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"TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO" / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1


 

EJEMPLO 1: (Un primer ejemplo)


x2 + 3x + 2 = (x + 1).(x + 2)


Es un "trinomio", pero no es "cuadrado perfecto". Se puede factorizar buscando las "raíces" con la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas. Y se factoriza así: a.(x - x1).(x - x2).  En este ejemplo "a" es igual 1, entonces no lo ponemos. También hay otro método para factorizarlo, pero no se puede aplicar en cualquier ejemplo.



EXPLICACIÓN
:



A- MÉTODO 1: BUSCANDO LAS RAÍCES CON LA FÓRMULA RESOLVENTE PARA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

1) Voy a usar la fórmula "resolvente" de las ecuaciones cuadráticas, para encontrar los valores de x1 y x2 (¿y por qué hago eso?):

x1,2 = ecuaciones cuadraticas - formula resolvente

Y para nuestro ejemplo a = 1, b = 3 y c = 2 (1x2 + 3x + 2) (no entiendo). Entonces, reemplazo en la fórmula, y me queda: 

x1,2 =

x1 =       (con la suma)

x2 =       (con la resta)

Luego tengo que factorizar el polinomio según esta fórmula:

a.(x - x1).(x - x2)

Donde a = 1 es el coeficiente principal del polinomio (el número que multiplica a la x2). En x2 + 3x + 2, parece que no hubiera ningún número multiplicando a la x2, pero en realidad hay que pensar que hay un "1" (¿por qué?). Y x1 y x2 son las "raíces" del polinomio de segundo grado, que hallé con la fórmula de la ecuación cuadrática (-1 y -2). Así tengo que reemplazar en esa fórmula a "a", x1 y x2 con los valores que encontré para cada uno:

1.(x - (-1)).(x - (-2)) =

a         x1          x2

Y ahora saco los paréntesis de los números negativos. Y el 1 que está multiplicando también lo quito, porque es lo mismo que si no estuviera, ya que el 1 es el neutro de la multiplicación, es decir que no cambia el resultado y entonces no se pone:

(x + 1).(x + 2)        (¿por qué quedaron sumas?)

Así queda factorizado el trinomio x2 + 3x + 2 "según sus raíces".
(¿hay otras formas de hallar las raíces de un polinomio así?)

MÁS EXPLICACIÓN SOBRE EL MÉTODO 1


B- MÉTODO 2: "POR LAS PROPIEDADES DE LAS RAÍCES" (¿por qué lo llamo así?)

Éste es un método que mucho no se usa, y no sirve para factorizar cualquier trinomio de segundo grado (¿por qué?), sólo para algunos ejemplos sencillos, y que además "no tengan" coeficiente principal (es decir que no haya ningún número adelante de la x2). En nuestro EJEMPLO 1 sí lo podemos aplicar, pero no en muchos de los siguientes. Recordemos que el polinomio que queremos factorizar es:

x2 + 3x + 2

Tengo que encontrar dos números que multiplicados den 2 y sumados den 3. Eso REQUIERE INGENIO y conocer bien las tablas (yo sé por qué lo digo...). Pueden ser números positivos o negativos, incluso fracciones. Pero en ese último caso se hace mucho más difícil deducirlos y en general no se dan ejercicios así.

Después de algunos tanteos, me doy cuenta de que los números 1 y 2 cumplen con la consigna, porque:

1 + 2 = 3    SUMADOS DAN 3, que es el número que acompaña a la x

1.2 = 2     MULTIPLICADOS DAN 2, que es el "término independiente" (¿y eso?)

La factorización entonces queda así:

(x + 1).(x + 2)

Es decir, "x más uno de los números por x más el otro". 

EXPLICACIÓN COMPLETA DE ESTE MÉTODO



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales de este Caso están en CONCEPTOS - SÉPTIMO CASO 


¿En qué consiste el primer Método que usé para factorizar en este Caso?

Se trata de buscar las "raíces" del polinomio de segundo grado, porque conociendo sus raíces, se lo puede factorizar de esta forma (¿qué son las raíces de un polinomio?):

a.(x - x1).(x - x2)

Donde x1 y x2 son esas raíces que buscamos, y "a" es el coeficiente principal del polinomio (o sea, el número que multiplica a la x2). 

