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TRINOMIO CUADRADO PERFECTO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1





EJEMPLO 1:
(Con los tres términos positivos)


x2 +  6x  +  9 = (x + 3)2

x            3
    2.3.x
      6x




Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo.
Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2



EXPLICACIÓN:


1) ENCONTRAR DOS TÉRMINOS QUE SEAN "CUADRADO":

Los términos de este trinomio que son "cuadrado" de algo son la x2 y el 9 (¿qué es un "cuadrado"?). Ya que x2 "es el cuadrado" de x. Y 9 "es el cuadrado" de 3 (ya que 32 es igual a 9). (¿por qué?)

El término "6x" nunca podría ser cuadrado de algo, ya que 6 no tiene raíz cuadrada, y x no es una potencia par. (más explicación sobre esto)


2) "BAJAR" LAS BASES: (¿a qué se llama las "bases"?)

Bajo la "x" y el "3", ya que son "las bases" de los cuadrados de ese polinomio, como dice en el paso anterior.

Nota: Las bases se suelen poner debajo de sus cuadrados respectivos, a modo de anotación, más que nada para guiarse uno mismo, o como planteo para que el profesor vea lo que quisimos hacer. Pero en realidad no es parte del resultado, y no sería obligación ponerlo en caso de que no nos estén evaluando (serviría como "justificación" en ese caso).


3) VERIFICAR EL "DOBLE PRODUCTO DE LAS BASES":

Una vez que tengo las bases (x y 3), multiplico de esta manera:

2.x.3      ("Dos por x por 3")

Éso es "el doble producto de las bases" (¿"doble producto"?). Y el resultado es: "6x"

2.x.3 = 6x      (¿por qué?).

Ahora miro el polinomio y veo que en él "está 6x".  (x2 + 6x + 9). Es decir, que el término que no es cuadrado, es 6x. Coincide con el doble producto de las bases. Esto tiene que ser así para que se pueda factorizar con este Caso.
Acabo de verificar que el polinomio que me dieron es un Trinomio Cuadrado Perfecto, porque cumple con lo que tiene que tener un Trinomio Cuadrado Perfecto: "dos cuadrados", y "el doble producto de las bases". Y eso viene de la fórmula (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2. Pero en esta parte sólo trato de explicar "cómo se hace" y no "de dónde viene". (Si les interesa saber más acerca de esto, pueden consultar en los CONCEPTOS)


4) EL RESULTADO DE LA FACTORIZACIÓN:

(x + 3)2

El resultado es "la suma de las bases, elevada al cuadrado". Es decir, pongo "x" y "3" sumando entre paréntesis, y elevado a la potencia 2. El fundamento de esto lo pueden consultar en: ¿por qué se factoriza de esta manera?



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿Cómo puedo saber si un número es "cuadrado" de algún otro?

Decía más arriba que "9 es el cuadrado de 3". Y es porque 32 dá 9. O sea "3 al cuadrado es 9", entonces "9 es el cuadrado de 3".
Si no pueden darse cuenta a simple vista si un número es cuadrado de otro, ni de qué número es cuadrado, lo que pueden hacer es sacarle la raíz cuadrada al número con la calculadora. Si dá un número exacto (natural, sin coma), entonces sí es cuadrado, y es cuadrado del número que dió al sacar la raíz. En nuestro ejemplo = 3.
Otro ejemplo:

Supongamos que quiero saber si 144 es un cuadrado. Entonces pongo en la calculadora y veo que dá 12. Concluyo que 144 es un cuadrado, es el cuadrado de 12. En cambio, si pongo , obtengo 9,1104..., un número "con coma". El 83 no tiene raíz cuadrada exacta, no es un cuadrado.


¿Por qué puedo asegurar que 6x no es uno de los cuadrados?

6x representa a la multiplicación "6 por x". Para que una multiplicación sea "cuadrado", ambos factores deben ser cuadrados (¿por qué?). Por ejemplo: 25x2, 9a4, 16b6.

25x2 es "cuadrado", porque 25 es cuadrado y x2 es "cuadrado".
9a4 es "cuadrado", porque 9 es cuadrado y a4 es cuadrado (de a2). (¿por qué?)
16b6 es "cuadrado", porque 16 es cuadrado y b6 es cuadrado (de b3).

En cambio 6x no puede ser "cuadrado", porque 6 no es cuadrado, y x no es cuadrado.
Pueden tomar esto como regla, pero si quieren saber el por qué de ésto, lean en la pregunta siguiente.


¿Por qué para que una multiplicación sea cuadrado, los 2 factores tienen que ser cuadrados?

Recordemos la Propiedad Distributiva entre la multiplicación y la potencia, que dice que:

(a.b)n = an.bn

Por ejemplo:

(5.x)2 = 52. x2 = 25x2
(3.a2)2 = 32. (a2)2 = 9x4
(4.b3)2 = 42 . (b3)2 = 16b6

Como cuando elevamos al cuadrado una multiplicación, tenemos que elevar cada factor, los dos factores del resultado son cuadrados.


