EJEMPLO 3: (Resta de Potencias Pares)
b4 - 81 = (b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27)
ó (b + 3).(b3 - 3b2 + 9b - 27)
b 3
En las restas de potencias pares
se puede dividir tanto por la resta como por la suma de las bases.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3
EJEMPLO 4: (Suma de Potencias Pares)
x4 + 16 = x4 + 16
En general no se factorizan las sumas de Potencias
pares. Porque algunas no son divisibles ni por la suma ni por la resta de las bases.
Pero las potencias que son múltiplo de 3, 5, u otros
números impares, sí se pueden factorizar. Aunque, como es un poco
diferente su factorización, no lo suelen ver en el Nivel Medio. Consultar en EJEMPLO
12 un ejemplo de esto.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4
EJEMPLO 5: (Con el "1")
x7 + 1 = (x + 1).(x6 - x5 + x4 - x3 + x2
- x + 1)
x 1
No hay que olvidar que el "1" puede ser
"cualquier potencia". Así que siempre puede ser tomado como base
de cualquier potencia.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5
EJEMPLO 6: (Con dos letras)
x7 - y7 = (x - y).(x6 + x5y + x4y2
+ x3y3 + x2y4 + xy5 + y6)
x y
La división por Ruffini se complica un poco en
estos casos. Hay que tratar a la segunda letra como si fuera un número.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6
EJEMPLO 7: (Con fracciones)
x6 - 1/64 = (x - 1/2).(x5 + 1/2 x4 + 1/4 x3
+ 1/8 x2 + 1/16 x + 1/32)
x 1/2
1/64 es una potencia sexta, ya que (1/2)6
es igual a 1/64.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7
EJEMPLO 8: (Con números decimales)
x5 + 0,00001 = (x + 0,1).(x4 - 0,1x3 + 0,01x2
- 0,001x + 0,0001)
x 0,1
También se puede hacer pasando los números decimales a
fracción (Ver en la EXPLICACIÓN)
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8
PARA AVANZADOS: (Raramente se ve en Nivel Medio)
EJEMPLO 9: (Con el número en el primer término)
-125 + x3 = x3 - 125 = (x - 5).(x2 + 5x + 25)
x 5
En un caso como éste, puedo cambiar el orden para
que quede la letra en el primer término, y así queda listo para aplicar la división de
Ruffini.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9
EJEMPLO 10: (Con los signos equivocados)
-x6 + 64 = -(x6 - 64) = -(x - 2).(x5 + 2x4
+ 4x3 + 8x2 + 16x + 32) ó
x 2
= -(x + 2).(x5 - 2x4
+ 4x3 - 8x2 + 16x - 32)
En realidad es un ejercicio combinado.
Primero hay que "sacar el menos afuera", o "sacar factor común
-1".
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10
EJEMPLO 11: (Con un número multiplicando a la primera letra)
8x3 + 27 = 8.(x3 + 27/8) = 8.(x + 3/2).(x2 -
3/2 x + 9/4)
x 3/2
El polinomio no está normalizado.
Para dividir por Ruffini, primero hay que normalizar el polinomio y luego aplicar el caso a lo que
queda. Pero también existe una manera de hacer la división por Ruffini sin
normalizar antes, aunque hay que saber un "truquito". Se explica de todas
las maneras.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 11
EJEMPLO 12: (Suma de potencias pares múltiplos de 3, o de otros números impares)
x6 + 64 = (x2)3 + 43 = (x2 + 4).(x4 - 4x2 + 16)
x2 4
Esta es una suma de potencias pares que sí se
puede factorizar. Pero a la potencia sexta hay que verla como potencia tercera,
es decir, una potencia impar. En este ejemplo, x6 es potencia tercera, ya que
es igual a (x2)3. Y 64 también es potencia tercera, ya
que es igual a 43. Entonces, las bases ya no son x y 2, sino x2
y 4. La
división no puede hacerse por el método de Ruffini, sino por la división común de
polinomios.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 12
EJEMPLO 13: (Con letra y número en el segundo término)
x7 + 128a7 = (x + 2a).(x6 - 2ax5 +
4a2x4 - 8a3x3 + 16a4x2
- 32a5x + 64a6)
x 2a
En un ejemplo así se puede aplicar la
división de Ruffini, pero es un poco más complicada, como la
del EJEMPLO
6, ya que hay 2 letras. Y sino, se puede hacer con la división común o con
la Regla para el Sexto Caso.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 13
EJEMPLO 14: ("No se puede hacer con Ruffini")
a7x7 + 128b7= (ax + 2b).(a6x6
- 2a5x5b + 4a4x4b2
- 8a3x3b3
+ 16a2x2b4 -
32axb5 + 64b6)
ax 2b
Este ejemplo es apropiado para resolverlo con la REGLA
PARA EL SEXTO CASO, en vez de hacer la división. También se puede
hacer la división, pero no con la Regla de Ruffini.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 14
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
SOBRE EL SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO
¿Por qué se llama "Suma o Resta de Potencias de Igual Grado"?
