Trinomio de Segundo Grado: Ejemplo 4 - Matemática y Listo

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"TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO" / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 4: ("No tiene solución en Reales")

x² - 6x + 10 = No se factoriza

Cuando aplico la "fórmula de la cuadrática", queda una raíz cuadrada de un número negativo, que no tiene solución en el Conjunto de los Números Reales. Entonces un ejemplo así no se factoriza.

EXPLICACIÓN:

1) Voy a usar la fórmula "resolvente" de las ecuaciones cuadráticas, para encontrar los valores de x₁ y x₂ (¿y por qué hago eso?):

x_1,2 =

Y para nuestro ejemplo a = 1, b = - 6 y c = 10 (1x² - 6x + 10) (no entiendo). Entonces, reemplazo en la fórmula, y me queda:

x_{1,2 =}

Como la raíz cuadrada de -4 "no tiene solución en reales" (¿qué significa eso?). Es decir que no puedo calcular (probar en la calculadora y ver que dá "error"). Y entonces, no puedo seguir con el cálculo, y no puedo encontrar las raíces x₁ y x₂ que necesito para factorizar al polinomio de segundo grado. Conclusión: este polinomio no lo puedo factorizar.(¿Y no se puede con otro Caso?)

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales de este Caso están en CONCEPTOS - SÉPTIMO CASO

¿Pero acaso no es igual al número complejo 2i? ¿Si tiene solución, por qué no lo factorizo?

Es verdad que las raíces pares de números negativos tienen solución en el Conjunto de los Números Complejos (más sobre esto). Y que entonces se podrían calcular las raíces x₁ y x₂. Pero esas raíces serían números Complejos y no Reales (¿Qué son los números Reales?). De todos modos, mostraré las soluciones y cómo quedaría la factorización con números Complejos en este EJEMPLO 4.

x_{1,2 =}

x₁ =

x₂ =

Como a = 1, x₁ = 3 + i, y x₂ = 3 - i, la factorización (en Complejos) quedaría así:

1.[x - (3 + i)].[x - (3 - i)] = (x - 3 - i).(x - 3 + i)

¿Y no se puede factorizar por otro Caso de Factoreo?

Este ejemplo (x² - 6x + 10) no es posible factorizarlo por ningún otro Caso. Un polinomio de segundo grado completo, con una sola letra, y en el que no hay Factor Común, no tiene otra posibilidad de factorizarse con los siguientes Casos:

Trinomio Cuadrado Perfecto
Trinomio de Segundo Grado
Buscando las raíces con el Método de Gauss

En esos tres Casos, la factorización tiene que ver con sus raíces. Si el polinomio no tiene raíces en el Conjunto de los Reales, no se podrá factorizar. Aclaro que no tiene que haber Factor Común, porque si lo hubiera, lógicamente se podría factorizar con el Primer Caso: Factor Común, que es lo primero que debe hacerse si se puede en cualquier polinomio que intentemos factorizar (eso se verá cuando hagamos ejercicios en los que se combinan varios Casos de Factoreo). Por ejemplo:

2x² + 4x + 10 =

En el polinomio de segundo grado como el precedente, se puede sacar Factor Común "2", así:

2.(x² + 2x + 5) =

Pero esa el la única factorización que se puede hacer, porque lo que queda (x² + 2x + 5) no tiene factorización, ya que no tiene raíces "reales".

Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 4:

x² + 2x + 5 = no se puede factorizar        x₁ = -1 + 2i     x₂ = -1 - 2i

a² - 4a + 5 = no se puede factorizar        a₁ = 2 + i    a₂ = 2 - i

m² + 2m + 10 = no se puede factorizar     m₁ = -1 + 3i   m₂ = -1 - 3i

Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEPTIMO CASO: TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO

Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 ("Un primer ejemplo")
EJEMPLO 2 (Con coeficiente principal distinto de 1)
EJEMPLO 3 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 ("Raíz repetida")

AVANZADOS:
EJEMPLO 6 (La raíz cuadrada no dá "exacta")
EJEMPLO 7 (Bicuadrada)

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