EXPLICACIÓN:
1) ENCONTRAR DOS TÉRMINOS QUE SEAN "CUADRADO":
Los términos de este trinomio que son "cuadrado" de algo son la x2 y el 9 (¿qué es un "cuadrado"?).
Ya que x2 "es el cuadrado" de x. Y 9 "es el cuadrado" de
3 (ya
que 32 es igual a 9). (¿por qué?)
El término "6x" nunca podría ser cuadrado de algo, ya que 6 no tiene raíz
cuadrada, y x no es una potencia par. (más explicación sobre esto)
2) "BAJAR" LAS BASES: (¿a
qué se llama las "bases"?)
Bajo la "x" y el "3", ya que son "las bases" de los cuadrados de ese polinomio,
como dice en el paso anterior.
Nota: Las bases se suelen poner debajo de sus cuadrados respectivos, a modo de anotación, más
que nada para guiarse uno mismo, o como planteo para que el profesor vea lo que
quisimos hacer. Pero en realidad no es parte del resultado, y no sería
obligación ponerlo en caso de que no nos estén evaluando (serviría como
"justificación" en ese caso).
3) VERIFICAR EL "DOBLE PRODUCTO DE LAS BASES":
Una vez que tengo las bases (x y 3), multiplico de esta manera:
2.x.3 ("Dos por x por
3")
Éso es "el doble producto de las bases" (¿"doble
producto"?). Y el resultado es: "6x"
2.x.3 = 6x
(¿por
qué?).
Ahora miro el polinomio
y veo que en él
"está 6x". (x2 +
6x + 9). Es decir, que el término que no es
cuadrado, es 6x. Coincide con el doble producto de las bases. Esto tiene que ser así para que se pueda factorizar con este
Caso.
Acabo de verificar que el polinomio que me dieron es un Trinomio Cuadrado
Perfecto, porque cumple con lo que tiene que tener un Trinomio Cuadrado
Perfecto: "dos cuadrados", y "el doble producto de las bases". Y eso viene de la
fórmula (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2. Pero en esta parte sólo trato de explicar "cómo se hace" y no "de dónde viene".
(Si les interesa saber más acerca de esto, pueden consultar en los
CONCEPTOS)
4) EL RESULTADO DE LA FACTORIZACIÓN:
(x + 3)2
El resultado es "la suma de las bases, elevada al cuadrado". Es decir, pongo
"x" y
"3" sumando entre paréntesis, y elevado a la potencia 2. El fundamento de esto lo
pueden consultar en:
¿por qué se factoriza de esta manera?
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
¿Cómo puedo saber si un número es "cuadrado" de algún otro?
Decía más arriba que "9 es el cuadrado de 3". Y es porque 32 dá 9.
O sea "3 al cuadrado es 9", entonces "9 es el cuadrado de 3".
Si no pueden darse cuenta a simple vista si un número es cuadrado de otro, ni de
qué número es cuadrado, lo que pueden hacer es sacarle la raíz cuadrada al
número con la calculadora. Si dá un número exacto (natural, sin coma), entonces
sí es cuadrado, y es cuadrado del número que dió al sacar la raíz. En nuestro
ejemplo 
= 3.
Otro ejemplo:
Supongamos que quiero saber si 144 es un cuadrado. Entonces pongo en la
calculadora 
y veo que dá
12. Concluyo que 144 es un cuadrado, es el cuadrado de 12. En cambio, si pongo 
, obtengo 9,1104..., un número "con coma". El 83 no tiene raíz
cuadrada exacta, no es un cuadrado.
¿Por qué puedo asegurar que 6x no es uno de los cuadrados?
6x representa a la multiplicación "6 por x". Para que una multiplicación sea
"cuadrado", ambos factores deben ser cuadrados (¿por qué?).
Por ejemplo: 25x2, 9a4, 16b6.
25x2 es "cuadrado", porque 25 es cuadrado y x2 es "cuadrado".
9a4 es "cuadrado", porque 9 es cuadrado y a4 es cuadrado (de
a2). (¿por
qué?)
16b6 es "cuadrado", porque 16 es cuadrado y b6
es cuadrado (de b3).
En cambio 6x no puede ser "cuadrado", porque 6 no es cuadrado, y x no es
cuadrado.
Pueden tomar esto como regla, pero si quieren saber el por qué de ésto, lean en
la pregunta siguiente.
¿Por qué para que una multiplicación sea cuadrado, los 2 factores tienen que
ser cuadrados?
Recordemos la Propiedad Distributiva entre la multiplicación y la
potencia, que dice que:
(a.b)n = an.bn
Por
ejemplo:
(5.x)2 = 52. x2 = 25x2
(3.a2)2 = 32. (a2)2 = 9x4
(4.b3)2 = 42 . (b3)2 =
16b6
Como cuando elevamos al cuadrado una multiplicación, tenemos que elevar cada
factor, los dos factores del resultado son cuadrados.