Porque con este Caso de pueden factorizar aquellos polinomios que sean una suma
o una resta de dos términos que sean potencias con el mismo exponente
("igual grado").
(¿qué es el grado?)
(¿qué
es una potencia?)
Por ejemplo:
x5 + y5
El polinomio precedente es una suma de potencias quintas. Son dos potencias con el mismo
exponente: 5.
x3 - 8
Este polinomio es una resta de potencias terceras. Ya que 8 es igual a 23.
Son dos potencias con el mismo exponente: 3
a8 - 1
Este polinomio es una resta de potencias octavas. Ya que 1 es igual a 18. Son
dos potencias con el mismo exponente: 8
¿Cómo me doy cuenta de que puedo aplicar este Caso en un polinomio?
1) El polinomio tiene que tener 2 términos.
2) Los términos tienen que ser potencias con el mismo exponente. Pueden ser dos
letras
(a3 + b3, por ejemplo), o una letra y un número (a3
+ 8, por ejemplo). En el caso que haya un número, hay que pensar si el número
es potencia con el mismo exponente que la letra. Por ejemplo:
x5 - 32
En el polinomio precedente, la x está elevada a la potencia quinta. Entonces,
hay que pensar si el número 32 es potencia 5 de algún número (¿cómo
me doy cuenta de eso?). Como 32 es igual a
25, entonces 32 es también una potencia quinta. Entonces, puedo aplicar el
Caso.
3) Si es una suma, las potencias deben ser impares (x3, x5,
a7, a9, etc.).
(Las sumas de potencias pares no siempre se pueden factorizar. Y cuando se
puede, hay que hacer algo diferente con las bases, y la división no hace por Ruffini. Entonces, en general se opta por no enseñar eso y no
factorizar ninguna potencia par.
Por ejemplo: x4 + y4 no puede factorizarse con este Caso
ni de ninguna otra manera. Pero hay casos de sumas de potencias pares que sí pueden factorizarse con este
Caso, como las potencias sextas, novenas, y otros
múltiplos de 3, de 5, o de los otros números impares. Por ejemplo: x6 + 64 se puede factorizar. Presentaré un ejemplo para
Avanzados
de factorización suma de potencias pares, para quienes sí necesitan verlo, o
para interesados o curiosos.
4) En general (dependiendo del Nivel, el Curso, etc.), no se
factorizan con este Caso los polinomios que tienen un número junto a la primera
letra.
Y es porque no se enseña a aplicar la división de Ruffini en un caso así
(aunque hay un "truco" para hacerlo: ver
aquí). Por ejemplo: 125x3
+ 8. Sin embargo, el Caso sí se puede aplicar en ejemplos como ése, ya
que es una suma o resta de potencias de igual exponente. El concepto que se
utiliza es el mismo, solamente que podemos hacer la división de otra
manera, o usar una Regla para hallar el cociente sin hacer la división (Regla
para el Sexto Caso). Como se
suele usar exclusivamente la división de Ruffini en este Caso de Factoreo, en la enseñanza
de este tema se descartan todos los polinomios en los que no se puede usar
Ruffini o es más complicado hacerlo, para no tener que enseñar todo lo otro. Pero en los ejemplos para
Avanzados,
estoy dando casos como éstos y explicando cómo se pueden hacer de las varias
maneras posibles.
¿Cuál es el concepto en que se basa este Caso de Factoreo?
Primero recordemos que cuando "factorizamos" lo que buscamos es
escribir el polinomio en forma de una multiplicación o "producto" (¿qué
significa "factorizar"?).
Partimos de un polinomio de dos términos sumándose o restándose, y lo
queremos transformar en "algo multiplicado por algo". Así sería la
forma de lo que queremos lograr:
x5 - 32 =
("algo").("algo")
Ahora, resulta que los polinomios que son "una suma o una resta de
potencias de igual exponente", tienen una "propiedad especial".
