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"TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO" / EJERCICIOS RESUELTOS

 



EJEMPLO 1: (Un primer ejemplo)


x2 + 3x + 2 = (x + 1).(x + 2)


x1,2 = Formula resolvente de las ecuaciones cuadraticas

a = 1
b = 3
c = 2

x1,2 = aplicacion de la formula resolvente

x1 =       (con la suma)

x2 =       (con la resta)

x1 = -1

x2 = -2

a.(x - x1).(x - x2)

1.(x - (-1)).(x - (-2)) = (x + 1).(x + 2)


Es un "trinomio", pero no es "cuadrado perfecto". Se puede factorizar buscando las "raíces" con la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas. Y se factoriza así: a.(x - x1).(x - x2). En este ejemplo "a" es igual 1, entonces no lo ponemos. También hay otro método para factorizarlo, pero no se puede aplicar en cualquier ejemplo.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1





EJEMPLO 2
: (Con coeficiente principal distinto de "1")


2x2 - 3x + 1 = 2.(x - 1).(x - 1/2)


En este ejemplo, el coeficiente principal es 2. No hay que olvidarse de ponerlo en la factorización.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2





EJEMPLO 3: (Con fracciones)


1/3 x2 - 1/3 x - 2 = 1/3. (x - 3).(x + 2)


Los coeficientes son fracciones. Eso puede complicar un poco el cálculo de las raíces.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3







EJEMPLO 4: ("No tiene solución en Reales")


x2 - 6x + 10 = No se factoriza


Cuando aplico la "fórmula de la cuadrática", queda una raíz cuadrada de un número negativo, que no tiene solución en el Conjunto de los Números Reales. Entonces un ejemplo así no se factoriza.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4





EJEMPLO 5: ("Raíz repetida")

1/3 x2 - 1/3 x + 1/12= 1/3. (x - 1/2).(x - 1/2) = 1/3. (x - 1/2)2


Cuando aplico la "fórmula de la cuadrática", obtengo un sólo resultado. Es que en realidad el Trinomio es "cuadrado perfecto", y podría factorizarse por el Tercer Caso, pero aplicando primero el Primer Caso: Factor Común (en este ejemplo en particular).


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5




AVANZADOS: (Raramente se ve en el Nivel medio)


EJEMPLO 6
: (La raíz cuadrada no dá exacta)


x2 + x - 1 = [x - ()].[x - ()] = (x + ).(x + )


Cuando aplico la "fórmula de la cuadrática", me queda una raíz cuadrada que no dá exacta. Entonces, tengo que trabajar con "Radicales", y las raíces (x1 y x2) son expresiones de dos términos.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6





EJEMPLO 7: ("Bicuadrada")


x4 - 5x2 + 4 = (x - 1).(x + 1).(x - 2).(x + 2)


Con este Caso de Factoreo se pueden factorizar también algunos polinomios de cuarto grado, que cumplen con ciertas condiciones: un término de grado 4, un término de grado 2 y un término independiente. También se usa la fórmula resolvente de las ecuaciones cuadráticas, pero se encuentran 4 raíces.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO7


CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE EL SÉPTIMO CASO: "TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO"

¿Por qué se le llama "Trinomio de Segundo Grado"?

Porque sirve para factorizar polinomios de 3 términos ("trinomios"), cuyo grado sea 2
 (¿qué es el grado de un polinomio?). Por ejemplo: x2 + 3x + 2; 6x2 - x - 1, etc.


¿Debe cumplir alguna condición especial el trinomio para que le pueda aplicar el Caso?

Un trinomio de segundo grado completo, con un sólo tipo de letra, siempre tiene: un término de segundo grado (por ej: "2x2"), un término de grado 1 (por ej: "-3x") y un término independiente (por ej: "1"). No hay ninguna condición especial que deban cumplir sus coeficientes (¿coeficiente?). Sin embargo, no siempre se llega a obtener una factorización. A veces no hay solución posible (en el conjunto de los números reales), entonces el trinomio queda sin factorizar. Pero a priori, en cualquier trinomio completo de grado 2 se puede intentar aplicar el Caso. Aunque es mejor fijarse primero si no es posible aplicarle el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto, ya sería más "correcto" aplicarle este Caso si correspondiera. De todos modos se llega al mismo resultado, o resultados equivalentes. 


