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"TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO" / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7


EJEMPLO 7: ("Bicuadrada")


x4 - 5x2 + 4 = (x - 1).(x + 1).(x - 2).(x + 2)


Con este Caso de Factoreo se pueden factorizar también algunos polinomios de cuarto grado, que cumplen con ciertas condiciones: un término de grado 4, un término de grado 2 y un término independiente. También se usa la fórmula resolvente de las ecuaciones cuadráticas, pero se encuentran 4 raíces.



EXPLICACIÓN:


Podemos hacer que x4 - 5x2 + 4 se vea como un polinomio de segundo grado, haciendo la siguiente transformación:

(x2)2 - 5x2 + 4

Así, podemos decir que la x2 es la variable del polinomio (¿qué es una variable?), y entonces en el primer término (x2)2 sería el término de segundo grado
(¿por qué?), el segundo término (-5x2) es el término de primer grado
(no entiendo), y el tercer término (4) es el término independiente. Para que se entienda mejor, vamos a hacer un cambio de variables:

A x2 la llamamos ahora z, y va a ser la variable del polinomio. Entonces, reemplazo la x2 por z y el polinomio quedaría así:

z2 - 5z + 4

Ahí se nota más que lo transformamos en un polinomio de segundo grado. Así, podemos hallar sus raíces con la fórmula resolvente de la cuadrática, como hacíamos en los otros ejemplo. Pero las raíces se llamarán ahora z1 y z2, ya que z es el  nombre de la nueva variable. Las voy a calcular:

z1,2 =
Y para nuestro ejemplo a = 1, b = -5 y c = 4 (1z2 - 5z + 4). Entonces, reemplazo en la fórmula, y me queda: 

z1,2 =

z1 =       (con la suma)

z2 =       (con la resta)

Ya encontré z1 = 4 y z2 = 1, pero ahora hay que acordarse de que z era igual a x2. Y que nosotros estamos buscando las x que son raíces del polinomio de cuarto grado que empezamos a factorizar. Una de las z me dió 4, quiere decir que x2 es igual a 4. La otra de las z me dió 1, entonces x2 es igual a 1. Eso se traduce en dos ecuaciones:

x2 = 4              y          x2 = 1

Ahora resuelvo esas dos ecuaciones, y así obtengo todos los valores posibles que puede tomar x:

x2 = 4

x1 = = 2

x2 = - = -2     (¿por qué se resuelve así?)

Y la otra:

x2 = 1

x3 = = 1

x4 = - = -1     (¿por qué x3 y x4?)

Así, obtuve cuatro resultados para x: 2, -2, 1 y -1. Y eso tiene que ver con que este no era en un principio un polinomio de segundo grado, sino que era de cuarto grado. Un polinomio de grado 4 puede tener hasta 4 raíces, como este caso, aunque ese no es nuestro tema ahora. Luego tengo que factorizar el polinomio según esta fórmula:

a.(x - x1).(x - x2).(x - x3).(x - x4) =

1.(x - 2).(x -(- 2)).(x - 1).(x - (-1)) =

(x - 2).(x + 2).(x - 1).(x + 1)



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales de este Caso están en CONCEPTOS - SÉPTIMO CASO 


¿Qué es una "bicuadrada" y por qué se le dice así?

Se le llama así a una ecuación o a un polinomio de cuarto grado que tiene tres términos: uno de grado 4, uno de grado 2 y un término independiente (siempre hablando de polinomios con una sola variable). Por ejemplo:

3x4 - 5x2 + 1 = 0

Es una ecuación "bicuadrada", porque: tiene un término de grado 4 (3x4), un término de grado 2 (-5x2) y un término independiente (1). Este tipo de ecuaciones se puede resolver "viéndola" como una ecuación cuadrática, pero tomando como variable a x2. Así, el primer término sería el de segundo grado, porque 3x4 es igual a 3(x2)2; el segundo término sería el de grado 1, porque -5x2 es igual a -5(x2)1; y el tercer término es el de grado cero sin hacerle ninguna modificación. Es decir, que tenemos una ecuación con una nueva variable (x2), que está al cuadrado en el primer término, a la primera en el segundo, y no está en el término. Podemos verla entonces como una ecuación cuadrática en vez de una ecuación de cuarto grado.

3(x2)2 - 5(x2)1 + 1 = 0

Donde a, b y c son 3, -5 y 1 respectivamente (para más datos ver la EXPLICACIÓN). Así, se puede usar la fórmula resolvente de las ecuaciones cuadráticas para encontrar los valores que puede tomar x2, y luego x. Los resultados (raíces) pueden ser hasta cuatro diferentes (x1, x2, x3 y x4), y la factorización del polinomio quedaría así:

a.(x - x1).(x - x2).(x - x3).(x - x4)

Y se llama "bicuadrada", porque "bi" significa "dos", entonces ese nombre querría decir: "dos veces cuadrática".


¿Por qué (x2)2 es el término de segundo grado, y -5x2 es el de primer grado?

Podemos ver a (x2)2 como un término de segundo grado, ya que es "algo elevado a la 2", es la "x2 elevada a la 2". Eso tiene sentido si tomamos como variable del polinomio (la letra del polinomio), a la x2 en vez de la x. En ese primer término, (x2)2, nuestra variable (x2) está elevada a la 2: entonces es el término de grado 2.
Y -5x2 sería el término de primer grado (o "grado 1"), porque -5x2 es igual a -5(x2)1. Si pensamos que la variable de nuestro polinomio es x2, en ese término nuestra variable está elevada a la 1. 


¿Cómo se despeja la x2?