¿Y cómo se pueden calcular las raíces de un polinomio de segundo grado? Pues, hay que "igualar el polinomio a cero", y resolver la ecuación que queda (¿por qué hay que igualar a 0?):

ax2 + bx + c = 0        Hay que resolver esta ecuación

Pero ésa es una ecuación cuadrática (¿qué es una ecuación cuadrática?). Y este tipo de ecuaciones se pueden resolver con la "resolvente" (¿hay otra forma?):

x1,2 = formula resolvente de las ecuaciones cuadraticas

Con ella se pueden hallar los valores de x1 y x2 que se necesitan para completar la factorización. En la explicación del EJEMPLO 1 se puede ver cómo se utiliza esta fórmula en un ejemplo concreto, y luego cómo queda factorizado el polinomio: Ver aquí.

Cabe aclarar que con esa fórmula es posible encontrar 2 valores para las raíces, uno solo o ninguno. En los los siguientes ejemplos se representan esas tres situaciones diferentes: EJEMPLO 1 (2 valores), EJEMPLO 5 (un solo valor) y EJEMPLO 4 (ningún valor posible).


¿Qué es una ecuación "cuadrática"? (¿qué es una ecuación?)

Se podría decir que es una ecuación en donde la mayor potencia a la que está elevada la incógnita es dos (es decir, al "cuadrado"). Con ejemplos se puede ver mejor:

x2 + 3x -5 = 0  es una ecuación cuadrática. Porque la x está elevada a la 2, y a ninguna otra potencia mayor.

7x = -3x2 es una ecuación cuadrática

2a2 = 0  es una ecuación cuadrática

2x + 1 = -5x no es una ecuación cuadrática, porque la incógnita no está nunca elevada a la potencia 2.

x2 + 5x - x3 = 0 no es una ecuación cuadrática, porque una de las x está elevada a la potencia 3, que es mayor que 2.

(x + 1).(x - 2) = 4x es una ecuación cuadrática. Porque si hacemos la multiplicación entre los 2 binomios, "aparece" una x2, y no hay otra con mayor potencia.

Por supuesto que la definición que dí no es para nada rigurosa, ya que habría que aclarar otras cosas. Pero creo que alcanza para entender lo que es una ecuación cuadrática.


¿Por qué uso la fórmula resolvente de las cuadráticas para hallar los valores de x1 y x2?

Como ya comenté en una pregunta anterior, esas x1 y x2 que busco son las "raíces" del polinomio. Y para hallar las raices de un polinomio de segundo grado se lo puede "igualar a cero" y resolver la ecuación cuadrática que queda formada:

ax2 + bx + c = 0

Y esta ecuación justamente se puede resolver con la fórmula "resolvente". Para más detalle sobre todo esto, ver en la pregunta: En qué consiste el Método


¿Qué son a, b y c en la fórmula resolvente?

En un polinomio completo de segundo grado, "a" es el número que multiplica a la x2, "b" es el número que multiplica a la x, y "c" es el número que "está solo" (término independiente). En este EJEMPLO 1, nuestro polinomio de segundo grado es:

x2 + 3x + 2           a= 1      b= 3      c= 2

Allí tenemos que:

"a" es igual a 1, porque si no hay ningún número multiplicando a una letra (x2 en este caso), hay que "pensar que hay un 1" (¿por qué?)

"b" es igual a 3. Ya que es el número que está multiplicando a la x.

"c" es igual a 2. Porque es el número que "no tiene x"

Los resalto en color para que se vean mejor: 1x2 + 3x + 2. A esos números se los llama "coeficientes".

Otro ejemplo:

-5x2 + 4 - x   (está desordenado)       a= -5      b= -1     c= 4

Aquí tenemos que:

"a" es igual a -5  (Hay que "tomar al número con su signo")

"b" es igual a -1  (Como no hay nada delante de la x, "hay que pensar que hay un 1". Pero como además es "-x", en realidad "hay que pensar que hay un -1")

"c" es igual a 4


¿Por qué para hallar x1 y x2 (raíces) igualamos el polinomio a cero?

Porque las raíces de un polinomio son aquellos números x que "hacen que el polinomio de cero". Es decir, aquellos números que, reemplazados en la letra del polinomio (x es la que estamos usando), hacen que el Valor numérico del polinomio sea cero. Por ejemplo en:

x2 + 3x + 2 =

Si reemplazo la x con (-2), tenemos que:

(-2)2 + 3.(-2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0      El Valor que toma el polinomio es "cero".