Pasa algo interesante con ellos. Esos polinomios se puede "dividir
exactamente" por otro (¿qué es
"dividir exactamente"?). Es
decir, que puedo dividirlo por "cierto polinomio", y el resto de la
división dá cero (0).
Esto es muy apropiado, ya que si puedo dividir al polinomio por algo, y el resto
dá cero, luego, puedo decir que el polinomio es igual a la multiplicación de
dos cosas. Pero mejor verlo con un ejemplo entre números, para que se entienda
mejor.
Decimos que 18 es divisible exactamente por 2. Hagamos la división, y veremos
que el resto es "cero":
18 |__2__
0 9
/
Pero entonces, puedo decir que 18 es igual a "2 por 9". (18 = 2.9).
Así, pude escribir el 18 como una multiplicación de "algo por algo".
Y eso es porque el resto dió cero, sino no se podría. Veamos otro ejemplo para
reforzar la idea:
21 |__3__
0 7
/
Entonces, puedo decir que 21 es igual a "3 por 7". (21 = 3.7)
Es decir que, si un número es divisible por otro, puedo decir que ese número
es igual a la multiplicación entre el resultado y el número por el cual
dividí. Si recordamos cómo se llamaba cada elemento de una división, sería
así:
DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE
Siendo el "Dividendo" el número "al que estoy dividiendo".
El "Divisor", el número por el cual divido. Y "Cociente",
el resultado de la división. En nuestro último ejemplo: 27 es el dividendo, 3
es el divisor y 7 es el cociente.
Esa igualdad es verdadera solamente si el resto de la división es cero, porque
sino, la igualdad sería:
DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE + RESTO
Y no me extiendo más en esto para no irme por las ramas. Solamente nos interesa
la situación en que "algo es divisible por algo".
Volvamos ahora a nuestros polinomios. Con ellos pasa lo mismo que con los
números: Si un polinomio es divisible por otro polinomio, se podrá escribir
como multiplicación: DIVISOR POR COCIENTE. Y como les decía al comienzo, los
polinomios con la forma de la que estamos hablando, son divisibles por
polinomios que tienen cierta forma. Entonces, hago la división y aplico el
concepto de división exacta que acabo de explicar. Ahora, ¿Qué forma tiene el
polinomio por el que tengo que dividir? Eso lo explicaré en la siguiente
pregunta, ahora simplemente veamos unos ejemplos para ver cómo aplicamos este
concepto de la división exacta:
x5 - 32 es divisible por (x - 2)
(después explico cómo se sabe eso), y el resultado de la división es (x4
+ 2x3 + 4x2 + 8x + 16) (después explico como dividir).
Entonces, puedo decir que:
x5 - 32 = (x
- 2).(x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16)
DIVIDENDO
DIVISOR COCIENTE
x4 - 1 es divisible por (x - 1), y el
resultado de la división es (x3 + x2 + x + 1). Entonces,
puedo decir que:
x4 - 1 = (x - 1).(x3 +
x2 + x + 1)
DIVIDENDO DIVISOR COCIENTE
Así, usando el concepto de división exacta, puedo escribir el polinomio como
una multiplicación, y por lo tanto, lo estoy "factorizando". La
cuestión ahora es: ¿Cómo sé por cuál polinomio se puede dividir?
¿Qué forma tiene el polinomio por el cual puedo hacer la división?
- Para potencias "impares" (x3, x5, a7,
b9, etc.):
Si es una SUMA, se puede dividir por la SUMA DE LAS BASES (¿qué
son las bases?).
Si es una RESTA, se puede dividir por la RESTA DE LAS BASES de las potencias.
Por ejemplo:
En x5 + 32, las "bases" son x y 2. Entonces, x5
+ 32 es divisible por (x + 2)
En x3 - 64, las "bases" son x y 4. Entonces, x3
- 64 es divisible por (x - 4)
PARA POTENCIAS IMPARES, LA SUMA SE DIVIDE POR SUMA, Y LA RESTA POR RESTA.
Entonces, es muy fácil recordarlo. No es aquí donde voy a explicar cómo se
hace, para eso hay que ver la explicación de los ejemplos.