¿Por qué alguien le llamaría "Trinomio Cuadrado No Perfecto" a este Caso?

Por oposición a lo que es un Trinomio Cuadrado Perfecto. Recordemos que en el mencionado Tercer Caso, tenemos un trinomio que viene de usar la fórmula del Binomio al Cuadrado:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, y por eso se lo llama "Cuadrado Perfecto". Ese Tercer Caso no sirve para factorizar un Trinomio que no venga de usar esa fórmula, es decir que no sirve para factorizar un Trinomio que no sea en definitiva el "cuadrado" de un binomio (Para entender esto hay que ver el Tercer Caso de Factoreo). Y entonces, para factorizar esos otros trinomios que NO son cuadrado de un binomio, tenemos este Séptimo Caso, y por eso se nos podría ocurrir llamarlo "Trinomio Cuadrado No Perfecto". Porque sirve para factorizar a aquellos trinomios que, son de segundo grado (cuadrado), pero no son "perfectos cuadrados" de ningún binomio.


¿Qué conceptos se usan para factorizar por este Caso?

- Si lo hacemos con la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas ("fórmula resolvente":
x1,2 =formula resolvente), lo que usamos es que los polinomios de segundo grado pueden descomponerse como producto de dos polinomios de la forma (x - raíz), multiplicado por el coeficiente principal (¿qué es el coeficiente principal?). Si llamamos a las raíces x1 y x2, el polinomio quedaría así factorizado:

a.(x - x1).(x - x2)

Recordemos que "a" se le llama al coeficiente principal de un polinomio de grado 2, que en general sería así:

ax2 + bx + c

Es por eso que tenemos que usar la "fórmula de la cuadrática" para encontrar esas x1 y x2, que se llaman "raíces" del polinomio, y de lo que todavía no hablamos nada aquí (lo voy a hacer cuando el explique el Factoreo con Gauss (
¿qué son las raíces de un polinomio?). Cabe aclarar que esto de factorizar "según sus raíces" no sólo vale para los polinomios de grado 2, sino que es algo general para todos los polinomios que tienen alguna raíz. Pero Ése no es nuestro tema ahora.


- En cambio si factorizamos por el otro método (buscar dos números que sumados den igual a "b" y que multiplicados den igual a "c") (explicación del método), lo que estamos usando son unas propiedades que cumplen las raíces de un trinomio de grado 2:

x1 + x2 = -b/a

x1.x2 = c/a

Para poder usar ese método, "a" debe ser igual a 1, y entonces las propiedades quedarían así enunciadas:

x1 + x2 = -b

x1.x2 = c

Aquí se puede ver un poco más claramente que la suma de las raíces tiene que ver con el coeficiente "b" (es -b, el opuesto de b). Y su multiplicación es igual al coeficiente "c". Por eso buscamos dos números (las supuestas raíces) que multiplicados den igual al término independiente (c) y que sumados den igual al término de grado 1 (b). El cambio de signo de "b" tiene que ver con que las raíces "se restan" a la x, pero no viene al caso analizar eso.


¿Cómo puedo verificar si factoricé bien?

Como en cualquier Caso de Factoreo, "haciendo la multiplicación". Como el resultado de factorizar, siempre es una multiplicación, hago la multiplicación y tengo que obtener el polinomio original. En este Caso puedo tener que multiplicar dos o tres cosas:

- Dos binomios, en caso de que el coeficiente principal "a" sea igual a 1. Por ejemplo:

(x + 1).(x + 2) =

En un ejemplo así uso la Propiedad Distributiva para multiplicar esos dos binomios:

(x + 1).(x + 2) = x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2   (Así se verifica el EJEMPLO 1)

(¿cómo se hacen estas "distributivas"?)