Verificación de la factorización:
Comprobemos ahora si es verdad que
x2 + 6x + 9 es igual a (x + 3)2
(x + 3)2 se puede resolver con la fórmula (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2, que es para
elevar a la potencia 2 a las sumas o las restas (lo que se llama "Cuadrado de un
binomio"). Entonces lo voy a hacer:
(x + 3)2 =
x2 + 2.x.3 + 32 = x2 +
6x + 9 (¿cómo
se aplica esta fórmula?)
Entonces, puedo decir que está bien la factorización que hice, porque, operando
en el resultado
(x + 3)2, obtuve el polinomio original (x2 + 6x
+ 9).
Pero si no nos acordamos cómo se usa la fórmula ésa del binomio, también podemos
hacerlo sin ella, pensando que
(x + 3)2 significa multiplicar dos veces por sí mismo a
(x + 3), es
decir, hacer: (x + 3).(x + 3). Entonces, ahora lo voy a hacer así:
(x + 3).(x + 3) = x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 9
En esta otra manera de verificar, estamos usando la Propiedad Distributiva de la
multiplicación con la suma. Es necesaria para verificar cualquier caso de
factoreo, así que más vale que la sepan usar. (aprender la
Propiedad Distributiva)
Multiplicaciones en el "término del medio":
Ejemplos:
2.x.3 es igual a 2.3.x, porque en la multiplicación se puede cambiar el orden, y
eso lo permite la Propiedad Conmutativa de la multiplicación. Y 2.3.x es igual
(2.3).x por la Propiedad asociativa de la multiplicación. Y (2.3).x es igual a
6.x, lo que es igual a 6x (cuando no hay nada entre
una letra y un número, o entre dos letras, significa que hay un signo
"por", es decir, que se están multiplicando).
2.x.(-5) es igual a 2.(-5).x, por la misma razón que en el ejemplo anterior. Y
2.(-5).x es igual a -10x.
2.7x.3y es igual a 2.7.3.x.y, por la misma razón de siempre: se puede cambiar el
orden. Y eso es igual a 5xy.
2.x.(-4y) es igual a 2.(-4).x.y. Podemos separar el "-4" de la "y", porque -4y
es lo mismo que -4.y. Así puedo ver al -4 como algo independiente, y ponerlo en
cualquier lado al cambiar el orden. Finalmente, 2.(-4).x.y es igual a
-8xy.
2.(-3x).(-5y) es igual a 2.(-3).(-5).x.y, por lo mismo que en el ejemplo
anterior. Y eso es igual a 30xy.
2.x3.x2 es igual a
2.x5 por la propiedad de la multiplicación de las potencias de igual
base (se suman los exponentes) (ver
la propiedad)
2.(-3x2).5x3z es igual a 2.(-3).5.x2.x3.z
por lo mismo que en los ejemplos anteriores. Eso es igual a
-30x5z.
2.x.4/3 es igual a 2. 4/3 . x. Por la misma propiedad que en los ejemplos
anteriores. Y eso dá como resultado 8/3 x.
¿Cómo se aplica la Propiedad Distributiva entre dos "binomios"?
Se trata de "multiplicar todo con todo". El resultado es un polinomio de 4
términos. Es decir que tendremos 4 términos "sumando o restando". Para
determinar el signo con el que queda cada término, tenemos que mirar el signo de
cada cosa que multiplicamos, para poder aplicar la regla de los signos (+.+ = +,
etc. Ver
Regla de los signos). Hay que recordar que cada
término tiene su signo adelante, y que si no hay
signo adelante del término, hay que pensar que hay un más (+).
Por ejemplo:
(x + 3).(y - 5) = xy - 5x + 3y - 15
Empiezo con la "x":
Primer término: Multipliqué la "x" por la "y". Como ambos términos son
positivos, más por más es más. El resultado es xy positivo, pero no le pongo el
más adelante porque es el primer término.
Segundo término: Multipliqué la "x" por el (-5). Más por menos es menos, el
resultado es "5x negativo", o sea -5x. Es decir que este segundo término queda
restando.
Ya terminé con la "x", ahora lo hago con el "3":
Tercer término: Multipliqué el "3" por la "y". Más por más es más. El resultado
es 3y positivo. O sea que ese término queda sumando.
Cuarto término: Multipliqué el "3" por el (-5). Más por menos es menos. El
resultado es 15 negativo, o sea -15. Ese término queda entonces restando.
Para nuestro tema (verificar que factoricé bien un trinomio), solamente voy a
tener estas dos situaciones
1) Suma por suma: Es lo más fácil, ya que todos los términos del resultado son
positivos.
