EJEMPLO 5: ("Raíz repetida")

1/3 x² - 1/3 x + 1/12 = 1/3. (x - 1/2).(x - 1/2) = 1/3. (x - 1/2)²

Cuando aplico la "fórmula de la cuadrática", obtengo un sólo resultado. Es que en realidad el Trinomio es "cuadrado perfecto", y podría factorizarse por el Tercer Caso, pero aplicando primero el caso Factor Común (en este ejemplo en particular).

EXPLICACIÓN:


Uso la fórmula "resolvente" de las ecuaciones cuadráticas, para encontrar los valores de x₁ y x₂ (¿y por qué hago eso?):

x_1,2 =

Y para nuestro ejemplo a = 1/3, b = -1/3 y c = 1/12 (1/3 x² - 1/3x + 1/12). Entonces, reemplazo en la fórmula, y me queda: 

x_{1,2 =}

x₁ = x₂ =  1/2    

Como "lo que está debajo de la raíz" me dió cero, y raíz de cero es cero, por más que sume o reste 0 obtendré el mismo resultado: 1/2. Entonces hay un solo resultado, una sola raíz para este polinomio. Se la llama "raíz doble". Y cuando sucede esto es porque el trinomio de segundo grado que queremos factorizar es en realidad un trinomio cuadrado perfecto (¿qué es eso?), y hubiera sido mejor que lo factorizáramos con el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto (¿seguro que se puede?)


Luego tengo que factorizar el polinomio según la fórmula:

a.(x - x₁).(x - x₂)

Donde a = 1/3 es el coeficiente principal del polinomio (el número que multiplica a la x²). Y x₁ y x₂ son las "raíces" del polinomio de segundo grado, que hallé con la fórmula de la ecuación cuadrática. Pero en este ejemplo en particular, x₁ y x₂ resultaron ser iguales a 1/2. Así tengo que reemplazar en esa fórmula a "a", x₁ y x₂ con los valores que encontré:

1/3.(x - 1/2).(x - 1/2) =

a             x₁            x₂

Pero como quedaron dos (x - 1/2) multiplicándose, puedo poner en lugar de ambos: (x - 1/2)² que es lo mismo que (x - 1/2).(x - 1/2) (¿por qué?). Entonces, la factorización se puede escribir también así:

1/3.(x - 1/2)²

Que es como hubiera quedado si en vez de este Caso hubiera aplicado el Tercer Caso de Factoreo (previo sacar Factor Común 1/3). (¿cómo sería eso?)

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales de este Caso están en CONCEPTOS - SÉPTIMO CASO 


¿Qué tiene de particular este ejemplo?

Mucho. Al aplicar la fórmula de la cuadrática para encontrar las raíces, obtenemos un solo resultado ("raíz doble"). En ejemplos como éste, las dos raíces del polinomio de segundo grado son iguales, y entonces se trata de un "binomio al cuadrado" (¿qué es eso?). Y por eso se puede factorizar con el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto. No está mal factorizar usando este Séptimo Caso, pero es mejor identificar desde el principio que se trata de un trinomio cuadrado perfecto y factorizar con ese Caso.
Si decidimos averiguar el discriminante (¿qué es eso?) de la fórmula resolvente (lo que está debajo de la raíz), nos dará cero. Y eso nos pone en alerta de que habrá un solo resultado. Ahí podemos deternos y analizar el ejercicio desde otro punto de vista: Ver si se puede aplicar el Tercer Caso directamente, o si hay que Sacar Factor Común antes...


¿Por qué digo que "se trata de un binomio al cuadrado"?

Veamos el resultado de la factorización:

1/3.(x - 1/2)²

(x - 1/2)² es un "binomio" (polinomio de dos términos), elevado al "cuadrado" (la potencia de exponente dos). Eso lo sabrán si ya aprendieron el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto, donde al factorizar el "trinomio" se obtenía un "binomio al cuadrado". En este Séptimo Caso, al factorizar un "trinomio", obtenemos en general una multiplicación de dos binomios diferentes:

(x - x₁).(x - x₂)      por ejemplo (x - 2).(x + 3)

Pero si resulta que x₁ y x₂ son iguales, como pasó en el EJEMPLO 5 que estamos viendo, los dos binomios no son diferentes, son iguales: 

(x - 1/2).(x - 1/2)

Y dos cosas iguales, multiplicándose, es lo mismo que una de esas cosas elevada a la potencia dos o "cuadrado", por el concepto de potencia:

(x - 1/2)²

Y ahí está entonces el "binomio al cuadrado", tal como los que obtenemos al usar el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto.


