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EJEMPLO 1:
(Un primer ejemplo) |
¿Por qué si no hay ningún número multiplicando a la x2, puedo considerar que hay un 1? En nuestro ejemplo: x2 + 3x + 2, no "se ve" ningún número multiplicando a la x2. Y entonces, ¿cuál es el coeficiente de x2, el cual necesito para hacer varias cosas en este tema? (¿qué es un coeficiente?). Pues resulta que x2 es igual a 1.x2 ¿no?, ya que 1.x2 = x2, porque si multiplico cualquier cosa por "1" dá "la misma cosa", ya que el "1" es el neutro de la multiplicación (¿qué es el neutro?). Por tal razón, cuando no hay nada multiplicando a una letra, puedo considerar que hay un 1 multiplicando, porque es lo mismo que no haya nada multiplicando. No podría pensar que hay un cero, como me dicen algunos, porque 0.x2 es igual a 0 ("cualquier cosa multiplicada por cero, dá cero"). Y entonces "desaparecería" la x2 y ya no tendríamos un trinomio de segundo grado (0x2 + 3x + 2 es igual a 3x + 2, un polinomio de primer grado). Como ya comenté en otros temas, en muchas ocasiones "se ahorran símbolos" en el lenguaje matemático. Como hay cosas que se consideran "obvias", hay símbolos que no se ponen, porque queda sobreentendido que todo el mundo va a asumir que están, aunque no estén. Eso pasa con el 1 que va delante de esa x2. x2 significa que tenemos "una x2", así como 5x2 significa que tenemos "cinco x2". Pero cuando la cantidad que tenemos es 1, el 1 no se pone. O podemos pensar que, como 1x2 es igual a x2, ¿para qué poner un símbolo de más? Se pone sin el 1 y listo. Lo mismo pasa con la potencia 1: en vez de x1 se pone x, sin el 1. Y en la raíz cuadrada, no se pone el 2 sobre el radical; porque como es la raíz que más se usa, convenimos que a ella no le ponemos el índice 2, mientras que a las otras raíces sí, y así nos ahorramos un símbolo cada vez que usemos la raíz cuadrada. Y con el logaritmo en base 10, al que no se le pone la base, etc, etc, etc. Pueden observar en los libros, o en los ejercicios y todo el material que les dan los profesores, que nunca van a encontrar todos esos "unos" que los alumnos necesitan poner por todos lados. Porque este "vicio" es algo que tiene pocos años y no sé cómo fue que se llegó a esta situación. Ejemplo de "redundancia de unos": Así lo escribiría un alumno: 5/1 x1 + 1/1 x3 - 1.(1x1 + 1/1 y1 + 3/1) - 1z = Así lo encontrarán en un libro o lo escribiría el profesor (y todos los alumnos de antes de que la "unomanía" comenzara) : 5x + x3 - (x + y + 3) - z = ¿Por qué si x1 = -1 y x2 = -2, la factorización es (x + 1).(x + 2)? En este Caso se factoriza con esta "fórmula": a.(x - x1).(x - x2) Allí se puede ver que x1 y x2 están restando. Al reemplazar con valores negativos como los de nuestro ejemplo, queda así: (x - (-1)).(x - (-2)) Pero -(-1) es igual a "+1", si aplicamos la Regla apropiada para sacar el paréntesis. Y lo mismo pasa con -(-2), que es igual a "+2". Por eso, terminan quedando dos sumas: (x + 1).