Podemos decir entonces que (-2) es raíz de ese polinomio. En cambio, si reemplazo la x por el número 3, tenemos que:

32 + 3.3 + 2 = 9 + 9 +2  = 20   El Valor Númerico del polinomio es desigual a "cero".

Entonces, el número 3 no es raíz de ese polinomio.

Ahora, si quiero encontrar la raíces de ese polinomio, tendría que pensar lo siguiente:

¿Para qué valor o valores de x, el polinomio x2 + 3x + 2 es igual a cero? Y eso, en el lenguaje matemático se puede plantear de la siguiente manera:

x2 + 3x + 2 = 0

Al resolver esa ecuación, de la manera que sea, encontraré los números que "hacen que ese polinomio dé cero". Y por tal razón es que, cada vez que queremos encontrar la raíces (también llamadas "ceros") de algo (polinomio, función) , lo que hacemos es igualar la fórmula a "cero". Respecto a lo que son las raíces de un polinomio, me explayaré más sobre eso en el Caso de Factoreo que utiliza el Método de Gauss para encontrar raíces.
(
¿qué es una raíz de un polinomio?)


¿Por qué si no hay ningún número multiplicando a la x2, puedo considerar que hay un 1?

En nuestro ejemplo: x2 + 3x + 2, no "se ve" ningún número multiplicando a la x2. Y entonces, ¿cuál es el coeficiente de x2, el cual necesito para hacer varias cosas en este tema? (¿qué es un coeficiente?). Pues resulta que x2 es igual a 1.x2 ¿no?, ya que 1.x2 = x2, porque si multiplico cualquier cosa por "1" dá "la misma cosa", ya que el "1" es el neutro de la multiplicación (¿qué es el neutro?). Por tal razón, cuando no hay nada multiplicando a una letra, puedo considerar que hay un 1 multiplicando, porque es lo mismo que no haya nada multiplicando. 
No podría pensar que hay un cero, como me dicen algunos, porque 0.x2 es igual a 0 ("cualquier cosa multiplicada por cero, dá cero"). Y entonces "desaparecería" la x2 y ya no tendríamos un trinomio de segundo grado (0x2 + 3x + 2 es igual a 3x + 2, un polinomio de primer grado).
Como ya comenté en otros temas, en muchas ocasiones "se ahorran símbolos" en el lenguaje matemático. Como hay cosas que se consideran "obvias", hay símbolos que no se ponen, porque queda sobreentendido que todo el mundo va a asumir que están, aunque no estén. Eso pasa con el 1 que va delante de esa x2. x2 significa que tenemos "una x2", así como 5x2 significa que tenemos "cinco x2". Pero cuando la cantidad que tenemos es 1, el 1 no se pone. O podemos pensar que, como 1x2 es igual a x2, ¿para qué poner un símbolo de más? Se pone sin el 1 y listo. Lo mismo pasa con la potencia 1: en vez de x1 se pone x, sin el 1. Y en la raíz cuadrada, no se pone el 2 sobre el radical; porque como es la raíz que más se usa, convenimos que a ella no le ponemos el índice 2, mientras que a las otras raíces sí, y así nos ahorramos un símbolo cada vez que usemos la raíz cuadrada. Y con el logaritmo en base 10, al que no se le pone la base, etc, etc, etc. Pueden observar en los libros, o en los ejercicios y todo el material que les dan los profesores, que nunca van a encontrar todos esos "unos" que los alumnos necesitan poner por todos lados. Porque este "vicio" es algo que tiene pocos años y no sé cómo fue que se llegó a esta situación. Ejemplo de "redundancia de unos": 

Así lo escribiría un alumno: 

5/1 x1 + 1/1 x3 - 1.(1x1 + 1/1 y1 + 3/1) - 1z =

Así lo encontrarán en un libro o lo escribiría el profesor (y todos los alumnos de antes de que la "unomanía" comenzara) :

5x + x3 - (x + y + 3) - z =


¿Por qué si x1 = -1 y x2 = -2, la factorización es (x + 1).(x + 2)?

