TRINOMIO CUADRADO PERFECTO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 4: (Con un término negativo)


x²   -  10x   +   25 = (x - 5)²

x                (-5)
     2.x.(-5)
      -10x

Tomo como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)² también es 25. Y con (-5) la verificación dá bien. El resultado es la suma de las bases, al cuadrado. O sea (x + (-5))² , que es igual a (x - 5)².

EXPLICACIÓN:

Nota: Para una explicación más detallada de cada paso y conceptos relacionados, consultar en el  EJEMPLO 1, donde se explica el Caso por primera vez.

1) Los cuadrados son x² y el 25 (¿qué es un "cuadrado"?). Porque x² "es cuadrado" de x. Y 25 "es el cuadrado" de 5... Pero también de (-5)...

El término "-10x" nunca podría ser cuadrado de algo, ya que 10 no tiene raíz cuadrada "exacta", x no es una potencia par, y el término es negativo.
(más explicación sobre esto)

2) En un primer intento, bajo como bases a "x" y "5". Pero cuando calculo el doble producto 2.x.5, me doy cuenta que dá 10x positivo. Y en el polinomio que yo tengo que factorizar, el término es -10x, es decir, es un término negativo. "No dá". Entonces cambio el 5 por -5. Las bases son x y -5.

3) Una vez que decidí cuáles son las bases (x y -5), multiplico para calcular el "doble producto" de las bases (¿doble producto?):

2.x.(-5)      ("Dos por x por -5")

El resultado es "-10 x" (¿por qué?).

2.x.(-5) = -10x

Ahora sí que "Dió bien". El doble producto de las bases está en el polinomio que quiero factorizar (x² -  10x + 25). Verifiqué así que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.

4) El resultado de la factorización es entonces: (x + (-5))². Es decir, "la suma de las bases, elevada al cuadrado". Y eso es igual a:

(x - 5)²                  (¿por qué?)

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


Otra forma de factorizarlo:

Como ya comenté en los conceptos de este Caso (la otra fórmula), existe otra fórmula para hallar el Cuadrado de un Binomio, cuando se trata de una resta:

(a - b)² = a² - 2.a.b + b²

Por eso hay gente que encara este ejemplo de otra forma (me incluyo). Para quienes estén acostumbrados a trabajar con ambas fórmulas: una para la suma y una para la resta, pueden factorizar este ejemplo viéndolo como que viene de una resta, al tener el trinomio un término negativo:

x²   -  10x   +   25 =

Desde este punto de vista diríamos:

1) "Bajo las bases", que serían x y 5 (ya no -5).

2) Verifico que 2.x.5 es igual a 10x. Pero el "término del medio" del polinomio que quiero factorizar es negativo (-10x), entonces ha de venir de una resta al cuadrado, como dice la fórmula.

3) Por lo tanto, es resultado es "la resta de las bases, elevada al cuadrado": (x - 5)².

Esta manera es más directa y práctica cuando se la entiende. ¿Y por qué entonces lo expliqué primero de la otra forma? Porque he visto que la mayoría de los alumnos que recién empiezan con el tema, y tienen poco tiempo para prepararse, prefieren hacerlo de esa manera. Y aprender una sola fórmula que les sirva para las dos situaciones: la fórmula con todos los términos positivos.


Verificación:

Comprobemos ahora si es verdad que x² -10x  +  25 es igual a (x - 5)²

Usando la fórmula del Cuadrado de un Binomio:   (Cuadrado de un binomio)

(x - 5)² = x² +  2. x. (-5)  +  (-5)² = x² -10x  +  25

Entonces, puedo decir que está bien la factorización que hice, porque, operando en el resultado (x - 5)², obtuve el polinomio original (x² - 10x  +  25).

O usando el concepto de potencia:

(x - 5)² = (x - 5).(x - 5) = x² - 5x - 5x + 25 = x² - 10x + 25

(Para más detalle en las verificaciones, consultar en el EJEMPLO 1 - VERIFICACIÓN)


¿Por qué (x + (-5))² es igual a (x - 5)²?

(x + (-5)) es igual a (x - 5). Y paso a explicar por qué: Cuando tenemos dos signos seguidos (el + y - en este caso), podemos sacar el paréntesis y dejar un sólo signo. La cuestión es qué signo dejo, ¿el más o el menos?. En estos casos la mayoría de los alumnos dicen: "más por menos, menos", y ponen el menos. Es decir que usan la regla de los signos de la multiplicación (regla de los signos), para decidir que signo queda como resultado. Está bien hacerlo así.

Otros, en cambio, prefieren usar "la regla para sacar paréntesis". Esa regla dice que, cuando saco un paréntesis que tiene un signo "más" (+) delante, todos los términos que estaban dentro quedan con el signo que ya traían. + (-5) es igual a -5, si saco el paréntesis utilizando es esa regla. Y si el paréntesis tiene delante ("está precedido por") un signo menos (-), todos los términos que estaban dentro del paréntesis quedan con los signos cambiados. Por ejemplo: Si sacamos el paréntesis en:

- (-8 + x - y)

quedaría: 8 - x + y

Es decir, todos los términos quedan con el signo opuesto al que tenían cuando estaban dentro del párentesis.

