decimos que 18 es divisible exactamente por 2. Hagamos la división, y veremos que el resto es "cero":

18 |__2__
 0    9
 /


Pero entonces, puedo decir que 18 es igual a "2 por 9". (18 = 2.9). Así, pude escribir el 18 como una multiplicación de "algo por algo". Y eso es porque el resto dió cero, sino no se podría. Veamos otro ejemplo para reforzar la idea:

21 |__3__
 0    7
 /


Entonces, puedo decir que 21 es igual a "3 por 7". (21 = 3.7)

Es decir que, si un número es divisible por otro, puedo decir que ese número es igual a la multiplicación entre el resultado y el número por el cual dividí. Si recordamos cómo se llamaba cada elemento de una división, sería así:

DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE

Siendo el "Dividendo" el número "al que estoy dividiendo". El "Divisor", el número por el cual divido. Y "Cociente", el resultado de la división. En nuestro último ejemplo: 27 es el dividendo, 3 es el divisor y 7 es el cociente.
Esa igualdad es verdadera solamente si el resto de la división es cero, porque sino, la igualdad sería:

DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE +  RESTO

Y no me extiendo más en esto para no irme por las ramas. Solamente nos interesa la situación en que "algo es divisible por algo".

Volvamos ahora a nuestros polinomios. Con ellos pasa lo mismo que con los números: Si un polinomio es divisible por otro polinomio, se podrá escribir como multiplicación: DIVISOR POR COCIENTE. Y como les decía al comienzo, los polinomios con la forma de la que estamos hablando, son divisibles por polinomios que tienen cierta forma. Entonces, hago la división y aplico el concepto de división exacta que acabo de explicar. Ahora, ¿Qué forma tiene el polinomio por el que tengo que dividir? Eso lo explicaré en la siguiente pregunta, ahora simplemente veamos unos ejemplos para ver cómo aplicamos este concepto de la división exacta:

x5 - 32  es divisible por (x - 2) (después explico cómo se sabe eso), y el resultado de la división es (x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16) (después explico como dividir). Entonces, puedo decir que:

x5 - 32       =  (x - 2).(x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16)
DIVIDENDO    DIVISOR         COCIENTE


x4 - 1 es divisible por (x - 1), y el resultado de la división es (x3 + x2 + x + 1). Entonces, puedo decir que:

x4 - 1       = (x - 1).(x3 + x2 + x + 1)
DIVIDENDO  DIVISOR     COCIENTE


Así, usando el concepto de división exacta, puedo escribir el polinomio como una multiplicación, y por lo tanto, lo estoy "factorizando". La cuestión ahora es: ¿Cómo sé por cuál polinomio se puede dividir?


¿Qué forma tiene el polinomio por el cual puedo hacer la división?

- Para potencias "impares" (x3, x5, a7, b9, etc.):

Si es una SUMA, se puede dividir por la SUMA DE LAS BASES (¿qué son las bases?).
Si es una RESTA, se puede dividir por la RESTA DE LAS BASES de las potencias.

Por ejemplo:

En x5 + 32, las "bases" son x y 2. Entonces, x5 + 32 es divisible por (x + 2)

En x3 - 64, las "bases" son x y 4. Entonces, x3 - 64 es divisible por (x - 4)

PARA POTENCIAS IMPARES, LA SUMA SE DIVIDE POR SUMA, Y LA RESTA POR RESTA. Entonces, es muy fácil recordarlo. No es aquí donde voy a explicar cómo se hace, para eso hay que ver la explicación de los ejemplos.

- Para POTENCIAS PARES (2, 4, 6, 8, 10):

Si es una RESTA, se puede dividir TANTO POR LA SUMA COMO POR LA RESTA de las bases. Es decir, se puede elegir hacer con cualquiera de las dos. Por ejemplo:

x4 - 81 es divisible por x + 3 y también por x - 3. Podemos elegir con cuál hacerlo, pero si no queremos hacer mucho esfuerzo de memoria para recordar esto, lo hacemos por la resta. Y entonces, seguimos "la misma regla" que con las potencias impares: SUMA CON SUMA, RESTA CON RESTA, y no tenemos que recordar nada más.