En este Caso se factoriza con esta "fórmula":

a.(x - x1).(x - x2)  

Allí se puede ver que x1 y x2 están restando. Al reemplazar con valores negativos como los de nuestro ejemplo, queda así:

(x - (-1)).(x - (-2))

Pero -(-1) es igual a "+1", si aplicamos la Regla apropiada para sacar el paréntesis. Y lo mismo pasa con -(-2), que es igual a "+2". Por eso, terminan quedando dos sumas:

(x + 1).(x + 2)

Y así será cada vez que las raíces x1 y x2 resulten ser números negativos.


¿Por qué el segundo método no se puede aplicar en cualquier polinomio de segundo grado?

Este método sólo sirve para polinomios de segundo grado que no tienen ningún número multiplicando a la x2 (Es decir que su coeficiente principal "a" sea 1). Pero además no tiene que resultar muy difícil en él deducir qué números son los que sumados den "b" y multiplicados den "c". En nuestro ejemplo:

x2 + 3x + 2

es posible darse cuenta de que los números son 1 y 2. Ya que 1 + 2 = 3, y 1.2 = 2. Pero en estos otros ejemplos, eso se pone difícil (¿pero no existe alguna manera de hacerlo?):

x2 - 3/4 x - 5/8 =

x2 + 58x + 720 =

x2 - 0,3x - 0,04 =


Explicación completa del segundo Método ("Por las propiedades de las raíces")
(Nota: He leído en algún sitio que en otros países se le llama "El método del aspa")

Dado un polinomio de segundo grado, que no tenga ningún número multiplicando a la x2 (es decir a = 1), en general:

x2 + bx + c =

El método consiste en buscar dos números que sumados den igual a "b" (el número que multiplica a la x), y que multiplicados den igual a "c" (el número que está "solo", es decir el término independiente). Una vez descubiertos esos números, a los que para hacer referencia llamo k1 y k2. Luego, se factoriza de la siguiente manera:

(x + k1).(x + k2)

k1 y/o k2 pueden ser números negativos, así que a veces quedan restas en vez de sumas.

Veamos algunos ejemplos:

x2 - 4x + 3 =

Tengo que buscar dos números que sumados den -4, y multiplicados den 3. Esos números son -1 y -3, ya que -1 - 3 = -4 y (-1).(-3) = 3. La factorización queda entonces así:

(x + (-1)).(x + (-3)) = (x - 1).(x - 3)


x2 + x - 12 =

Tengo que buscar dos números que sumados den 1 (como no hay número multiplicando a la x, hay que asumir que hay un 1), y multiplicados den -12. Esos números son 4 y -3. Ya que 4 - 3 = 1, y 4.(-3) = -12. La factorización entonces queda así:

(x + 4).(x - 3)


Ahora ¿no existe alguna manera de hacerlo aunque los números sean difíciles de encontrar? o ¿qué hago si lo tengo que hacer sí o sí y no encuentro los números? Bueno, existe una manera, pero hay que resolver un sistema de ecuaciones y por lo tanto recordar ese tema. Hagámoslo con otro ejemplo:

x2 + 13x - 300 =

Estoy buscando dos números, a los que llamaré a y b, tal que a + b = 13 y a.b = -300.
Esas son dos ecuaciones, con dos incógnitas, y se puede plantear y resolver el siguiente sistema de ecuaciones con ellas:



Con el método que mejor quieran (Sustitución, Igualación, Reducción o Determinantes). Por ejemplo, lo resuelvo por Sustitución:

1) Despejo la "a" en la primera ecuación:

a + b = 13
a = 13 - b

2) Sustituyo a "a" en la segunda ecuación:

a.b = -300
(13 - b).b = -300
13b - b2 = -300
-b2 + 13b + 300 = 0

¿Qué pasa? Esta ecuación tiene un término con "b2" y otro con "b". Es una ecuación cuadrática completa, y hay que usar la fórmula resolvente de la cuadrática. No lo voy a hacer aquí, porque no es mi intención explicar esto paso a paso, sino exponer que existe una manera de hacerlo (ejemplo de la aplicación de la fórmula) . Resuelvo la cuadrática, y me dá estos resultados: b1 = 12 y b2 = -25. Esto complica aún más las cosas, porque tengo dos posibles resultados para "b"; y tendré también dos resultados para "a". Pero no importa, porque yo sólo necesito un "a" y un "b", y puedo elegir alguno de los dos. Por ejemplo, elijo b1 = 12. Si "b" vale 12, entonces "a" vale:

a.b = -300
a.12 = -300
a = -300:12
a = -25           (Oh! Para pensar: ¿qué hubiera ocurrido si elegía a b2 = -25?)