- Si el coeficiente "a" es distinto de 1, tengo tres cosas para multiplicar: los 2 binomios y el coeficiente "a". En un caso así tengo que aplicar la Distributiva entre dos de las cosas, y luego entre el resultado y la otra que quedó. Por ejemplo:

2.(x - 1).(x - 1/2) = 

Puedo aplicar primero la Distributiva entre 2.(x - 1), y luego entre el resultado y (x - 1/2):

2.(x - 1).(x - 1/2) = (2x - 2).(x - 1/2) = 2x2 - x - 2 x + 1 = 2x2 - 3x + 1   (EJEMPLO 2)


O puedo aplicar primero la Distributiva entre (x - 1).(x - 1/2), y luego entre el resultado y el coeficiente principal 2:

2.(x - 1).(x - 1/2) = 2.(x2 - 1/2 x - x + 1/2) = 2.(x2 -3/2 x + 1/2) = 2x2 - 3x + 1


¿Cómo me doy cuenta que podría aplicar este Caso a un polinomio?

Un poco ya lo dije en los puntos anteriores: Tiene que ser un polinomio completo de segundo grado en una sola letra, es decir:

- Tiene que tener 3 términos ("trinomio"), cada uno de distinto grado (2, 1 y 0), siendo 2 el grado más alto.
- Debe tener un solo tipo de letra y no varias (todas "x" por ejemplo)

Esas dos condiciones son las que cumple un polinomio completo de segundo grado en una sola letra. Por ejemplo:

3x2 - 5x + 1
8a + 4 - a2
1 + 2b2 - b
-x2 + 5 -3x

etc.

Con que se cumplan esas condiciones, ya puedo aplicar el Caso, pero eso no asegura que encuentre una factorización posible, porque el polinomio puede no tener "raíces Reales" (¿"raíces reales"?). Si antes de aplicar la fórmula quiero asegurarme de que encontraré una solución, tengo que calcular el llamado "Discriminante", el cuál debe dar un número positivo o cero. Sobre el Discriminante hablo en la próxima pregunta.


¿Qué es el "Discriminante" en una ecuación cuadrática? ¿Para qué me puede servir en este Séptimo Caso?

Se le llama "Discriminante" a la expresión que está debajo de la raíz en la fórmula "resolvente" para las ecuaciones cuadráticas. Recordemos la fórmula:

x1,2 = formula resolvente - discriminante

Lo que está en rojo es el "discriminante": b2 - 4ac. Siendo a, b y c los coeficientes de una ecuación cuadrática cuya forma general es: ax2 + bx + c = 0.

Resulta que, dependiendo de si este "discriminante" es positivo, negativo o cero, la ecuación tiene dos soluciones, no tiene solución o tiene una sola solución, siempre hablando del Conjunto de los Números Reales (¿qué son los Números Reales?). Resumamos eso:

Si b2 - 4ac > 0  (o sea, si el discriminante es un número positivo), hay 2 soluciones

Si b2 - 4ac < 0  (o sea, si el discriminante es un número negativo), NO TIENE SOLUCIÓN

Si b2 - 4ac = 0  (o sea, si el discriminante es igual a cero), hay 1 sola solución.

Ésa es la razón de su nombre: Discriminante. Porque sirve para discriminar cuántas soluciones tendrá la ecuación, o cuántas raíces tendrá un polinomio de segundo grado (¿soluciones o raíces? ¿qué diferencia hay en eso? ¿qué son las raíces de un polinomio?). Y la razón de por qué puede determinar si una ecuación tiene o no solución, tiene que ver con que el discriminante está debajo de una raíz cuadrada. Y si el discriminante dá negativo, nos encontramos con que hay que calcular la raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no tiene solución en Reales (Ver ejemplo)

¿Y qué tiene que ver eso con el Caso de Factoreo que estamos viendo? Que para poder factorizar a nuestro trinomio, tengo que tener 2 soluciones o al menos 1 solución. Si la fórmula no me va a dar ninguna solución, no vale la pena que la aplique completa. Entonces, antes de ponerme a aplicar la fórmula, podría solamente calcular el Discriminante, que es más corto, y así saber previamente si va a dar o no alguna solución. Si dá negativo, sé que no se va a poder factorizar y ni lo intento. Si dá 0, tiene una sola solución y sería mejor que aplique el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto (Esto pasa en el EJEMPLO 5).
¿Es obligatorio entender y aplicar esto del discriminante? No. Simplemente es un recurso que sirve para ahorrar un poco de tiempo, pero se lo puede ignorar completamente si se quiere. Aquí unos ejemplos de su aplicación:

Supongamos que tengo que factorizar el trinomio de segundo grado:

x2 + 2x + 5 =      a = 1    b = 2   c = 5

En vez de aplicar toda la fórmula, solamente pruebo el discriminante: b2 - 4ac

b2 - 4ac = 22 - 4.1.5 = 4 - 20 = -16

Dió -16, un número negativo. Entonces, el polinomio no tiene raíces (¿qué es eso?). No aplico la fórmula completa, porque sé que no voy a poder factorizar el trinomio.

Otro ejemplo:

x2 + 2x - 3 =      a = 1    b = 2   c = -3

Discriminante: b2 - 4ac = 22 - 4.1.(-3) = 4 + 12 = 16

El discriminante es igual a 16, un número positivo. Entonces el polinomio tiene 2 raíces. Aplico la fórmula completa y puedo factorizar el polinomio:

x1,2 =  

Como el discriminante ya lo había calculado, directamente puedo ponerlo bajo la raíz cuadrada. Los dos resultados de esa cuenta son: x1 = 2 y x2 = -3. Y entonces la factorización es: (x - 2).(x + 3)

Y la otra alternativa posible es un ejemplo como éste:

x2 - 6x + 9 =

Discriminante: b2 - 4.a.c = (-6)2 - 4.1.9 = 36 - 36 = 0

El discriminante es igual a 0, entonces el polinomio tiene una sola raíz. Si uso la fórmula completa, me dá un solo resultado, también llamado "raíz doble". Es porque el trinomio es en realidad un cuadrado perfecto, y es más conveniente aplicar el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto. Pero también se puede hacer con este Séptimo Caso (Ver EJEMPLO 5).


¿Cuándo desisto de usar el caso?

Como ya lo dije en las preguntas anteriores: cuando al aplicar la fórmula de la ecuación cuadrática, "lo que está debajo de la raíz cuadrada" me dá un número negativo. En ese caso no hay solución posible en el Conjunto de los Números Reales, entonces no puedo encontrar los valores de x1 y x2 que necesito para factorizar el polinomio. Por ejemplo:

x2 + 2x + 5 =             a = 1    b = 2   c = 5

 

Como la raíz cuadrada de -16 no tiene solución en el Conjunto de los Números Reales, no puedo encontrar los valores de x1 y x2 que necesito para la factorización de ese trinomio de segundo grado. Entonces, desisto de usar el Caso.


¿Qué es el coeficiente principal de un polinomio? (Ver también: ¿qué es un coeficiente?)

Es el número que multiplica a la letra con mayor exponente en el polinomio (estamos hablando de polinomios con un sólo tipo de letra, la x por ejemplo). Por ejemplo, en:

5x2 - 6x + 2x4     

El coeficiente principal es 2, el número que multiplica a la x4, que es la que tiene el mayor exponente. Bien dicho sería: "Es el coeficiente del término de mayor grado" (¿qué es el grado?)

Entonces, en un polinomio de segundo grado como los que estamos usando en este Séptimo Caso, el coeficiente principal es el número que multiplica a la x2. Y se lo representa con la letra "a", siendo "b" y "c" los otros coeficientes (el de grado 1 y el término independiente). Por ejemplo, en: 3x2 - 2x + 1, el coeficiente principal es 3. Y en la fórmula general para un trinomio de segundo grado: ax2 + bx + c, el coeficiente principal es "a".


¿A qué me refiero cuando digo que el polinomio "no tiene raíces reales"?