Las dos formas de pensarlo llevan al resultado correcto.

Ahora, si alguien tiene curiosidad de saber por qué, y de dónde salen esas reglas mágicas que me dicen que tengo que hacer, les comento: Esto es en realidad una propiedad que se puede demostrar, y dice algo así como que "restar un número es igual que sumar su opuesto". Quizás lo hayan oído alguna vez. En nuestro ejemplo sería: restar 5 es igual que sumar (-5). Por eso, en vez de x + (-5) ("sumar -5"), podemos poner x - 5 ("restar 5"). "Sumar el opuesto de 5 es igual a restar 5". ¿Y cómo se demuestra esta propiedad? Usando otras propiedades ya demostradas, o axiomas (propiedades que no hace falta demostrar porque se toman como válidas y son los cimientos para demostrar a todas las demás). Pero ya nos salimos del  objetivo de esta página si presentamos este tipo de demostraciones.


¿Es verdad que este caso de factoreo tiene 2 resultados posibles, aunque nos piden uno sólo?

Sí. Ya lo expliqué en los Conceptos del caso, y ahora lo hago para este ejemplo en particular:

x²   -   10x   +   25 = (x - 5)²
-x                    5
        2.(-x).5
         -10x

Si los cuadrados son: x² y 25, la bases pueden ser también -x (en vez de x) y 5. Ya que
(-x)² también es igual a x².
Entonces, en vez de elegir la primera base positiva y la segunda negativa, puedo hacer al revés. Y el doble producto se verifica también, ya que 2.(-x).5  es también igual a -10x, como lo era 2.x.(-5). Con que una de las bases sea negativa y la otra positiva, ya estoy logrando que el doble producto sea negativo, que es lo que busco. Es decir que puedo elegir a cualquiera de las dos como la "negativa", y por eso tengo dos posibilidades, dos resultados posibles para este caso de factoreo.
O sea que x² - 10x + 25 se puede factorizar como (x - 5)², o como (-x + 5)², usando este caso de factoreo.
¿Y no podría ser (5 - x)² el resultado? Sí, porque (-x + 5) es igual que (5 - x). (¿por qué?) Del mismo modo, podríamos dar como resultado (-5 + x)² como resultado, porque (-5 + x) es igual a (x - 5). Sin embargo, no podemos decir que el caso tiene 4 resultados posibles, porque estos dos últimos que encontramos son iguales a los dos anteriores, solamente que cambiamos el orden de los términos.


¿Por qué (-x + 5) es igual a (5 - x)?

Primero mirémoslos bien, término a término. En (-x + 5) tengo la x negativa y el 5 positivo. Y en (5 - x) tengo el 5 positivo y la x negativa. Son los mismos términos, pero en distinto orden. En ese caso puedo decir seguro que los dos binomios son iguales. Y pueden usarlo de aquí en adelante con tranquilidad.
Veamos más ejemplos para afirmar esto:

(x - 3) es igual a (-3 + x), ya que en los dos binomios tenemos: x positiva y 3 negativo.
(7 - x) es igual a (-x + 7), ya que en los dos binomios tenemos: 7 positivo y x negativa.
(-x - 2) es igual a (-2 - x), ya que en los dos binomios tenemos: x negativa y 2 negativo.

Pero ¿qué es lo que me habilita a decir que si dos binomios tienen los términos iguales pero en distinto orden, son dos binomios equivalentes? Como siempre, se trata de que esa afirmación es algo demostrable mediante propiedades ya demostradas y/o axiomas. Y como siempre, no lo demostraremos, ya que no es ese el objetivo de esta página; sino que lo aprenderemos como un regla para usarlo cuando se presente la ocasión (que es como casi todos hacen las cosas en el Nivel Medio).


Más ejercicios resueltos,  parecidos al Ejemplo 4:


x²  -  12x   +   36 = (x - 6)²

x                  -6
       2.x.(-6)
        -12x


a²   -   8a   +   16 = (x - 4)²

a                    -4
        2. a.(-4)
          -8a


x²   -   2/3 x   +   1/9 = (x - 1/3)²

x                      -1/3
        2.x.(-1/3)
         - 2/3 x




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Con los 3 términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con el 1)
EJEMPLO 3 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Desordenado)
EJEMPLO 6 (Con un número multiplicando a la x²)
EJEMPLO 7 (Con potencia par distinta de 2)
EJEMPLO 8 (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 9  (Con números decimales)
EJEMPLO 10 (Con la misma letra en los dos cuadrados)
EJEMPLO 11 ("Uno que tenga todo")

AVANZADOS:
EJEMPLO 12 (Con números que no tienen "raíz exacta")
EJEMPLO 13 ("Con los cuadrados negativos")

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