Ejemplo:
(x + 4).(x + 4) = x2 + 4x + 4x + 16 = x2 + 8x
+ 16
Pero como los dos términos del medio (4x y 4x) tienen igual parte literal (la x)
(¿parte literal?), se pueden
"juntar" (¿"juntar"?). 4x + 4x es
igual a 8x, porque se suman los números que las letras tienen delante, o sea: se
suman los coeficientes (4 + 4)
(¿qué
es un coeficiente?). Esto se aprende en el tema
Operaciones con Polinomios.
2) Resta por resta. Les pongo un ejemplo para que vean cómo quedan los signos:
(x - 3).(x - 3) = x2 - 3x - 3x + 9 = x2 - 6x + 9
¿Es verdad que este caso de factoreo tiene 2 resultados posibles, aunque nos
piden uno sólo?
Sí. Ya lo expliqué en los Conceptos del
caso, y ahora lo hago para este ejemplo
en particular. Miren esta otra forma de resolver nuestro EJEMPLO 1:
x2 + 6x + 9 = (-x
- 3)2
-x
-3
2.(-x).(-3)
6x
Si los cuadrados son:
x2 y 9, la bases pueden ser también -x (en vez de x) y -3 en vez de
3. Ya que (-x)2 también es igual a x2. Y (-3)2 también
es igual a 9.
Quiere decir que las bases de los cuadrados pueden ser o positivas o negativas
indistintamente. Entonces yo podría elegir: la primera negativa y la segunda
positiva, la primera positiva y la segunda negativa, las dos negativas, las dos positivas... Son 4 combinaciones
posibles. ¿Pero cuál es la correcta? Y... la que verifique el "doble producto", es
decir que al multiplicar me dé con el signo correcto. Y en realidad siempre son
dos las combinaciones que dan con el signo correcto. En nuestro ejemplo:
2.(-x).(-3) = 6x (y antes vimos que
2.x.3 = 6x)
Eligiendo las dos bases negativas, el resultado es 6x positivo. Y también lo era
cuando antes elegimos las dos bases positivas. Y eso es por la regla de los
signos: "más por más, es más", pero "menos por menos, también es más". Por eso
son dos las posibilidades y dos las soluciones para este caso.
Es decir que
x2 + 6x + 9 se puede factorizar como (x + 3)2, o como (-x
- 3)2, usando este caso de factoreo.
¿Qué es la "parte literal"?
En un término de un polinomio (por ejemplo 5xy2) se le llama
"parte literal" a la letras (en nuestro ejemplo xy2). Para
diferenciarla del número (el 5 en nuestro ejemplo), al que se lo llama
"coeficiente".
Ejemplos:
En "-4x" la parte literal es "x", y el coeficiente es "-4"
En 7x2a5, la parte literal es x2a5, y el
coeficiente es 7.
¿A qué le llaman "juntar" (yo no)?
Es una palabra que usan muchos alumnos, y por eso lo digo así para que
quienes usan esa palabra sepan reconocer lo que tienen que hacer. Ellos le dicen
"juntar" a sumar o restar los términos con igual "parte literal". Es decir,
juntar las cosas que son "iguales": "las equis con las equis", "las equis
cuadradas con las equis cuadradas", "los números solos con los números solos",
etc.
En realidad son situaciones donde hay varios términos con la misma letra o parte
literal, y hay que sumar sus coeficientes. En el ejemplo que estábamos viendo:
x2 + 4x + 4x + 16
Se puede sumar 4x con 4x, y se obtiene 8x: Los "juntamos". En otro ejemplo:
3x2 + 5x - 2x + 1 - 7x2 + 6 =
"Juntamos
3x2 con - 7x2, y nos dá -4x2 (3 - 7 = -4)"
"Juntamos 5x con -2x, y nos dá 3x (5 - 2 = 3)"
"Juntamos el 1 con 6, y nos dá 7 (1 + 6 = 7)"
El resultado es entonces -4x2 + 3x + 7
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 1:
x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
x 2
2.x.2
4x
x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
x 5
2.x.5
10x
x2 + 14x + 49 = (x + 7)2
x
7
2.x.7
14x
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO
PERFECTO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 2 (Con el 1)
EJEMPLO 3 (Con fracciones)
EJEMPLO 4 (Con un término negativo)
EJEMPLO 5 (Desordenado)
EJEMPLO 6 (Con un número multiplicando a
la x2)
EJEMPLO 7 (Con potencia par distinta de 2)
EJEMPLO 8 (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 9 (Con números decimales)
EJEMPLO 10 (Con la misma letra en los dos cuadrados)
EJEMPLO 11 ("Uno que tenga todo")
AVANZADOS:
EJEMPLO 12 (Con números que no tienen "raíz exacta")
EJEMPLO 13 ("Con los cuadrados negativos")
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