(x + 2) Y así será cada vez que las raíces x1 y x2 resulten ser números negativos. ¿Por qué el segundo método no se puede aplicar en cualquier polinomio de segundo grado? Este método sólo sirve para polinomios de segundo grado que no tienen ningún número multiplicando a la x2 (Es decir que su coeficiente principal "a" sea 1). Pero además no tiene que resultar muy difícil en él deducir qué números son los que sumados den "b" y multiplicados den "c". En nuestro ejemplo: x2 + 3x + 2 es posible darse cuenta de que los números son 1 y 2. Ya que 1 + 2 = 3, y 1.2 = 2. Pero en estos otros ejemplos, eso se pone difícil (¿pero no existe alguna manera de hacerlo?): x2 - 3/4 x - 5/8 = x2 + 58x + 720 = x2 - 0,3x - 0,04 = Explicación completa del segundo Método ("Por las propiedades de las raíces") (Nota: He leído en algún sitio que en otros países se le llama "El método del aspa") Dado un polinomio de segundo grado, que no tenga ningún número multiplicando a la x2 (es decir a = 1), en general: x2 + bx + c = El método consiste en buscar dos números que sumados den igual a "b" (el número que multiplica a la x), y que multiplicados den igual a "c" (el número que está "solo", es decir el término independiente). Una vez descubiertos esos números, a los que para hacer referencia llamo k1 y k2. Luego, se factoriza de la siguiente manera: (x + k1).(x + k2) k1 y/o k2 pueden ser números negativos, así que a veces quedan restas en vez de sumas. Veamos algunos ejemplos: x2 - 4x + 3 = Tengo que buscar dos números que sumados den -4, y multiplicados den 3. Esos números son -1 y -3, ya que -1 - 3 = -4 y (-1).(-3) = 3. La factorización queda entonces así: (x + (-1)).(x + (-3)) = (x - 1).(x - 3) x2 + x - 12 = Tengo que buscar dos números que sumados den 1 (como no hay número multiplicando a la x, hay que asumir que hay un 1), y multiplicados den -12. Esos números son 4 y -3. Ya que 4 - 3 = 1, y 4.(-3) = -12. La factorización entonces queda así: (x + 4).(x - 3) Ahora ¿no existe alguna manera de hacerlo aunque los números sean difíciles de encontrar? o ¿qué hago si lo tengo que hacer sí o sí y no encuentro los números? Bueno, existe una manera, pero hay que resolver un sistema de ecuaciones y por lo tanto recordar ese tema. Hagámoslo con otro ejemplo: x2 + 13x - 300 = Estoy buscando dos números, a los que llamaré a y b, tal que a + b = 13 y a.b = -300. Esas son dos ecuaciones, con dos incógnitas, y se puede plantear y resolver el siguiente sistema de ecuaciones con ellas: Con el método que mejor quieran (Sustitución, Igualación, Reducción o Determinantes). Por ejemplo, lo resuelvo por Sustitución: 1) Despejo la "a" en la primera ecuación: a + b = 13 a = 13 - b 2) Sustituyo a "a" en la segunda ecuación: a.b = -300 (13 - b).b = -300 13b - b2 = -300 -b2 + 13b + 300 = 0 ¿Qué pasa? Esta ecuación tiene un término con "b2" y otro con "b". Es una ecuación cuadrática completa, y hay que usar la fórmula resolvente de la cuadrática. No lo voy a hacer aquí, porque no es mi intención explicar esto paso a paso, sino exponer que existe una manera de hacerlo (ejemplo de la aplicación de la fórmula) . Resuelvo la cuadrática, y me dá estos resultados: b1 = 12 y b2 = -25. Esto complica aún más las cosas, porque tengo dos posibles resultados para "b"; y tendré también dos resultados para "a". Pero no importa, porque yo sólo necesito un "a" y un "b", y puedo elegir alguno de los dos. Por ejemplo, elijo b1 = 12. Si "b" vale 12, entonces "a" vale: a.b = -300 a.12 = -300 a = -300:12 a = -25 (Oh! Para pensar: ¿qué hubiera ocurrido si elegía a b2 = -25?) Los dos números estaba buscando para factorizar el polinomio de segundo grado son, entonces 12 y -25. Hago la prueba a ver si cumplen con la consigna: a + b = 12 + (-25) = 12 - 25 = -13 a.b = 12.(-25) = -300 Muy bien. Entonces la factorización es del trinomio de segundo grado es: (x + 12).