Si es una SUMA de potencias pares, no se puede dividir por la suma ni por la resta de las bases. Las sumas de potencias pares no tienen divisores. Es decir, ni la suma ni la resta de las bases sirve como divisor que haga que el resto dé cero. Por ejemplo: x4 + 16 no se puede dividir exactemente por (x + 2) ni por (x - 2), ya que en ninguno de los dos casos el resto es cero. 
Pero cuando las potencias pares son múltiplos de 3, de 5, u otros número impares (x6, x9, x12, x10, x20, etc.), si se pueden dividir, pero no por la suma o la resta de las bases. De eso ya hablé aquí: factorizar suma de potencias pares. Cómo se hace esto se puede ver en los siguientes ejemplos: EJEMPLO 12 y OTRO EJEMPLO.

EN RESUMEN:

POTENCIAS IMPARES: SUMA SE DIVIDE POR SUMA, RESTA SE DIVIDE POR RESTA.
POTENCIAS PARES: RESTA DE DIVIDE POR SUMA O RESTA. SUMA NO SE DIVIDE POR NADA (con excepción de las potencias pares múltiplos de 3, 5, y los otros números impares; las cuales se pueden "transformar" en potencias terceras, quintas, etc.).

IMPAR SUMA ---> SUMA
IMPAR RESTA ---> RESTA
PAR SUMA ---> NO SE PUEDE (Con algunas excepciones, para Avanzados)
PAR RESTA ---> SUMA O RESTA


NOTA: Hay otra forma de saber por cuál polinomio dividir, y es buscando cuál número es raíz del polinomio que quiero factorizar. Pero aquí no hemos hablado de las raíces de un polinomio, porque encaramos el tema de otra manera, de la manera que usualmente lo enseñan en el Nivel Medio (Ver un ejemplo de esa otra forma)


¿Por qué en este Caso de Factoreo algunos dicen que "se puede dividir por x menos una raíz" del polinomio?

Bueno, eso sería ver el tema desde otro punto de vista, que no es lo usual en el Nivel Medio, sí ya en Nivel Terciario. Para eso deberíamos hablar primero de lo que es una "raíz" de un polinomio (¿qué es una raíz de un polinomio?). Eso lo voy explicar más adelante, en el Caso de Factoreo con Gauss. Allí también se verá que este Sexto Caso de Factoreo no es más que un caso particular del Caso de Factoreo con Gauss. Que en realidad son lo mismo. Sólo que usamos Gauss para polinomios de cualquier forma, mientras que este Sexto Caso es sólo para Sumas y Restas de potencias de igual grado. Que si usamos la división en los dos Casos, se puede apreciar que estamos usando el mismo concepto: la divisibilidad. En este Caso nos enseñan una Regla que nos dice cómo es la divisibilidad de los polinomios que queremos factorizar:

"La suma de potencias impares es divisible por la suma de las bases"
"La resta de potencias impares es divisible por la resta de las bases"
"La resta de potencias pares es divisible tanto por la suma como por la resta de las bases"

Pero ¿de dónde sale esa regla?. La "suma de las bases", la "resta de las bases" no son otra cosa que (x - una raíz del polinomio), ya que la "base" (una de ellas) o más bien el opuesto de la base es raíz del polinomio. Es decir que, el concepto que usamos sin saberlo (por usar una regla de memoria) es que un polinomio puede dividirse por otro de la forma (x - x1), donde x1 es una raíz del polinomio. Por ejemplo:

x3 - 8 =
x     2

Según la Regla, ese polinomio es divisible por (x - 2): la "resta de las bases". Pero eso es por la sencilla razón de que el número 2 es raíz del polinomio, ya que si reemplazo la x por el número 2, el Valor Numérico dá cero (y esa es la condición para que un número sea raíz de un polinomio):

23 - 8 = 8 - 8 = 0

Otro ejemplo:

x5 + 32 =
x      2

Según la Regla, ese polinomio es divisible por (x + 2): la "suma de las bases". Pero eso es porque (x + 2) es igual que (x - (-2)), y el número -2 es raíz del polinomio:

(-2)5 + 32 = -32 + 32 = 0

Tenemos de nuevo entonces que el polinomio es divisible por (x - raíz). (Más sobre esto)


¿Qué es el grado de un término?

