TRINOMIO CUADRADO PERFECTO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7

EJEMPLO 7: (Con potencias diferentes a "2")


x⁶  +  10x³  +  25 = (x³ + 5)²

x³              5
     2.x³.5
       10x³

Bajo x³, ya que x⁶ es igual a (x³)²; es decir que es un "cuadrado", el cuadrado de x³. Las otras potencias pares (4, 6, 8, etc.) también son "cuadrados", ya que x⁴, por ejemplo, es igual a (x²)²; x⁶ es igual a (x³)², etc.

EXPLICACIÓN:

Nota: Para una explicación más detallada de cada paso y conceptos relacionados, consultar en el  EJEMPLO 1, donde se explica el caso por primera vez.

1) Los cuadrados son x⁶ y el 25 (¿qué es un "cuadrado"?). Porque x⁶ "es cuadrado" de x³, ya que (x³)² es igual a x⁶ (¿por qué?). Y 25 "es el cuadrado" de 5.

Por otro lado, el término "10x³" nunca podría ser cuadrado de algo, ya que 10 no es cuadrado de ningún número racional (¿racional?) (no tiene raíz cuadrada "exacta" ), y el exponente de "x" es 3, que no es un número par. 
(más explicación sobre esto) (los que no son cuadrado seguro)


2) Las bases son entonces x³ y 5


3) Una vez que decidí cuáles son las bases, multiplico para calcular el "doble producto" de las bases (¿doble producto?):

2. x³. 5      ("Dos por x³ por 5")

El resultado es "10x³". Ya que 2.x³.5 es igual a 2.5.x³., lo que es igual a 10x. (¿cómo se hacen estas multiplicaciones?)

2.3x.5 = 10x

"Dió bien". Ya que 10x está en el polinomio que quiero factorizar (x⁶  +  10x³  +  25). Verifiqué así que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.


4) El resultado de la factorización es entonces: (x³ + 5)². Es decir, "la suma de las bases, elevada al cuadrado".

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿En qué se diferencia este ejemplo de los anteriores?

En este ejemplo, uno de los "cuadrados" es una potencia distinta de 2. Es una potencia 6. Pero 6 es un número par. Es igual a "2 por 3". Entonces x⁶ se puede escribir como (x³)². Ya que, por la propiedad llamada Potencia de Potencia, (x³)² es igual a x^3.2=6 (se multiplican los exponentes). De esta manera, pudimos escribir a x⁶ como "algo al cuadrado", como x³ al cuadrado. Entonces, podemos decir que x⁶ "es un cuadrado". Es el cuadrado de x³.

Lo mismo puedo hacer con cualquier potencia par. Ya que cualquier número par es igual a "2 por algo". Y entonces puedo escribirlo como una potencia de potencia, con el 2 afuera, por lo termina siendo un cuadrado (¿otra manera de pensarlo?). Por ejemplo:

4 es igual a 2 por 2. Entonces, a x⁴ lo puedo escribir como (x²)², ya que es igual a x^2.2=4 , por la mencionada propiedad Potencia de Potencia. Entonces, x⁴ es el cuadrado de x².

10 es igual a 2 por 5. Entonces, a x¹⁰ lo puedo escribir como (x⁵)², ya que es igual a x^5.2=10. Entonces, x¹⁰ es el cuadrado de x⁵.

8 es igual a 2 por 4. Entonces, a x⁸ lo puedo escribir como (x⁴)², ya que es igual a x^4.2=8. Entonces, x⁸ es el cuadrado de x⁴.

Y lo mismo podemos hacer con cualquier potencia par. Es decir que cualquier potencia par es un cuadrado. Y por la misma razón, para que una potencia sea cuadrado, debe ser una potencia par. Estas dos afirmaciones son recíprocas (una dice lo inverso de la otra), y se pueden demostrar. Pero como siempre: eso no es tema de esta página. Lo que quiero decir es que la explicación anterior responde también a la pregunta ¿por qué para que una potencia sea cuadrado debe ser una potencia par?, que se hizo ya en varios lugares de esta página.

