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TRINOMIO CUADRADO PERFECTO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10



EJEMPLO 10: (La misma letra en los dos cuadrados)


25x6 + 10 x5 + x4 = (5x3 + x2)2

5x3            x2
     2.5x3.x2
      10x5

En un caso como éste, queda una multiplicación de potencias de igual base (x3.x2), y por lo tanto, hay que sumar los exponentes.



EXPLICACIÓN:

Nota: Para una explicación más detallada de cada paso y conceptos relacionados, consultar en el  EJEMPLO 1, donde se explica el caso por primera vez.


1) Los cuadrados son 25x6 y el x4 (¿qué es un "cuadrado"?). Porque:

25x6 "es cuadrado" de 5x3, ya que (5x3)2 es igual a 25x6  
(Potencia de un producto y Potencia de potencia)

Y x4 "es el cuadrado" de x2 (¿por qué?).

Por otro lado, el término "10x5" nunca podría ser cuadrado de algo, ya que el 10 no tiene raíz cuadrada exacta, y la x no está elevada a una potencia par. (¿por qué tiene que ser una potencia par?) (los que no son cuadrado seguro)


2) Las bases son entonces 5x3 y x2


3) Una vez que decidí cuáles son las bases, multiplico para calcular el "doble producto" de las bases (¿doble producto?):

2.5x3.x2     ("Dos por 5x3 por x2")   (¿Cómo se hace esta Multiplicación?)

El resultado es "10x5", ya que x3.x2 es igual a x5. Porque cuando se multiplican dos potencias de igual base (la x), hay que "sumar los exponentes". (Propiedades de las Potencias de igual base)

2.5x3.x2 = 10x5

"Dió bien". Ya que 10x3 está en el polinomio que quiero factorizar:
25x6 + 10 x5 + x4.

Verifiqué así que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.


4) El resultado de la factorización es entonces:

(5x3 + x2)2 

Es decir, "la suma de las bases, elevada al cuadrado".



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿Qué tiene de diferente este Ejemplo, respecto de los anteriores?

Simplemente que la letra x está en los dos términos que son cuadrados: 25x6 y x2. En un caso así, se dá que en la multiplicación del doble producto hay dos letras iguales, entonces se trata de una multiplicación entre potencias de la misma base (x3.x2 en este ejemplo), y hay que aplicar la propiedad correspondiente (Propiedades).


Pero en este ejemplo ¿no habría que sacar primero factor común "x4"?

Es verdad. Este ejemplo en realidad es un ejercicio combinado, donde hay dos Casos de Factoreo. Y habría que sacar primero factor común x4. Si ya han visto todos los casos, y están combinando casos, saquen primero factor común x4, y ya no quedará la misma letra en los dos cuadrados (queda x4.(25x2 + 10x3 + 1)). 
Sin embargo, si no han visto aún combinación de Casos, les pueden pedir que factoricen ese polinomio con el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto. Por eso me ví en la necesidad de presentar un ejemplo como éste, más allá de que en realidad este ejemplo tenga una solución más completa cuando se está más avanzado en el tema y se sabe aplicar varios Casos en el mismo ejercicio.


La Multiplicación del doble producto:

2.5x3.x2 es igual a 2.5.x3.x2 , que es igual a 10x5. Ya que:

2 por 5 es igual a 10, y 

x3 por x2 es igual a x5, por la Propiedad de la Multiplicación de Potencias de igual base, que dice que hay que sumar los exponentes (3 + 2 = 5) (Propiedades de las Potencias de igual base)


Verificación de la factorización:

Comprobemos ahora si es verdad que (5x3 + x2)2 es igual a 25x6 + 10 x5 + x4:


- Usando la fórmula del Cuadrado de un Binomio:   (Cuadrado de un binomio)

(5x3 + x2)2 = (5x3)2 +  2.5x3.x2  +  x2 = 25x6 +  10x5  +  x4

- O usando el concepto de potencia y la Propiedad Distributiva:

(5x3 + x2)2 = (5x3 + x2).(5x3 + x2) = 25x6 + 5x5 + 5x5 + x4 = 25x6 +  10x5  +  x4

(Para más detalle en las verificaciones, consultar en el EJEMPLO 1 - VERIFICACIÓN)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Con los 3 términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con el 1)
EJEMPLO 3 (Con fracciones)
EJEMPLO 4 (Con un término negativo)
EJEMPLO 5 (Desordenado)
EJEMPLO 6 (Con un número multiplicando a la x2)
EJEMPLO 7 (Con potencias diferentes a 2)
EJEMPLO 8 (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 9 (Con números decimales)
EJEMPLO 11 ("Uno que tenga todo")

AVANZADOS:
EJEMPLO 12 (Con números que no tienen "raíz exacta")
EJEMPLO 13 ("Con los cuadrados negativos")



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