El grado de un término de un polinomio es el exponente al que está elevada la letra en ese término. Si el término tiene varias letras, se suman los exponentes de las distintas letras, pero eso no aparecerá en este tema. Por ejemplo, en:

2x5 - 3x2 + 4x + 6

El grado del primer término es 5, porque la letra x está elevada al exponente 5. El segundo término es de grado 2, porque la x está elevada a la 2. El grado del tercer término es 1, porque la x está elevada a la 1 (aunque "el 1 no se pone"). El último término es de grado 0, porque el término no tiene letra, es decir que la letra está elevada "a la cero".
(no entiendo esto).

Pero en el tema que estamos viendo, cuando decimos "potencias de igual grado", nos referimos a "potencias con el mismo exponente". No es exactamente lo mismo que "grado del término". Por ejemplo:

x3 + 8   son dos términos con "potencias de igual grado". Porque x3 es una potencia de exponente 3, y el 8 también es una potencia de exponente 3, ya que 8 es igual a 23. Sin embargo, eso no es lo mismo que "términos de igual grado", ya que el 8 no es un término de grado 3, sino que es un término de grado cero. Esto es apenas una diferencia dialéctica que quería comentar.


¿Cómo me doy cuenta de que un número es una potencia determinada de algún otro número?

Por ejemplo, cómo me doy cuenta de que 32 es potencia quinta de 2:

La manera más fácil es tomar la calculadora y sacar la raíz correspondiente al número. En nuestro ejemplo, sacar la raíz quinta de 32. El resultado es 2, y así comprobamos que el 32 es una potencia quinta, porque tiene raíz quinta:

= 2

Y si no podemos usar la calculadora, hay que buscar un número que elevado a la potencia quinta dé 32. Como nunca el número ha de ser muy grande, se puede empezar probando con el 2. Calculamos 25 = 2.2.2.2.2 = 32. Si con 2 no dá, probamos con 3, con 4, etc., y tarde o temprano encontraremos el número. Por ejemplo:

Quiero saber de qué número es potencia 3 el 64. Si no me doy cuenta en absoluto, porque no sé recuerdo bien las tablas y no me ingenio para hacer cálculos o aproximaciones mentales (lo más frecuente hoy en día) empiezo probando con el 2:

23 = 2.2.2 = 8. No dá 64. Entonces pruebo con el 3:

33 = 3.3.3 = 27. No dá 64. Entonces pruebo con el 4:

43 = 4.4.4 = 64. Ahí me dió 64. Encontré el número que a la tercera dá 64. Es 4.


¿Qué quiere decir que un polinomio "divida exactamente" a otro polinomio?

Al igual que con los números enteros, se dice que un polinomio divide exactamente a otro polinomio, si el resto de la división dá cero. Por ejemplo, (x + 2) divide exactamente a
x3 + 8, porque el resto de hacer (x3 + 8):(x + 2) es igual a cero:

 x3  + 0x2 + 0x + 8 | x + 2       
-x3  - 2x2            x2 - 2x + 4
     -2x2 + 0x + 8
      2x2 + 4x
            4x + 8
           -4x - 8
                 0   RESTO



¿Por qué es de grado 0 el término que es un número sin letra ("término independiente")?

Habíamos dicho que en 2x5 - 3x2 + 4x + 6, el término "6" es de grado 0. Y habíamos dicho que el "grado del término" era la potencia a la que estaba elevada la letra del término.
En el término "6" no hay letra. ¿Por qué su grado es 0? Porque si queremos ponerle "letra" a ese término, podríamos ponerle la x elevada a la cero. Recordemos que x0 es igual a 1, como cualquier cosa elevada a la cero. Entonces:

6.x0 es igual a 6.1, lo que es igual a 6. 

Así, puedo decir que 6 es igual a 6.x0. Y el término ahora sí tiene letra. Y el exponente de la letra es cero. Entonces, el grado del término es 0. El grado del "término independiente" siempre es cero. El término independiente es el término de grado cero. (más sobre esto)



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