(x - 25) De esta manera se puede hacer siempre que no sea fácil darse cuenta de cuáles son los dos números que cumplen las condiciones. Pero, el procedimiento es más largo, y ¡al fin de cuenta aquí también hay que aplicar la fórmula resolvente de cuadráticas! ¡¿Qué sentido tiene hacerlo de esta manera, a menos que me lo exijan así?! Por tal razón, en un caso así más vale usar el primer Método, dónde se usa la fórmula resolvente desde un principio sin tener que plantear ningún sistema de ecucaciones. Por eso digo que este segundo Método es aplicable ejemplos sencillos, donde se pueda descubrir con facilidad cuáles son los números que cumplen la consigna. ¿Por qué digo que el segundo método es "por las propiedades de las raíces"? Porque eso de "buscar dos números que sumados den como resultado el número que multiplica a la x, y multiplicados den el número que está solo (término independiente)" tiene que ver con dos propiedades que tienen las raíces (¿qué son las raíces?) de un polinomio de segundo grado. Esas propiedades son: x1 + x2 = -b/a x1.x2 = c/a Más sobre esto en los conceptos generales del Caso: Ver aquí ¿Hay otras formas de encontrar las raíces del polinomio, que no sea usar la fórmula resolvente? Sí. A una le dicen "completar cuadrados", es más difícil y se usa más que nada en otros temas. En su momento de seguro la explicaré. La otra es usar el Caso de Factoreo con Gauss, que explicaré en otro apartado dentro del tema de Factoreo: Caso con Gauss ¿Qué es el neutro? Se podría decir que un número es "neutro" de alguna operación (suma, resta, multiplicación, división), si la operación con ese número no modifica en nada al otro. El 1 es el neutro de la operación multiplicación. Porque si yo multiplico a cualquier número por "1", el resultado es el mismo número. Por ejemplo: 3.1 = 3 Al multiplicar el "3" por el "1", el resultado es 3 ¿qué paso?: dió el mismo número. Multiplicar por 1 no modifica nada. Es lo mismo que no hacer nada. Y de ahí el nombre de "neutro". Como que no causa ningún efecto en esa operación. Y el "0" es el neutro de la suma, ya que sumar "cero" es lo mismo que sumar "nada", no modifica nada. Por ejemplo: 5 + 0 = 5 -6 + 0 = -6 De nuevo: La que dí no es una definición rigurosa. Simplemente es una descripción para que se entienda el concepto. Verificación de la factorización: Comprobemos ahora si es verdad que (x + 1).(x + 2) es igual a x2 + 3x + 2. Hay que aplicar la Propiedad Distributiva entre esos dos binomios, así: (x + 1).(x + 2) = x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2 Entonces, puedo decir que está bien la factorización que hice, porque, operando en el resultado (x + 1).(x + 2), obtuve el polinomio original x2 + 3x + 2 Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 1: x2 - 2x - 63 = (x - 9).(x + 7) x1 = 9 x2 = -7 a2 - 12a - 64 = (a - 16).(a + 4) a1 = 16 a2 = -4 m2 + 5m + 6 = (m + 2).(m + 3) m1 = -2 m2 = -3 x2 - 14x - 15 = (x + 1).(x - 15) x1 = -1 x2 = 15 Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en: SEPTIMO CASO: TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO Explicaciones de otros ejemplos: EJEMPLO 2 (Con coeficiente principal distinto de "1") EJEMPLO 3 (Con fracciones) EJEMPLO 4 ("No tiene raíces reales") EJEMPLO 5 ("Raíz repetida") AVANZADOS: EJEMPLO 6 (La raíz cuadrada no dá "exacta") EJEMPLO 7 (Bicuadrada) Política de Privacidad - Contacto: matematicaylisto@gmail.com |