Verificación de la factorización:

Comprobemos ahora si es verdad que x2 +  6x  +  9 es igual a (x + 3)2

(x + 3)2 se puede resolver con la fórmula (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2, que es para elevar a la potencia 2 a las sumas o las restas (lo que se llama "Cuadrado de un binomio"). Entonces lo voy a hacer:

(x + 3)2 = x2 +  2.x.3  +  32 = x2 +  6x  +  9           (¿cómo se aplica esta fórmula?)

Entonces, puedo decir que está bien la factorización que hice, porque, operando en el resultado (x + 3)2, obtuve el polinomio original (x2 +  6x  +  9).

Pero si no nos acordamos cómo se usa la fórmula ésa del binomio, también podemos hacerlo sin ella, pensando que (x + 3)2 significa multiplicar dos veces por sí mismo a
(x + 3), es decir, hacer: (x + 3).(x + 3). Entonces, ahora lo voy a hacer así:

(x + 3).(x + 3) = x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 9

En esta otra manera de verificar, estamos usando la Propiedad Distributiva de la multiplicación con la suma. Es necesaria para verificar cualquier caso de factoreo, así que más vale que la sepan usar. (aprender la Propiedad Distributiva)


Multiplicaciones en el "término del medio":

Ejemplos:

2.x.3 es igual a 2.3.x, porque en la multiplicación se puede cambiar el orden, y eso lo permite la Propiedad Conmutativa de la multiplicación. Y 2.3.x es igual (2.3).x por la Propiedad asociativa de la multiplicación. Y (2.3).x es igual a 6.x, lo que es igual a 6x (cuando no hay nada entre una letra y un número, o entre dos letras, significa que hay un signo "por", es decir, que se están multiplicando).

2.x.(-5) es igual a 2.(-5).x, por la misma razón que en el ejemplo anterior. Y 2.(-5).x es igual a -10x.

2.7x.3y es igual a 2.7.3.x.y, por la misma razón de siempre: se puede cambiar el orden. Y eso es igual a 5xy.

2.x.(-4y) es igual a 2.(-4).x.y. Podemos separar el "-4" de la "y", porque -4y es lo mismo que -4.y. Así puedo ver al -4 como algo independiente, y ponerlo en cualquier lado al cambiar el orden. Finalmente, 2.(-4).x.y es igual a -8xy.

2.(-3x).(-5y) es igual a 2.(-3).(-5).x.y, por lo mismo que en el ejemplo anterior. Y eso es igual a 30xy.

2.x3.x2 es igual a 2.x5 por la propiedad de la multiplicación de las potencias de igual base (se suman los exponentes) (ver la propiedad)

2.(-3x2).5x3z  es igual  a 2.(-3).5.x2.x3.z  por lo mismo que en los ejemplos anteriores. Eso es igual a -30x5z.

2.x.4/3 es igual a 2. 4/3 . x. Por la misma propiedad que en los ejemplos anteriores. Y eso dá como resultado 8/3 x.


¿Cómo se aplica la Propiedad Distributiva entre dos "binomios"?

Se trata de "multiplicar todo con todo". El resultado es un polinomio de 4 términos. Es decir que tendremos 4 términos "sumando o restando". Para determinar el signo con el que queda cada término, tenemos que mirar el signo de cada cosa que multiplicamos, para poder aplicar la regla de los signos (+.+ = +, etc. Ver Regla de los signos). Hay que recordar que cada término tiene su signo adelante, y que si no hay signo adelante del término, hay que pensar que hay un más (+).

Por ejemplo:

(x + 3).(y - 5) = xy - 5x + 3y - 15

Empiezo con la "x":

Primer término: Multipliqué la "x" por la "y". Como ambos términos son positivos, más por más es más. El resultado es xy positivo, pero no le pongo el más adelante porque es el primer término.
Segundo término: Multipliqué la "x" por el (-5). Más por menos es menos, el resultado es "5x negativo", o sea -5x. Es decir que este segundo término queda restando.

Ya terminé con la "x", ahora lo hago con el "3":

Tercer término: Multipliqué el "3" por la "y". Más por más es más. El resultado es 3y positivo. O sea que ese término queda sumando.
Cuarto término: Multipliqué el "3" por el (-5). Más por menos es menos. El resultado es 15 negativo, o sea -15. Ese término queda entonces restando.

