EJEMPLO 6: (La raíz cuadrada no dá exacta)
x2 + x - 1 = [x - (
)].[x
- (
)]
= (x + 
).(x
+ 
)
Cuando aplico la "fórmula de la cuadrática",
me queda una raíz cuadrada que no dá exacta. Entonces, tengo que trabajar con
"Radicales", y las raíces
(x1 y x2)
son expresiones de dos términos.
EXPLICACIÓN:
Uso la fórmula "resolvente" de las ecuaciones cuadráticas,
para encontrar los valores de x1 y x2 (¿y
por qué hago eso?):
x1,2 = 
Y para nuestro ejemplo a = 1, b = 1 y c = -1 (1x2 +
1x - 1)
(no entiendo). Entonces, reemplazo
en la fórmula, y me queda:
x1,2 = 
x1 = 
(con la suma)(¿cómo lo separé en dos
términos?)
x2 = 
(con la resta)
Luego tengo que factorizar el polinomio según esta fórmula:
a.(x - x1).(x - x2)
Donde a = 1 es el coeficiente principal del polinomio (el número que multiplica
a la x2). (En x2 + x - 1, parece que no hubiera ningún
número multiplicando a la x2 ni a la x, pero en realidad hay que pensar que
hay un "1" multiplicando en ambos casos) (¿por qué?).
Y x1 y x2 son las "raíces" del polinomio de segundo grado, que hallé
con la fórmula de la ecuación cuadrática (
y ). Así tengo que reemplazar en esa fórmula a "a", x1 y x2 con
los valores que encontré para cada uno:
1.[x - ()].[x -
()] =
[x - (
)].[x
- (
)] =
(x + ).(x
+ )
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los conceptos
generales de este Caso están en CONCEPTOS -
SÉPTIMO CASO
¿Por qué en este Ejemplo no calculo la raíz de 5?
Porque esa raíz cuadrada no dá exacta. Es un número irracional:
2,236067977... Y en Matemática se prefiere trabajar con esas raíces sin
resolverlas, en lugar de aproximar su valor. El trabajo con esas raíces
"irracionales" es todo un tema de Matemática: se aprende a sumar,
restar, multiplicar o dividir radicales, extraer factores fuera del radical,
racionalizar, etc. Y para resolver ejemplos como este EJEMPLO 6, muchas veces
hay que conocer ese tema, sobre todo "extraer factores fuera del
radical", que en este ejemplo no tuvimos que aplicar, pero sí en la
mayoría de los ejemplos (¿a ver un ejemplo?).
¿Cómo separo en dos términos?
Cuando tengo sumas o restas sobre una línea de fracción (por ejemplo ),
puedo "separar" la expresión en dos fracciones con el mismo
denominador. Y lo que en realidad se hace es aplicar la Propiedad Distributiva
entre la suma y la división. Hay que tener cuidado al determinar el signo con
el que queda cada fracción, y para eso hay que pensar que estamos dividiendo, y
entonces hay que usar la regla de los signos ("más por más = más",
"más por menos = menos", etc.) que vale para la división y la
multiplicación. En los siguientes ejemplos se ve cómo hacer en cada caso, y se
explica de dónde salió cada signo:
Con denominador positivo:
1)
La primera fracción es negativa, porque el -1 es negativo y el 2 es positivo,
entonces: "menos por más = menos".
La segunda fracción es positiva, porque la raíz de 5 es positiva y el 2 es
positivo, entonces: "más por más = más".
Con denominador negativo:
3) 
La primera fracción es positiva, porque el -1 es negativo y el -2 es negativo,
entonces: "menos por menos = más".
La segunda fracción es negativa, porque la raíz de 5 es positiva y el -2 es
negativo, entonces: "más por menos = menos".
Ejemplos más complicados:
Como decía en una pregunta anterior, hay otros ejemplos en donde hay que saber
"trabajar con radicales" para llegar a una solución mejor expresada. Y es porque "lo que queda debajo de la raíz", es un
número compuesto y se pueden "extraer factores fuera del radical".
Por ejemplo, si queda una raíz de 8, 20, 24, etc. Nos puede quedar algo
así:
Como se puede ver allí, en la raíz de 8 hay que "extraer factores",
y queda 
.
Pero para hacer eso hay que haber aprendido a "trabajar con
radicales". En caso de no se sepa eso, se puede dejar el resultado con la
raíz de 8; pero si ya hemos visto el tema, nos exigirán que lo terminemos
bien.
Verificación de la factorización:
Comprobemos ahora si es verdad que
(x + ).(x
+ )
es igual a
x2 + x - 1. Hay que aplicar la Propiedad
Distributiva. Pero en este caso "entre tres y tres":
(x + ).(x
+ )
= x2 + 
x + 
x +
x + 
+ 
-
x -
- 
= x2 + x - 1
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
SEPTIMO CASO: TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1 (Un primer ejemplo)
EJEMPLO 2 (Con coeficiente principal distinto
de "1")
EJEMPLO 3 (Con fracciones)
EJEMPLO 4 ("No tiene raíces
reales")
EJEMPLO 5 ("Raíz repetida")
AVANZADOS:
EJEMPLO 7 (Bicuadrada)
