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OPERACIONES CON POLINOMIOS: DIVISIÓN POR LA REGLA DE RUFFINI


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7


 


EJEMPLO 7: (Modificación del divisor: "Cuando hay un número multiplicando a la letra")

A =  -9x2 - x + 5x4
B = 2x - 3

Multiplico a B por 1/2, para que desaparezca el 2 como coeficiente de x:

B´= (1/2).(2x - 3) = x - 3/2

Multiplico también a A por 1/2:

A´= (1/2).(-9x2 - x + 5x4) = -9/2 x2 - 1/2 x + 5/2 x4

El cociente de dividir A´: B´ es el mismo que el dividir A:B. Y para obtener el resto de A:B, hay que dividir por 1/2 al resto de dividir A´: B´.

El polinomio A´ completo y ordenado: 5/2 x4 + 0x3 - 9/2 x2 - 1/2 x + 0

El opuesto del término independiente del polinomio B´: -(-3/2) = 3/2





Cociente de A:B
= Cociente de A´: B´= 5/2 x3 + 15/4 x2 + 9/8 x + 19/16

Resto de A:B
= R´: 1/2 = (57/32):(1/2) = 57/16


Para eliminar el 2 que multiplica a la "x" en el divisor, multiplico a B por 1/2 (la fracción inversa a 2/1). Y también multiplico por 1/2 al polinomio A. Porque si multiplico por el mismo número al dividendo y al divisor, el cociente de la división no cambia. Pero el resto de la división no es el mismo, sino que quedó multiplicado por 1/2. Así que luego hay que dividirlo por 1/2 para obtener el resto de A:B.




EXPLICACIÓN:

1) En este ejemplo, como la letra del divisor está multiplicada por el número 2 (divisor: 2x - 3), voy a multiplicar al divisor por un número que lo haga "desaparecer" (¿por qué?),  así luego se puede aplicar la regla de Ruffini. Ese número es 1/2, que es la fracción inversa a 2/1. Luego, también tengo que multiplicar por 1/2 al dividendo (¿por qué hago eso?). Al nuevo divisor y dividendo los llamo B' y A':

B = 2x - 3

B' = (1/2).(2x - 3) = x - 3/2       (más detalle)

Así logro que el divisor sea de la forma (x - a), donde "no hay ningún número multiplicando a la x" (el coeficiente de la x es 1)

A =  -9x2 - x + 5x4

A´= (1/2).(-9x2 - x + 5x4) = -9/2 x2 - 1/2 x + 5/2 x4


2) Completo y ordeno (¿qué es eso?) el dividendo A' :

A' =  -9/2 x2 - 1/2 x + 5/2 x4              Así está incompleto, y desordenado

A' = 5/2 x4 + 0x2 - 9/2 x2 - 1/2 x + 0       Así está ordenado y completo


3) Pongo todos los coeficientes de -A en la fila de arriba. Y el número (término independiente) del divisor, cambiado de signo, en el rincón izquierdo. Como el divisor es (x - 3), tengo que poner 3 (el opuesto de -3):

A' = 5/2 x4 + 0x2 - 9/2 x2 - 1/2 x + 0

B' = x - 3/2
  
      |    5/2    0    -9/2      -1/2     0
      |
      |
3/2 |
      |                                               


4) Bajo el primer coeficiente de la izquierda (el número "5/2" en este ejemplo).


      |    5/2     0     -9/2      -1/2     0
      |
      |
3/2 |
      |    5/2                                      



5)  Multiplico la 3/2 por el 5/2, y pongo el resultado ("15/4") debajo del segundo coeficiente desde la izquierda:


      |    5/2       0        -9/2       -1/2       0
      |
      |
3/2 |              15/4
      |    5/2                                             

(3/2).(5/2) = 15/4



6) Sumo la columna donde puse el 15/4, y pongo el resultado debajo:

      |    5/2       0        -9/2       -1/2       0
      |
      |
3/2 |             15/4
      |    5/2    15/4                                    

0 + 15/4 = 15/4


7) Multiplico al 3/2 por el 15/4, y pongo el resultado debajo del tercer coeficiente:


      |    5/2       0         -9/2        -1/2       0
      |
      |
3/2 |              15/4       45/8
      |    5/2     15/4                                    

(3/2).(15/4) = 45/8



8) Sumo la nueva columna, y pongo el resultado debajo:

      |    5/2       0          -9/2        -1/2       0
      |
      |
3/2 |              15/4       45/8
       |   5/2     15/4        9/8                         

-9/2 + 45/8 = 9/8



9) Multiplico el 3/2 por el 9/8, y pongo el resultado debajo del siguiente coeficiente:

      |    5/2       0        -9/2        -1/2       0
      |
      |
3/2 |              15/4      45/8      27/16
      |    5/2     15/4       9/8                         

(3/2).(9/8) = 27/16


10) Sumo la nueva columna, y pongo el resultado debajo:

      |    5/2       0        -9/2      -1/2       0
      |
      |
3/2 |             15/4     45/8      27/16
      |    5/2    15/4      9/8       19/16             

-1/2 + 27/16 = 19/16



11) Multiplico el 3/2 por el 19/16, y pongo el resultado debajo del siguiente coeficiente:

      |    5/2       0        -9/2      -1/2          0
      |
      |
3/2 |             15/4     45/8      27/16     57/32
      |    5/2    15/4      9/8       19/16             

(3/2).(19/16) = 57/32



12) Sumo la última columna, y obtengo el resto de la división:

      |    5/2       0        -9/2      -1/2          0
      |
      |
3/2 |             15/4     45/8      27/16     57/32
      |    5/2    15/4      9/8       19/16  | 57/32   



Antes del último número de la fila inferior se pone una línea vertical para separar los coeficientes del cociente del resto (el último número es el resto).