Los dos números estaba buscando para factorizar el polinomio de segundo grado son, entonces 12 y -25. Hago la prueba a ver si cumplen con la consigna:

a + b = 12 + (-25) = 12 - 25 = -13

a.b = 12.(-25) = -300

Muy bien. Entonces la factorización es del trinomio de segundo grado es:

(x + 12).(x - 25)

De esta manera se puede hacer siempre que no sea fácil darse cuenta de cuáles son los dos números que cumplen las condiciones. Pero, el procedimiento es más largo, y ¡al fin de cuenta aquí también hay que aplicar la fórmula resolvente de cuadráticas! ¡¿Qué sentido tiene hacerlo de esta manera, a menos que me lo exijan así?! Por tal razón, en un caso así más vale usar el primer Método, dónde se usa la fórmula resolvente desde un principio sin tener que plantear ningún sistema de ecucaciones. Por eso digo que este segundo Método es aplicable ejemplos sencillos, donde se pueda descubrir con facilidad cuáles son los números que cumplen la consigna.


¿Por qué digo que el segundo método es "por las propiedades de las raíces"?

Porque eso de "buscar dos números que sumados den como resultado el número que multiplica a la x, y multiplicados den el número que está solo (término independiente)" tiene que ver con dos propiedades que tienen las raíces (¿qué son las raíces?) de un polinomio de segundo grado. Esas propiedades son:

x1 + x2 = -b/a

x1.x2 = c/a

Más sobre esto en los conceptos generales del Caso: Ver aquí


¿Hay otras formas de encontrar las raíces del polinomio, que no sea usar la fórmula resolvente?

Sí. A una le dicen "completar cuadrados", es más difícil y se usa más que nada en otros temas. En su momento de seguro la explicaré. La otra es usar el Caso de Factoreo con Gauss, que explicaré en otro apartado dentro del tema de Factoreo: Caso con Gauss


¿Qué es el neutro?

Se podría decir que un número es "neutro" de alguna operación (suma, resta, multiplicación, división), si la operación con ese número no modifica en nada al otro. El 1 es el neutro de la operación multiplicación. Porque si yo multiplico a cualquier número por "1", el resultado es el mismo número. Por ejemplo:

3.1 = 3     Al multiplicar el "3" por el "1", el resultado es 3 ¿qué paso?: dió el mismo número. Multiplicar por 1 no modifica nada. Es lo mismo que no hacer nada. Y de ahí el nombre de "neutro". Como que no causa ningún efecto en esa operación. 

Y el "0" es el neutro de la suma, ya que sumar "cero" es lo mismo que sumar "nada", no modifica nada. Por ejemplo:

5 + 0 = 5
-6 + 0 = -6

De nuevo: La que dí no es una definición rigurosa. Simplemente es una descripción para que se entienda el concepto.


Verificación de la factorización:

Comprobemos ahora si es verdad que (x + 1).(x + 2) es igual a x2 + 3x + 2. Hay que aplicar la Propiedad Distributiva entre esos dos binomios, así:

(x + 1).(x + 2) =  x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2

Entonces, puedo decir que está bien la factorización que hice, porque, operando en el resultado (x + 1).(x + 2), obtuve el polinomio original x2 + 3x + 2


Más ejercicios resueltos,  parecidos al Ejemplo 1:


x2 -  2x  - 63 = (x - 9).(x + 7)        x1 = 9     x2 = -7


a2 - 12a  - 64 = (a - 16).(a + 4)     a1 = 16    a2 = -4


m2 +  5m  +  6 = (m + 2).(m + 3)   m1 = -2   m2 = -3     


x2 - 14x - 15 = (x + 1).(x - 15)      x1 = -1    x2 = 15  




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEPTIMO CASO: TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 2  (Con coeficiente principal distinto de "1")
EJEMPLO 3  (Con fracciones)
EJEMPLO 4  ("No tiene raíces reales")
EJEMPLO 5  ("Raíz repetida")

AVANZADOS:
EJEMPLO 6 (La raíz cuadrada no dá "exacta")
EJEMPLO 7 (Bicuadrada)



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