En la explicación del ejemplo hice lo siguiente:

x2 = 4

x1 = = 2

x2 = - = -2

Esto significa que, al despejar la x2, obtengo dos resultados: uno positivo (x1) y uno negativo (x2). Yo puse los resultados por separado, pero en Nivel Medio se suelen poner los dos resultados juntos, así:

x2 = 4

x =

Esto no sería del todo correcto, pero en Nivel Medio se acepta representarlo así. Lo óptimo es usar el "Módulo", pero en Nivel Medio no lo suelen dar (Ver cómo es con el Módulo).

Ahora ¿por qué dá dos resultados? Bueno, pensemos que, al resolver esa ecuación estamos buscando el o los valores de x que elevados al cuadrado den 4. Y hay dos números que elevados al cuadrado dan 4: Son el 2 y el -2, ya que:

22 = 4 , pero también

(-2)2 = 4

Entonces, las soluciones de la ecuación x2 = 4 son dos: el 2 y el -2. Entonces, siempre hay que acordarse que: "Cuando en una ecuación paso el cuadrado como raíz cuadrada, tengo que pensar que dá dos resultados, uno positivo y uno negativo".

Y eso también se puede representar con lo que se llama "Módulo", y así se evita usar el "más-menos". Sería así:

x2 = 4

|x| =

|x| = 2, entonces:

x = 2 ó x = -2

Ya que si el módulo de x es igual a un número natural, entonces x es igual a ese número o a su opuesto (el negativo). Pero no me extenderé más aquí sobre el módulo, porque no es el tema. Eso es sólo para los que ya lo conocen.


¿Qué pasa si la bicuadrada tiene solamente dos raíces reales?

x4 - 2x2 - 8 =

Cambio la variable del polinomio por x2:

(x2)2 - 2x2 - 8 =

Y mejor reemplazo la x2 por otra letra (z), para que se entienda mejor que me queda una ecuación cuadrática:

z2 - 2z - 8 =

Ahora busco los valores de z con la fórmula resolvente de las cuadráticas:

z1,2 =

Y en este ejemplo a = 1, b = -2 y c= -8. Entonces reemplazo:

z1,2 =

z1 =           (con la suma)

z2 =      (con la resta)

Pero como z era igual a x2, vuelvo a cambiar la variable:

x2 = 4   ó    x2 = -2

Y resuelvo entonces estas dos ecuaciones:

x2 = 4

x1 = = 2

x2 = - -2

Y la otra:

x2 = -2

Pero esta ecuación no tiene solución en el Conjunto de los Números Reales, ya que no puede haber ningún número que elevado al cuadrado dé -2 (los cuadrados de números reales dan positivos siempre). O "si pasara el cuadrado como raíz cuadrada", me quedaría la raíz cuadrada de -2, la cual no tiene solución en Reales (en la calculadora dá "error").
Entonces, esta bicuadrada tiene sólo dos soluciones "reales": 2 y -2.
Si sucede esto, no puedo factorizar el polinomio con esta forma:

a.(x - x1).(x - x2).(x - x3).(x - x4)

porque me faltan dos raíces. Pero hay una forma de seguir la factorización, aunque ya no entra dentro de los temas que se ven en Nivel Medio. Habría que dividir el polinomio por
(x - x1).(x - x2), y el resultado (cociente) sería un polinomio irreducible. Entonces se podría factorizar como: "(x - x1).(x - x2).COCIENTE". De todos modos existe una manera mejor de factorizar este tipo de polinomio (y que está relacionado con esto último que expliqué), que es usando el método de Gauss para encontrar raíces (Factoreo con Gauss).




¿Por qué al resolver la segunda ecuación llamo x3 y x4 a los resultados?

Es que los resultados de la primera ecuación eran dos, y los llamé x1 y x2, como se acostumbra en las ecuaciones de segundo grado. Como en la segunda ecuación estoy encontrando otros dos resultados más, los llamo x3 y x4. Las raíces del polinomio o las soluciones de la bicuadrada son ahora cuatro y no dos, por eso se les llama: x1, x2, x3 y x4.


Verificación de la factorización:

Comprobemos ahora si es verdad que (x - 1).(x + 1).(x - 2).(x + 2) es igual a x4 - 5x2 + 4. Aplico la Distributiva primero entre los dos primeros y los dos últimos binomios, y luego entre los dos resultados:

[(x - 1).(x + 1)].[(x - 2).(x + 2)] =  (x2 + x - x - 1).(x2 + 2x - 2x - 4) = (x2 - 1).(x2 - 4)

x4 - 4x2 - x2 + 4 = x4 - 5x2 + 4


Más ejercicios resueltos,  parecidos al Ejemplo 7:


x4 -  10x2 + 9 = (x - 3).(x + 3).(x - 1).(x + 1)   x1 = 3   x2 = -3  x3 = 1   x4 = -1 


a4 - 17/4 a + 1 = (a - 1/2).(a + 1/2).(a - 2).(x + 2)  a1 = 1/2  a2 = -1/2  a3= 2  a4= -2


m4 - 17m2  + 16 = (m - 4).(m + 4).(m - 1).(m + 1)   m1 = 4  m2 = -4  m3 = 1  m4 = -1




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEPTIMO CASO: TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Un primer ejemplo)
EJEMPLO 2  (Con coeficiente principal distinto de "1")
EJEMPLO 3  (Con fracciones)
EJEMPLO 4  ("No tiene raíces reales")
EJEMPLO 5  ("Raíz repetida")

AVANZADOS:
EJEMPLO 6 (La raíz cuadrada no dá "exacta")




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