- Para POTENCIAS PARES (2, 4, 6, 8, 10):
Si es una RESTA, se puede dividir TANTO POR LA SUMA COMO POR LA RESTA de las
bases. Es decir, se puede elegir hacer con cualquiera de las dos. Por ejemplo:
x4 - 81 es divisible por x + 3 y también por x - 3. Podemos elegir
con cuál hacerlo, pero si no queremos hacer mucho esfuerzo de memoria para
recordar esto, lo hacemos por la resta. Y entonces, seguimos "la misma
regla" que con las potencias impares: SUMA CON SUMA, RESTA CON RESTA, y no
tenemos que recordar nada más.
Si es una SUMA de potencias pares, no se puede dividir por la suma ni por la
resta de las bases. Las sumas de
potencias pares no tienen divisores. Es decir, ni la suma ni la resta de las
bases sirve como divisor que haga que el resto dé cero. Por ejemplo: x4 +
16 no se puede dividir exactemente por (x + 2) ni por (x - 2), ya que en ninguno
de los dos casos el resto es cero.
Pero cuando las potencias pares son múltiplos de 3, de 5, u otros número
impares (x6, x9, x12, x10, x20,
etc.), si se pueden dividir, pero no por la suma o la resta de las bases. De
eso ya hablé aquí: factorizar suma de potencias pares.
Cómo se hace esto se puede ver en los siguientes ejemplos: EJEMPLO
12 y OTRO EJEMPLO.
EN RESUMEN:
POTENCIAS IMPARES: SUMA SE DIVIDE POR SUMA, RESTA SE DIVIDE POR RESTA.
POTENCIAS PARES: RESTA DE DIVIDE POR SUMA O RESTA. SUMA NO SE DIVIDE POR NADA
(con excepción de las potencias pares múltiplos de 3, 5, y los otros números
impares; las cuales se pueden "transformar" en potencias terceras,
quintas, etc.).
IMPAR SUMA ---> SUMA
IMPAR RESTA ---> RESTA
PAR SUMA ---> NO SE PUEDE (Con algunas excepciones,
para Avanzados)
PAR RESTA ---> SUMA O RESTA
NOTA: Hay otra forma de saber por cuál polinomio dividir, y es buscando cuál número es raíz del polinomio que quiero factorizar. Pero aquí no hemos hablado de las raíces de un polinomio, porque encaramos el tema de otra manera, de la manera que usualmente lo enseñan en el Nivel
Medio (Ver un ejemplo de esa otra forma)
¿Por qué en este Caso de Factoreo algunos dicen que "se puede dividir por x menos
una raíz" del polinomio?
Bueno, eso sería ver el tema desde otro punto de vista, que no es lo usual en
el Nivel Medio, sí ya en Nivel Terciario. Para eso deberíamos hablar primero
de lo que es una "raíz" de un polinomio (¿qué
es una raíz de un polinomio?). Eso lo voy explicar más
adelante, en el Caso de Factoreo con Gauss. Allí también se verá que este Sexto Caso de Factoreo no es más
que un caso particular del Caso de Factoreo con Gauss. Que en realidad son lo mismo. Sólo
que usamos Gauss para polinomios de cualquier forma, mientras que este Sexto
Caso es sólo para Sumas y Restas de potencias de igual grado. Que si usamos la
división en los dos Casos, se puede apreciar que estamos usando el mismo
concepto: la divisibilidad. En este Caso nos enseñan una Regla que nos dice
cómo es la divisibilidad de los polinomios que queremos factorizar:
"La suma de potencias impares es divisible por la suma de las bases"
"La resta de potencias impares es divisible por la resta de las bases"
"La resta de potencias pares es divisible tanto por la suma como por la
resta de las bases"
Pero ¿de dónde sale esa regla?. La "suma de las bases", la
"resta de las bases" no son otra cosa que (x - una raíz del
polinomio), ya que la "base" (una de ellas) o más bien el opuesto de la base es raíz del
polinomio. Es decir que, el concepto que usamos sin saberlo (por usar una regla
de memoria) es que un polinomio puede dividirse por otro de la forma (x - x1),
donde x1 es una raíz del polinomio. Por ejemplo:
x3 - 8 =
x 2
Según la Regla, ese polinomio es divisible por (x - 2): la "resta de las
bases". Pero eso es por la sencilla razón de que el número 2 es raíz del
polinomio, ya que si reemplazo la x por el número 2, el Valor Numérico dá
cero (y esa es la condición para que un número sea raíz de un polinomio):
23 - 8 = 8 - 8 = 0
Otro ejemplo:
x5 + 32 =
x 2
Según la Regla, ese polinomio es divisible por (x + 2): la "suma de las
bases". Pero eso es porque (x + 2) es igual que (x - (-2)), y el número -2
es raíz del polinomio:
(-2)5 + 32 = -32 + 32 = 0
Tenemos de nuevo entonces que el polinomio es divisible por (x - raíz). (Más
sobre esto)
¿Qué es el grado de un término?