¿Qué es una "raíz doble" en un polinomio?

Podríamos decir que es una raíz que aparece dos veces en la factorización completa del polinomio. Hablemos ya de polinomios de cualquier grado, no sólo de segundo grado. Por ejemplo, veamos estos polinomios ya factorizados, que tienen raíces dobles

3.(x + 1).(x - 2).(x - 2).(x - 5)    "2" es raíz doble de este polinomio

-(x + 3).(x - 1).(x + 3)    "-3" es raíz doble de este polinomio (¿por qué el cambio de signo?)

-1/2.(x - 1).(x - 1)           "1" es raíz doble en este polinomio

9.(x - 3)².(x - 2)              "3" es raíz doble en este polinomio

En el Último Caso de Factoreo, que usa el Método de Gauss para encontrar raíces, explicaré más sobre todo esto.


¿Cómo se factorizaría este EJEMPLO 5 sin usar el Séptimo Caso?

Como ya dije varias veces, en este ejemplo es más apropiado usar el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto. Pero además, antes hay que aplicar el Primer Caso: Factor Común. De manera que es un ejercicio combinado, con varios Casos de Factoreo. Más adelante me ocuparé de dar ejemplos resueltos y explicados de estos "ejercicios combinados". Pero aquí mostraré cómo se haría el Ejemplo que estamos tratando:

1/3 x² - 1/3 x + 1/12 =

Primero saco Factor Común 1/3        (Primer Caso: Factor Común - EJEMPLO 4: Con fracciones)

1/3.(x² - x + 1/4) =

Queda un trinomio, entonces aplico el Tercer Caso: (Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto)

1/3.( x² - x + 1/4) = 1/3.(x - 1/2)²

       x         -1/2
          2.x.(-1/2)
            -x


¿Por qué "la raíz cambia de signo"?

Porque, en la factorización de polinomios según sus raíces, las raíces "se restan" a la x. Ésta es la forma general de un polinomio así factorizado:

a.(x - x₁).(x - x₂).(x - x₃)... etc.

Allí se ve que las raíces (x₁, x₂, x₃, etc.) van "restando". Eso hace que los números aparezcan "con el signo cambiado", y puede crear alguna confusión. Por ejemplo, si una de las raíces es 5 (número positivo), el binomio correspondiente será:

(x - 5)

En cambio, si es un número negativo, como -3, el binomio correspondiente será:

(x + 3)

Porque la resta (x - (-3)) es igual a (x + 3). Así, si la raíz es negativa, en el binomio aparece sumando; y si es positiva, aparece restando.


Verificación de la factorización:

Comprobemos ahora si es verdad que 1/3. (x - 1/2)² ó 1/3. (x - 1/2).(x - 1/2) son iguales a 1/3 x² - 1/3 x + 1/12. Lo voy a hacer de las dos formas. Para la primera, hay que usar la fórmula del cuadrado de un binomio (a² + 2ab + b²), y luego hacer la Distributiva con 1/3:

1/3. (x - 1/2)² = 1/3. [x² + 2.x.(-1/2) + (-1/2)²] = 1/3.(x² - x + 1/4) =
1/3 x² -1/3 x + 1/12

Y para la siguiente, hay que usar dos veces la Distributiva. Primero la aplico entre 1/3 y un binomio, y luego entre el resultado y el otro::

1/3. (x - 1/2).(x - 1/2) = (1/3 x - 1/6).(x - 1/2) = 1/3 x² - 1/6 x - 1/6 x + 1/12 =
1/3 x² - 1/3 x + 1/12

Entonces, puedo decir que está bien la factorización que hice, porque, operando en los resultados obtuve el polinomio original.


Más ejercicios resueltos,  parecidos al Ejemplo 5:


4x² +  4x  + 1 = 4.(x + 1/2).(x + 1/2) = 4.(x + 1/2)²    x₁ =  x₂ = -1/2


9a² - 12a  + 4 = 9.(a - 2/3).(a - 2/3) =  9.(a - 2/3)²     a₁ = a₂ = 2/3


1/4 m² - m  +  1 = 1/4.(m - 2).(m - 2)    m₁ = m₂ = 2    




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEPTIMO CASO: TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 ("Un primer ejemplo")
EJEMPLO 2  (Con coeficiente principal distinto de "1")
EJEMPLO 3  (Con fracciones)
EJEMPLO 4  ("No tiene raíces reales")

AVANZADOS:
EJEMPLO 6 (La raíz cuadrada no dá "exacta")
EJEMPLO 7 (Bicuadrada)

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