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EJEMPLO 5: (Polinomios con dos letras)
A = x5 + y5
B = x + y
A : B = (x5 + y5):(x + y)
El polinomio A completo y ordenado: x5 + 0x4 + 0x3
+ 0x2 + 0x + y5
El opuesto del término independiente del polinomio B: -y
Cociente: x4 - yx3 + y2x2 - y3x
+ y4
Resto: 0
Divisiones como éstas se presentan en el Sexto caso de
factoreo, y se las puede resolver aplicando la regla de Ruffini, tomando a una
de las letras como la "indeterminada" del polinomio, y a la otra letra
como si fuera un número.
En este ejemplo tomo a la "x" como
indeterminada ("la letra del polinomio"), y a y5 lo tomo
como si fuera un número. Como el término y5 no tiene la
indeterminada "x", cumple el papel del término independiente. Por eso
tengo que completar los grados intermedios entre 5 y 0.
En el divisor, la "y" es el término independiente.
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EXPLICACIÓN:
1) Completar y ordenar el polinomio A (¿qué
es eso?):
A = x5 + y5
Así está incompleto
(Nota: Si
elijo como indeterminada a la x y como término independiente a y5,
ese polinomio está ordenado, ya que le grado 5 está antes que el grado cero)
Ordeno los términos desde el mayor al menor grado
(exponente de la x), y completo agregando los términos de grado 6, 5, 4, 3, 2 y
el término
independiente:
A = x5 + 0x4 + 0x3
+ 0x2 + 0x + y5
Así está ordenado y completo
2) Poner todos los coeficientes de A en la fila de arriba. Y el número
(término independiente) del divisor, cambiado de signo, en el rincón izquierdo.
Como el divisor es (x + y), tengo que poner -y
(el opuesto
de y):
| 1
0 0 0 0
y5
|
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-y |
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3) Bajar el primer coeficiente de la izquierda (el número
"-1" en este ejemplo).
| 1
0 0 0 0
y5
|
|
-y |
|
1
4) Multiplicar a -y por el
1, y poner el
resultado ("-y") debajo del segundo coeficiente desde la izquierda (el
primer cero desde la izquierda):
| 1
0 0 0 0
y5
|
|
-y |
-y
|
1
-y.1 = -y
5) Sumar la columna donde se puso el resultado -y, y poner el resultado debajo:
| 1
0 0 0 0
y5
|
|
-y |
-y
|
1 -y
0 + (-y) = -y
6) Multiplicar a -y por -y, y poner el resultado
debajo del tercer
coeficiente:
| 1
0 0 0 0
y5
|
|
-y |
-y y2
|
1 -y
-y.(-y) = y2
7) Sumar la nueva columna, y poner el resultado debajo:
| 1
0 0 0 0
y5
|
|
-y |
-y y2
----------------------------------
| 1
-y y2
0 + y2 = y2
8) Y seguir así hasta el último coeficiente:
| 1
0 0 0
0 y5
|
|
-y |
-y y2 -y3
-----------------------------------
| 1
-y y2
-y.y2 = -y3
| 1
0 0 0
0 y5
|
|
-y |
-y y2 -y3
------------------------------------
| 1
-y y2
-y3
0 + (-y3) = -y3
| 1
0 0 0
0 y5
|
|
-y |
-y y2 -y3
y4
-----------------------------------
| 1
-y y2
-y3
-y.(-y3)= y4
| 1
0 0 0
0 y5
|
|
-y |
-y y2 -y3
y4
-----------------------------------
| 1
-y y2
-y3 y4
0 + y4 = y4
| 1
0 0 0
0 y5
|
|
-y |
-y y2 -y3
y4 -y5
--------------------------------------
| 1
-y y2
-y3 y4
-y.y4= -y5
| 1
0 0 0
0 y5
|
|
-y |
-y y2 -y3
y4 -y5
--------------------------------------
| 1
-y y2
-y3 y4 | 0
y5 + (-y5) = 0
Antes del último número de la fila inferior se pone una línea vertical para
separar los coeficientes del cociente del resto (el último número es el
resto).
9) RESULTADO DE LA DIVISIÓN:
Los números de la fila inferior, exceptuando el último número, son
los coeficientes del cociente, ordenados de mayor a menor grado, empezando por
un grado menos que el dividendo. Para determinar el cociente, agregamos las
indeterminadas empezando por la de grado 4 (x4, un grado menos que el dividendo), ya que el dividendo
A = x5 + y5 era
de grado 5; y bajando el grado hasta terminar en el término independiente
(grado 0, término sin indeterminada):
Grado del dividendo: 5
Grado del cociente: 5 - 1 = 4
COCIENTE: x4 - yx3 + y2x2 - y3x
+ y4
Nota: Cuando
los coeficiente son "unos", no se ponen. Sino quedaría así:
1x4 -
yx3 + y2x2 - y3x
+ y4
RESTO: 0
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR LA REGLA DE RUFFINI
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
(Dividendo sin término independiente)
EJEMPLO 3 (Dividendo muy incompleto)
EJEMPLO 4 (Dividendo de grado 1)
EJEMPLO 6 (Modificación del divisor
y el dividendo)
EJEMPLO 7 (Modificación del divisor
y el dividendo (II))
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