Nota: Aclaro que las afirmaciones anteriores valen dentro el contexto del tema que estoy explicando: polinomios. Las potencias a las que me refiero son siempre potencias con exponente natural.


¿Por qué para que una potencia sea cuadrado debe ser una potencia par?

Porque si es una potencia par, puedo hacer lo que hice en la pregunta anterior (leer). Pero si es una potencia impar (1, 3, 5, 7, 9, etc.), eso no puede hacerse, ya que no se puede escribir a un número par como "2 por algo" (estamos hablando de número enteros). Entonces no podré expresarla como cuadrado de algo.


Otra manera de pensarlo

En vez de usar la propiedad "Potencia de potencia", podemos entender esto mismo usando el concepto de Potencia (¿qué es una potencia?). Por ejemplo, hagámoslo con x⁶:

Por el concepto de potencia, x⁶ es igual a x.x.x.x.x.x. Es decir, la x multiplicándose 6 veces.

xxx.xxx

Ahora, en esas 6, puedo separar dos grupos de 3: xxx por un lado y xxx por el otro. O sea x³ por un lado y x³ por el otro. Con lo que llego a que x⁶ es lo mismo que a "x³ por x³". Y eso es algo multiplicándose por sí mismo dos veces, entonces es "algo al cuadrado". Es x³ al cuadrado. Llegamos entonces a que x⁶ es cuadrado de algo, es cuadrado de x³.
Con cualquier potencia par voy a poder hacer lo mismo, porque me quedan dos grupos iguales, ya que un número par se puede dividir en dos partes iguales. En cambio, si lo hiciera con una potencia impar, los grupos quedan diferentes, y por eso no voy a poder decir que es cuadrado de algo, porque no son dos cosas iguales multiplicándose. Por ejemplo x⁵:

x.x.x.x.x

No puedo dividirlo en dos grupos iguales sin que sobre nada.


Verificación de la factorización:

Comprobemos ahora si es verdad que  (x³ + 5)² es igual a x⁶ + 10x³ + 25:

- Usando la fórmula del Cuadrado de un Binomio:   (Cuadrado de un binomio)

(x³ + 5)² = (x³)² +  2.x³.5  +  5² = (x³)² + 10x³ + 25.

Entonces, puedo decir que está bien la factorización que hice, porque, operando en el resultado (x³ + 5)², obtuve el polinomio original:  x⁶ + 10x³ + 25

- O usando el concepto de potencia:

(x³ + 5)² = (x³ + 5).(x³ + 5) = x⁶ + 5x³ + 5x³ + 25 = x⁶ + 10x³ + 25.

(Para más detalle en las verificaciones, consultar en el EJEMPLO 1 - VERIFICACIÓN)


Más ejercicios resueltos,  parecidos al Ejemplo 7:


x⁴   +   2x²   +   1 = (x² + 1)²

x²      2.x².1      1
           2x²


16  +  4a¹⁰  +  16a⁵  = (4 + 2a⁵)²

4        2a⁵     2.4.2a⁵
                    16a⁵


a²  +  2ab²  +  b⁴ = (a + b²)²

a      2.a.b²     b²



Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Con los 3 términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con el 1)
EJEMPLO 3 (Con fracciones)
EJEMPLO 4 (Con un término negativo)
EJEMPLO 5 (Desordenado)
EJEMPLO 6 (Con un número multiplicando a la x²)
EJEMPLO 8 (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 9  (Con números decimales)
EJEMPLO 10 (Con la misma letra en los dos cuadrados)
EJEMPLO 11 ("Uno que tenga todo")

AVANZADOS:
EJEMPLO 12 (Con números que no tienen "raíz exacta")
EJEMPLO 13 ("Con los cuadrados negativos")

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