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OPERACIONES CON POLINOMIOS: DIVISIÓN POR LA REGLA DE RUFFINI


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3


 


EJEMPLO 3
: (Con el dividendo muy incompleto)

A = 2x - x7
B = x + 1

A : B = (2x - x7):(x + 1)

1) Polinomio A ordenado y completo:

A = -x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 2x + 0

2) El opuesto del término independiente del polinomio divisor: -1

Cociente: -x6 + x5 - x4 + x3 - x2 + x + 1

Resto: -1


No hay que olvidarse ningún cero, ya que deben rellenarse las columnas de todos los grados.




EXPLICACIÓN:

1) Completar y ordenar el polinomio A (¿qué es eso?):

A = 2x - x7           Así está desordenado e incompleto

Ordeno los términos desde el mayor al menor grado (exponente de la x), y completo agregando los términos de grado 6, 5, 4, 3, 2 y el término independiente:

A = -x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 2x + 0   Así está ordenado y completo


2) Poner todos los coeficientes de A en la fila de arriba. Y el número (término independiente) del divisor, cambiado de signo, en el rincón izquierdo. Como el divisor es (x + 1), tengo que poner el -1 (el opuesto de 1):


     |   -1     0     0     0     0    0     2     0
     |
     |
 -1 |
     |                                                       



3) Bajar el primer coeficiente de la izquierda (el número "-1" en este ejemplo).


     |   -1     0     0     0     0    0     2     0
     |
     |
 -1 |
     |   -1                                                 



4)  Multiplicar el -1 por el -1, y poner el resultado ("1") debajo del segundo coeficiente desde la izquierda (el primer cero desde la izquierda):


     |   -1     0     0     0     0    0     2     0
     |
     |
 -1 |           1
     |  -1                                                 

-1.(-1) = 1



5) Sumar la columna donde se puso el 2, (0 + 2 = 2), y poner el resultado debajo:

     |   -1     0     0     0     0    0     2     0
     |
     |
 -1 |           1
     |  -1      1                                        

0 + 1 = 1



6) Multiplicar el -1 por el 1, y poner el resultado  debajo del tercer coeficiente:


     |   -1     0     0     0     0    0     2     0
     |
     |
 -1 |           1    -1
     |  -1      1                                        

-1.1 = -1



7) Sumar la nueva columna, y poner el resultado debajo:

     |   -1     0     0     0     0    0     2     0
     |
     |
 -1 |           1    -1
     |  -1      1    -1                                  

0 + (-1) = 0 - 1 = -1



8) Y seguir así hasta el último coeficiente:

     |   -1     0     0     0     0    0     2     0
     |
     |
 -1 |           1    -1    1
     |  -1      1    -1                                  

-1.(-1) = 1




     |   -1     0     0     0     0    0     2     0
     |
     |
 -1 |           1    -1    1
     |  -1      1    -1    1                            

0 + 1 = 1




     |   -1     0     0     0     0    0     2     0
     |
     |
 -1 |           1    -1    1     -1
     |  -1      1    -1    1                            

-1.(-1) = 1




     |   -1     0     0     0     0    0     2     0
     |
     |
 -1 |           1    -1    1     -1
     |  -1      1    -1    1     -1                    

0 + (-1) = 0 - 1 = -1




     |   -1     0     0     0     0    0     2     0
     |
     |
 -1 |           1    -1    1     -1    1
     |  -1      1    -1    1     -1                    

-1.(-1) = 1




     |   -1     0     0     0     0    0     2     0
     |
     |
 -1 |           1    -1    1     -1    1
     |  -1      1    -1    1     -1    1               

0 + 1 = 1




     |   -1     0     0     0     0    0     2     0
     |
     |
 -1 |           1    -1    1     -1    1    -1
     |  -1      1    -1    1     -1    1               

-1.1 = -1




     |   -1     0     0     0     0    0     2     0
     |
     |
 -1 |           1    -1    1     -1    1    -1
     |  -1      1    -1    1     -1    1     1         

2 + (-1) = 2 - 1 = 1




     |   -1     0     0     0     0    0     2     0
     |
     |
 -1 |           1    -1    1     -1    1    -1    -1
     |  -1      1    -1    1     -1    1     1         

-1.1 = -1




     |   -1     0     0     0     0    0     2     0
     |
     |
 -1 |           1    -1    1     -1    1    -1    -1
     |  -1      1    -1    1     -1    1     1  | -1   

0 + (-1) = 0 - 1 = -1


Antes del último número de la fila inferior se pone una línea vertical para separar los coeficientes del cociente del resto (el último número es el resto).


9) RESULTADO DE LA DIVISIÓN: 

Los números de la fila inferior, exceptuando el último número (-1), son los coeficientes del cociente, ordenados de mayor a menor grado, empezando por un grado menos que el dividendo. Para determinar el cociente, agregamos las indeterminadas empezando por la de grado 6 (x6, un grado menos que el dividendo), ya que el dividendo A = 2x - x7 era de grado 7; y bajando el grado hasta terminar en el término independiente (grado 0, término sin indeterminada):

Grado del dividendo: 7

Grado del cociente: 7 - 1 = 6

COCIENTE: -x6 + x5 - x4 + x3 - x2 + x + 1  

Nota: Cuando los coeficiente son "unos", no se ponen. Sino quedaría así:
-1x6 + 1x5 - 1x4 + 1x3 - 1x2 + 1x + 1

RESTO: -1




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR LA REGLA DE RUFFINI


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1
EJEMPLO 2 (Dividendo sin término independiente)
EJEMPLO 4 (Dividendo de grado 1)
EJEMPLO 5 (Ruffini con dos letras)
EJEMPLO 6 (Modificación del divisor y el dividendo)
EJEMPLO 7 (Modificación del divisor y el dividendo (II))



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