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TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
/ EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 11
EJEMPLO 11: (Uno que tenga "todo")
1/4 b6 + x4a2 - x2ab3 =
(1/2 b3 - x2a)2
1/2 b3 -x2a
2.
1/2 b3.(-x2a)
-x2ab3
Desordenado, con varias letras, con término negativo, con
fracciones, con potencias distintas de dos... Un ejemplo con casi todas las
complicaciones que puede haber.
EXPLICACIÓN:
Nota: Para una explicación más detallada de cada paso y conceptos
relacionados, consultar en el EJEMPLO 1, donde se explica el caso por primera vez.
1) Los cuadrados son 1/4 b6 y x4a2 (¿qué es un "cuadrado"?).
Porque:
1/4 b6 "es cuadrado" de 1/2 b3,
ya que (1/2 b3)2 es
igual a 1/4 b6
(Potencia
de un producto y
Potencia de potencia)
Y x4a2 "es el cuadrado" de -x2a, ya
que (-x2a)2 es igual a x4a2. Tengo que tomar esta base como
negativa, para que el doble producto dé negativo, sino dará positivo.
Por otro lado, el término "-x2ab3" nunca podría ser cuadrado de algo,
ya que es negativo. (los
que no son cuadrado seguro)
2) Las bases son entonces 1/2 b3
y -x2a
3)
Una vez que decidí cuáles son las bases, multiplico para calcular el "doble
producto" de las bases (¿doble
producto?):
2. 1/2 b3.(-x2a)
("Dos por 1/2 b3 por (-x2a)")
El resultado es -x2ab3. "Dió bien",
ya que -x2ab3 está en el polinomio que quiero
factorizar:
1/4 b6 + x4a2 - x2ab3
Verifiqué así que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.
4) El resultado de la factorización es entonces: (1/2 b3
+ (-x2a))2, lo que es igual a:
(1/2 b3 - x2a)2
Es decir, "la
suma de las bases, elevada al cuadrado".
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Verificación de la factorización:
Comprobemos ahora si es verdad que (1/2 b3 - x2a)2 es igual a
1/4 b6 + x4a2 - x2ab3:
-
Usando la fórmula del Cuadrado de un Binomio: (Cuadrado de un
binomio)
(1/2 b3 - x2a)2
= (1/2 b3)2 + 2.
1/2 b3.(-x2a) + (-x2a)2
= 1/4 b6 - x2ab3 + x4a2, y eso es igual a 1/4 b6 + x4a2 - x2ab3 cambiado de orden.
-
O usando el concepto de potencia y la Propiedad Distributiva:
(1/2 b3 - x2a)2 = (1/2 b3 - x2a). (1/2 b3 - x2a)
= 1/4 b6 - 1/2 b3x2a - 1/2
b3x2a + x4a2 =
1/4 b6 - x2ab3 + x4a2,
y eso es igual a 1/4 b6 + x4a2 - x2ab3
cambiado de orden.
(Para más detalle en las verificaciones, consultar en el EJEMPLO 1 - VERIFICACIÓN)
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 11:
0,04x2 + 25/9 y4 - 1/15 xy2
= (1/5 x - 5/3 y2)2 = (0,2
x - 5/3 y2)2
1/25 x2 + 25/9 y4
- 1/15 xy2 = (Primero pasé el decimal a
fracción)
1/5 x -5/3 y2
2.(1/5
x).(-5/3 y2)
-ab2 + 1 + 0,25 a2b4
= (1 - 0,5ab2)2
1 -0,5ab2
2.(-0,5a.b2).1
-ab2
9/49 x8y2 + b6 - 6/7 x4yb3
= (3/7 x4y - b3)2
3/7 x4y -b3
2.(3/7 x4y).(-b3)
-6/7 x4yb3
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO
PERFECTO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1 (Con los 3 términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con el 1)
EJEMPLO 3 (Con fracciones)
EJEMPLO 4 (Con un término negativo)
EJEMPLO 5 (Desordenado)
EJEMPLO 6 (Con un número multiplicando a la x2)
EJEMPLO 7 (Con potencias diferentes a 2)
EJEMPLO 8 (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 9 (Con números decimales)
EJEMPLO 10 (Con la misma letra en los dos
cuadrados)
AVANZADOS:
EJEMPLO 12 (Con números que no tienen "raíz
exacta")
EJEMPLO
13 ("Con los cuadrados negativos")
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