EJEMPLO 3: (Con fracciones)


1/3 x² - 1/3 x - 2 = 1/3. (x - 3).(x + 2)

Los coeficientes son fracciones. Eso puede complicar un poco el cálculo de las raíces.

EXPLICACIÓN:


1) Voy a usar la fórmula "resolvente" de las ecuaciones cuadráticas, para encontrar los valores de x₁ y x₂ (¿y por qué hago eso?):

x_1,2 =

Y para nuestro ejemplo a = 1/3, b = - 1/3 y c = -2 (1/3 x² - 1/3 x - 2). Entonces, reemplazo en la fórmula, y me queda: 

x_{1,2 =}

x₁ =       (con la suma)  (no entiendo)

x₂ =      (con la resta)

Luego tengo que factorizar el polinomio según esta fórmula:

a.(x - x₁).(x - x₂)

Donde a = 1/3 es el coeficiente principal del polinomio (el número que multiplica a la x²).  Y x₁ y x₂ son las "raíces" del polinomio de segundo grado, que hallé con la fórmula de la ecuación cuadrática (3 y -2). Así tengo que reemplazar en esa fórmula a "a", x₁ y x₂ con los valores que encontré para cada uno:

1/3.(x - 3).(x + 2) =

a           x₁        x₂

Así queda factorizado el trinomio 1/3 x² - 1/3 x - 2 "según sus raíces".
(¿hay otras formas de hallar las raíces de un polinomio así?)

MÁS EXPLICACIÓN SOBRE EL MÉTODO 1


En este Ejemplo no conviene aplicar el Segundo Método ("por las propiedades de las raíces"), porque se haría muy complicado (Método 2)

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales de este Caso están en CONCEPTOS - SÉPTIMO CASO 


"Fracción sobre fracción":

Al usar la fórmula resolvente de las cuadráticas en un ejemplo con fracciones como éste, se llega a una instancia en que queda "una fracción sobre otra fracción", "un número entero sobre una fracción" o "una fracción sobre un número entero". Y hay quienes no saben qué hacer a partir de allí. Los siguientes son ejemplos de as situaciones que describo:

1)     Fracción sobre fracción. Es lo mismo que 1/3 dividido 2/3

2)    Número entero sobre fracción. Es lo mismo que 2 dividido 2/3

3)     Fracción sobre número entero. Es lo mismo que 2/3 dividido 5

En todos los casos hay que pensar que se trata de una división, ya que "la línea de fracción significa división" (¿por qué?). Así, en 1) tenemos la fracción 1/3 dividida por la fracción 2/3. "Fracción sobre fracción" es lo mismo que "fracción dividida por fracción". En 2) tenemos el número entero 2 divido la fracción 2/3. Y en 3), tenemos a la fracción 2/3 dividido el número entero 5.

En los últimos años parece que no se enseña mucho la regla para dividir las fracciones así "apiladas" (¿cómo es esa regla?). Entonces, quienes no han aprendido a dividir de esa forma, lo que tienen que hacer es escribir la división de la forma que la conocen: "en línea". En nuestros ejemplos serían:

1)

2)

3)  


La regla para dividir fracciones "apiladas" es así:




Es decir, "el de más arriba por el de más abajo" y "los dos de adentro". O, "El resultado es una fracción cuyo numerador es igual al producto entre el numerador de la fracción de arriba y el denominador de la fracción de abajo; y cuyo denominador es igual al producto entre el denominador de la fracción de arriba y el numerador de la fracción de abajo". Cuando arriba o abajo hay un número entero en vez de una fracción, hay que "agregarle el 1 abajo" para aplicar la regla. Así habría que hacer en nuestros dos ejemplos "incompletos":

2)

3)


¿Cómo se calcula la raíz de una fracción?

Calculando "la raíz del de arriba y la raíz del de abajo", y formando con ellos una fracción. Lo que estamos haciendo es aplicar la Propiedad Distributiva entre la raíz y la división (la fracción indica división ¿cómo es eso?):



En este EJEMPLO 3 calculamos la siguiente raíz cuadrada: 




Verificación de la factorización:

Comprobemos ahora si es verdad que 1/3.(x - 3).(x + 2) es igual a 1/3 x² - 1/3 x - 2. Aplico primero la Propiedad Distributiva entre el 1/3 y el (x - 3), y luego  entre el resultado y (x + 2), así:

1/3.(x - 3).(x + 2) =  (1/3 x - 1).(x + 2) = 1/3 x² + 2/3 x - x - 2 = 1/3 x² - 1/3 x - 2

Entonces, puedo decir que está bien la factorización que hice, porque, operando en el resultado 1/3.(x - 3).(x + 2), obtuve el polinomio original 1/3 x² - 1/3 x - 2.


Más ejercicios resueltos,  parecidos al Ejemplo 3:


-1/4 x² - 5/4 x + 3/2 = -1/4.(x - 1).(x + 6)        x₁ = 1     x₂ = -6


1/2 a² + 1/6 a - 4 = 1/2.(a - 8/3).(a + 3)     a₁ = 8/3    a₂ = -3


m² - 2m - 5/4 = (m - 5/2).(m + 1/2)   m₁ = 5/2   m₂ = -1/2     


x² + 1/2 x - 1/2 = (x - 1/2).(x + 1)      x₁ = 1/2    x₂ = -1  




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEPTIMO CASO: TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 ("Un primer ejemplo")
EJEMPLO 2  (Con coeficiente principal distinto de 1)
EJEMPLO 4  ("No tiene raíces reales")
EJEMPLO 5  ("Raíz repetida")

AVANZADOS:
EJEMPLO 6 (La raíz cuadrada no dá "exacta")
EJEMPLO 7 (Bicuadrada)

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