11) RESULTADO DE LA DIVISIÓN: 

      |    5/2       0        -9/2        -1/2          0
      |
      |
3/2 |              15/4      45/8       27/16      57/32
      |    5/2    15/4       9/8       19/16  |   57/32   

Los números de la fila inferior, exceptuando el último número, son los coeficientes del cociente, ordenados de mayor a menor grado, empezando por un grado menos que el del dividendo. Para determinar el cociente, agregamos las indeterminadas empezando por la de grado 3 (x3), un grado menos que el dividendo), ya que el dividendo A = -9x2 - x + 5x4 era de grado 4; y bajando el grado hasta terminar en el término independiente (grado 0, término sin indeterminada):

Grado del dividendo: 4

Grado del cociente: 4 - 1 = 3

COCIENTE: 5/2 x3 +  15/4 x29/8 x + 19/16

Y el resto quedó multiplicado por 1/2, así que hay que dividirlo por 1/2 (¿por qué?)

R': 57/32      (el resto de dividir A' por B')

R = R' : (1/2) = (57/32):(1/2) = 57/16

RESTO: 57/16



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema están en: DIVISIÓN DE POLINOMIOS 


¿Por qué en este ejemplo multipliqué al divisor por 1/2?

Para poder aplicar la regla de Ruffini, el divisor debe ser de la forma (x - a), es decir, un binomio de grado 1 con coeficiente principal igual a 1 ("no hay ningún número multiplicando la x"). Y en este ejemplo el divisor era (2x - 3), que sí tiene un número multiplicando a la x, el número 2. 

En un caso así, se puede aplicar la regla de Ruffini usando algún artilugio para que "desaparezca" el número que está multiplicando a la x en el divisor (en este ejemplo el número 2). Una manera de hacerlo es multiplicar al divisor por la fracción inversa al coeficiente principal (la fracción inversa en este caso es 1/2, ya que es la inversa de 2/1, que es igual al coeficiente 2); y luego multiplicar también al dividendo por ese mismo número. Porque si se multiplica al divisor y al dividendo por un mismo número, se obtiene el mismo cociente en la división (justificación de eso):

(1/2).2 = 1

Así que:

(1/2).(2x - 3) = (1/2).2x - (1/2).3 = 1.x - 3/2 = x - 3/2

Y (x - 3/2) es un binomio de la forma (x - a), así que se puede usar la regla de Ruffini con ese divisor. Luego también hay que multiplicar al dividendo por ese número, y dividir el nuevo dividendo por el nuevo divisor para obtener el mismo cociente (resultado) que se obtendría dividiendo a los polinomios originales.


¿Por qué se obtiene el mismo el cociente?

En la división de polinomios (y de números enteros), se cumple que:

DIVIDENDO = DIVISOR x COCIENTE + RESTO

Entonces, si A es el dividendo, B el divisor, Q el cociente y R el resto, tenemos que:

A = B.Q + R

Si multiplico a A por cualquier número k, tenemos que:

k.A = k.(B.Q + R)

Pero eso es igual a:

k.A = k.B.Q + k.R

Y asociando:

k.A = (k.B).Q + k.R

Y en esa expresión tenemos a k.A como dividendo, k.B como divisor, Q como cociente y k.R como resto. Es decir que (k.A):(k.B) tiene el mismo cociente Q que tenía A:B, y el resto es igual a k.R (el resto R de dividir a A por B, multiplicado por k).

El resto es igual a k.R. Entonces, para hallar el valor de R (el resto de la división de A por B), hay que dividir por k al resto "k.R" (el resto de dividir a k.A por k.B):

(k.R):k = R


Lo podemos ejemplificar con un ejemplo numérico, porque así podemos hacer las cuentas y visualizar que las igualdades son verdaderas:

25 |__4__
  1     6
  /

DIVIDENDO = 25
DIVISOR = 4
COCIENTE = 6
RESTO = 1

DIVIDENDO = DIVISOR x COCIENTE + RESTO

25 = 4.6 + 1

Y si multiplicamos por 2 nos queda que:

2.25 = 2.(4.6 + 1)

2.25 = 2.4.6 + 2.1

50 = 8.6 + 2   (Verdadero, ya que 8.6 + 2 dá 50)

Y en esa expresión tenemos a 50 (50 = 25.2) como dividendo, el 8 (8 = 4.2) como divisor, y el cociente el 6. Eso significa que 50  divido 8 dá como resultado 6, y el resto es 2. Es decir, el cociente de dividir a 50 por 8 es el mismo que el de dividir a 25 por 4. Y 50 es igual a 25 multiplicado por 2, y 8 es igual a 4 multiplicado por 2.

Y el resto de dividir a 50 por 8 dió 2 (2 multiplicado por 1). Para obtener el resto de dividir a 25 por 4, hay que dividirlo por 2:

2:2 = 1



Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR LA REGLA DE RUFFINI


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1
EJEMPLO 2 (Dividendo sin término independiente)
EJEMPLO 3 (Dividendo muy incompleto)
EJEMPLO 4
(Dividendo de grado 1)
EJEMPLO 5 (Ruffini con dos letras)
EJEMPLO 6 (Modificación del divisor)



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