Para factorizar en este Séptimo Caso se buscan x1 y x2, que son las raíces del polinomio de segundo grado, y para eso se aplica la fórmula "resolvente" de las ecuaciones cuadráticas. De lo que son las "raíces" de un polinomio no voy a hablar aquí, sino que profundizaré en ese concepto cuando explique el Caso de Factoreo con Gauss (
¿qué son las raíces?). Pero lo que hay que saber aquí es que puede pasar que, al aplicar la fórmula resolvente, nos quede para calcular la raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no tiene solución en el Conjunto de los Números Reales (¿qué son los Números Reales?). Por ejemplo: 

x1,2 =

Como la raíz cuadrada de -16 no es un número real (¿por qué?), no se pueden calcular tampoco los valores de x1 y x2, que serían las raíces del polinomio. Entonces se suele decir que el polinomio no tiene "raíces reales", lo que en realidad quiere decir que sus raíces no son Números Reales.


¿Por qué la raíz cuadrada de -16 no es un número Real? (¿qué es un número "Real?)

  no dá como resultado un número Real, ya que no existe ningún número Real que elevado a la potencia 2 dé como resultado -16. Cualquier número Real que elevemos a la potencia 2 nos dará como resultado un número positivo, nunca dará un número negativo. Y eso es porque, al elevar a la potencia 2, estoy multiplicando 2 veces por sí mismo a un número. Y siempre que multiplique 2 veces por sí mismo a un número, voy a obtener un resultado positivo, debido a la Regla de los signos para la multiplicación ("más por más, más", "menos por menos, más"). Veámoslo con ejemplo: 

(-4)2 = (-4).(-4) = 16   Número negativo al cuadrado dá positivo, porque "menos por menos, más"

42 = 4.4 = 16              Número positivo al cuadrado dá positivo, porque "más por más, más"

No hay manera de que un número Real, elevado al cuadrado, dé un resultado negativo. Y es por la Regla de los signos.

Ahora ¿Por qué si no hay solución posible, se aclara "no tiene raíces Reales"? ¿Por qué no dicen directamente que "no tiene raíces", y listo? ¿Acaso no incluye el Conjunto de los Números Reales a todos los otros conjuntos de números (Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales)? La cuestión es que existe otro conjunto, el de los Números Complejos, y justamente se puede calcular    (y todas las raíces cuadradas de números negativos) en ese conjunto. es igual a 4i, un Número Complejo. Entonces, como SÍ existe un resultado, pero en otro Conjunto que no son los Números Reales, se aclara "no tiene raíces Reales". Quiere decir: Sí puede tener raíces en otro Conjunto diferente. Y es en el de los Números Complejos. Pero esas raíces no sirven para factorizar un polinomio en este tema.


¿Por qué a veces digo que x1 y x2 son "soluciones" y otras veces digo que son las "raíces"?

x1 y x2 son las "raíces" del trinomio de segundo grado que factorizamos en este Séptimo Caso, ya que lo hacemos basados en el concepto de que un polinomio de segundo grado se puede factorizar usando sus raíces, de esta manera: a.(x - x1).(x - x2). Lo que son las "raíces" de un polinomio no importa mucho aquí, ya lo explicaré en otro apartado. Lo único que nos interesa es encontrar esas x1 y x2, para poder factorizar. Entonces, hasta ahora,
  las llamamos "raíces". Pero, resulta que esas raíces las puedo encontrar usando una fórmula, la fórmula resolvente de las ECUACIONES cuadráticas:

x1,2 = formula resolvente

Esta fórmula es para resolver una ECUACIÓN de segundo grado, de forma general:

ax2 + bx + c = 0

Y cuando resolvemos ecuaciones, lo que encontramos son "soluciones" de la ecuación. En el contexto de resolver esa ecuación, a x1 y x2 las llamo "soluciones". Ésa es la razón de por qué a veces les digo de una manera u otra.

Lo que en realidad pasa es que, las raíces de un polinomio de segundo grado, son las soluciones de la ecuación que se forma cuando se iguala ese polinomio a "0" (cero). Es decir que "son lo mismo". Las "soluciones" de esa ecuación son las "raíces" del polinomio. Y para entender el por qué de esto hay que saber qué son las raíces de un polinomio. Pero para este tema no lo necesitamos saber aquí. (¿qué son las raíces de un polinomio?)



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