El grado de un término de un polinomio es el exponente al que está elevada la
letra en ese término. Si el término tiene varias letras, se suman los
exponentes de las distintas letras, pero eso no aparecerá en este tema. Por
ejemplo, en:
2x5 - 3x2 + 4x + 6
El grado del primer término es 5, porque la letra x está elevada al exponente
5. El segundo término es de grado 2, porque la x está elevada a la 2. El grado
del tercer término es 1, porque la x está elevada a la 1 (aunque "el 1 no
se pone"). El último término es de grado 0, porque el término no tiene
letra, es decir que la letra está elevada "a la cero".
(no
entiendo esto).
Pero en el tema que estamos viendo, cuando decimos "potencias de igual
grado", nos referimos a "potencias con el mismo exponente". No es
exactamente lo mismo que "grado del término". Por ejemplo:
x3 + 8 son dos términos con "potencias de igual
grado". Porque x3 es una potencia de exponente 3, y el 8
también es una potencia de exponente 3, ya que 8 es igual a 23. Sin
embargo, eso no es lo mismo que "términos de igual grado", ya que el
8 no es un término de grado 3, sino que es un término de grado cero. Esto es
apenas una diferencia dialéctica que quería comentar.
¿Cómo me doy cuenta de que un número es una potencia determinada de algún
otro número?
Por ejemplo, cómo me doy cuenta de que 32 es potencia quinta de 2:
La manera más fácil es tomar la calculadora y sacar la raíz correspondiente
al número. En nuestro ejemplo, sacar la raíz quinta de 32. El resultado es 2,
y así comprobamos que el 32 es una potencia quinta, porque tiene raíz quinta:
=
2
Y si no podemos usar la calculadora, hay que buscar un número que elevado a la
potencia quinta dé 32. Como nunca el número ha de ser muy grande, se puede
empezar probando con el 2. Calculamos 25 = 2.2.2.2.2 = 32. Si con 2
no dá, probamos con 3, con 4, etc., y tarde o temprano encontraremos el
número. Por ejemplo:
Quiero saber de qué número es potencia 3 el 64. Si no me doy cuenta en
absoluto, porque no sé recuerdo bien las tablas y no me ingenio para hacer
cálculos o aproximaciones mentales (lo más frecuente hoy en día) empiezo
probando con el 2:
23 = 2.2.2 = 8. No dá 64. Entonces pruebo con el 3:
33 = 3.3.3 = 27. No dá 64. Entonces pruebo con el 4:
43 = 4.4.4 = 64. Ahí me dió 64. Encontré el número que a la
tercera dá 64. Es 4.
¿Qué quiere decir que un polinomio "divida exactamente" a otro
polinomio?
Al igual que con los números enteros, se dice que un polinomio divide
exactamente a otro polinomio, si el resto de la división dá cero. Por ejemplo,
(x + 2) divide exactamente a
x3 + 8, porque el resto de hacer (x3
+ 8):(x + 2) es igual a cero:
x3 + 0x2 + 0x + 8 | x + 2
-x3 - 2x2
x2
- 2x + 4
-2x2 + 0x + 8
2x2 + 4x
4x + 8
-4x - 8
0 RESTO
¿Por qué es de grado 0 el término que es un número sin letra
("término independiente")?
Habíamos dicho que en
2x5 - 3x2 + 4x + 6, el
término "6" es de grado 0. Y habíamos dicho que el "grado del
término" era la potencia a la que estaba elevada la letra del término.
En el término "6" no hay letra. ¿Por qué su grado es 0? Porque si
queremos ponerle "letra" a ese término, podríamos ponerle la x
elevada a la cero. Recordemos que x0 es igual a 1, como cualquier
cosa elevada a la cero. Entonces:
6.x0 es igual a 6.1, lo que es igual a 6.
Así, puedo decir que 6 es igual a 6.x0. Y el término ahora sí
tiene letra. Y el exponente de la letra es cero. Entonces, el grado del término
es 0. El grado del "término independiente" siempre es cero. El
término independiente es el término de grado cero. (más
sobre esto)
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