Para nuestro tema (verificar que factoricé bien un trinomio), solamente voy a tener estas dos situaciones

1) Suma por suma: Es lo más fácil, ya que todos los términos del resultado son positivos.
Ejemplo:

(x + 4).(x + 4) = x2 +  4x + 4x + 16 = x2 +  8x + 16

Pero como los dos términos del medio (4x y 4x) tienen igual parte literal (la x)
(¿parte literal?), se pueden "juntar" (¿"juntar"?). 4x + 4x es igual a 8x, porque se suman los números que las letras tienen delante, o sea: se suman los coeficientes (4 + 4)
(¿qué es un coeficiente?). Esto se aprende en el tema Operaciones con Polinomios.


2) Resta por resta. Les pongo un ejemplo para que vean cómo quedan los signos:

(x - 3).(x - 3) = x2 -  3x - 3x + 9 = x2 - 6x + 9


¿Es verdad que este caso de factoreo tiene 2 resultados posibles, aunque nos piden uno sólo?

Sí. Ya lo expliqué en los Conceptos del caso, y ahora lo hago para este ejemplo en particular. Miren esta otra forma de resolver nuestro EJEMPLO 1:

x2    +     6x   +     9 = (-x - 3)2
-x                      -3
       2.(-x).(-3)
             6x

Si los cuadrados son: x2 y 9, la bases pueden ser también -x (en vez de x) y -3 en vez de 3. Ya que (-x)2 también es igual a x2. Y (-3)2 también es igual a 9.
Quiere decir que las bases de los cuadrados pueden ser o positivas o negativas indistintamente. Entonces yo podría elegir: la primera negativa y la segunda positiva, la primera positiva y la segunda negativa, las dos negativas, las dos positivas... Son 4 combinaciones posibles. ¿Pero cuál es la correcta? Y... la que verifique el "doble producto", es decir que al multiplicar me dé con el signo correcto. Y en realidad siempre son dos las combinaciones que dan con el signo correcto. En nuestro ejemplo:

2.(-x).(-3) = 6x        (y antes vimos que 2.x.3 = 6x)

Eligiendo las dos bases negativas, el resultado es 6x positivo. Y también lo era cuando antes elegimos las dos bases positivas. Y eso es por la regla de los signos: "más por más, es más", pero "menos por menos, también es más". Por eso son dos las posibilidades y dos las soluciones para este caso.

Es decir que x2 + 6x + 9 se puede factorizar como (x + 3)2, o como (-x - 3)2, usando este caso de factoreo.


¿Qué es la "parte literal"?

En un término de un polinomio (por ejemplo 5xy2) se le llama "parte literal" a la letras (en nuestro ejemplo xy2). Para diferenciarla del número (el 5 en nuestro ejemplo), al que se lo llama "coeficiente".
Ejemplos:

En "-4x"  la parte literal es "x", y el coeficiente es "-4"
En 7x2a5, la parte literal es x2a5, y el coeficiente es 7.


¿A qué le llaman "juntar" (yo no)?

Es una palabra que usan muchos alumnos, y por eso lo digo así para que quienes usan esa palabra sepan reconocer lo que tienen que hacer. Ellos le dicen "juntar" a sumar o restar los términos con igual "parte literal". Es decir, juntar las cosas que son "iguales": "las equis con las equis", "las equis cuadradas con las equis cuadradas", "los números solos con los números solos", etc.
En realidad son situaciones donde hay varios términos con la misma letra o parte literal, y hay que sumar sus coeficientes. En el ejemplo que estábamos viendo:

x2 +  4x + 4x + 16

Se puede sumar 4x con 4x, y se obtiene 8x: Los "juntamos". En otro ejemplo:

3x2 +  5x - 2x + 1 - 7x2 + 6 =

"Juntamos 3x2 con - 7x2, y nos dá -4x2 (3 - 7 = -4)"
"Juntamos 5x con -2x, y nos dá 3x (5 - 2 = 3)"
"Juntamos el 1 con 6, y nos dá 7 (1 + 6 = 7)"

El resultado es entonces -4x2 + 3x + 7


Más ejercicios resueltos,  parecidos al Ejemplo 1:


x2 +  4x  +  4 = (x + 2)2

x               2
     2.x.2
      4x


x2 +  10x  +  25 = (x + 5)2

x                 5
      2.x.5
       10x


x2 +  14x  +  49 = (x + 7)2

x                 7
       2.x.7
        14x




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 2  (Con el 1)
EJEMPLO 3  (Con fracciones)
EJEMPLO 4  (Con un término negativo)
EJEMPLO 5  (Desordenado)
EJEMPLO 6  (Con un número multiplicando a la x2)
EJEMPLO 7  (Con potencia par distinta de 2)
EJEMPLO 8  (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 9  (Con números decimales)
EJEMPLO 10 (Con la misma letra en los dos cuadrados)
EJEMPLO 11 ("Uno que tenga todo")

AVANZADOS:
EJEMPLO 12 (Con números que no tienen "raíz exacta")
EJEMPLO 13 ("Con los cuadrados negativos")



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