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OPERACIONES CON POLINOMIOS: DIVISIÓN POR LA REGLA DE RUFFINI

EJERCICIOS RESUELTOS


EJEMPLO 1:

A = 10 x2 - 5 - 3x4 + 2x3
B = x + 2

A:B = (10x2 - 5 - 3x4 + 2x3) : (x + 2) =


1) Polinomio A ordenado y completo: -3x4 + 2x3 + 10x2 + 0x - 5

2) El término independiente del polinomio divisor, con el signo "cambiado": -2



Cociente = -3x3 + 8x2 - 6x + 12

Resto: -29

Solamente se puede aplicar la Regla de Ruffini cuando el divisor es un binomio de la forma: (x - a). Por ejemplo: (x - 3), (x + 2), (x - 1/2), etc.

Para aplicar la Regla de Ruffini,  se ponen los coeficientes de dividendo
-completo y ordenado de mayor a menor grado-, y el opuesto del número "a" del divisor (El opuesto del término independiente. Si es una suma, queda un número negativo. Si es una resta, queda un número positivo). Las x (o letras) del polinomio se quitan, y se hacen determinadas operaciones entre los números (ver en la EXPLICACIÓN todos los pasos). Luego, en el resultado, el último número de la derecha es el Resto de la división; y los otros números son los coeficientes del Cociente (resultado de la división), a los que hay que agregarles las "x" en orden de izquierda a derecha, comenzando por un grado menos que el del dividendo y disminuyendo hasta llegar a un término independiente (grado cero).

Hay divisores de grado 1 que no tienen la forma (x - a), pero que pueden ser modificados de alguna manera para que la tengan, y así luego poder usar la Regla de Ruffini (Ver EJEMPLO 7 y EJEMPLO 6)


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1





EJEMPLO 2: (El dividendo A no tiene término independiente)

A = -4x4 + 30x + x5
B = x - 3

A : B = (-4x4 + x5 + 30x)  :(x - 3)

1) Polinomio A ordenado y completo: x5 - 4x4 + 0x3 + 0x2 + 30x + 0

2) El opuesto del término independiente del polinomio divisor: 3



Cociente =  x4 - x3 - 3x2 - 9x + 3

Resto: 9



Si no hay término independiente en el dividendo, hay que completarlo con "0", tal como se completan los otros grados intermedios. El coeficiente de la x5 es 1, pues x5 es igual a 1.x5. En el resultado también quedaron coeficientes "1" y "-1", pero luego en el Cociente no hace falta ponerlos.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2




EJEMPLO 3: (Con el dividendo muy incompleto)

A = 2x - x7
B = x + 1

A : B = (2x - x7):(x + 1)

1) Polinomio A ordenado y completo:

-x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 2x + 0

2) El opuesto del término independiente del polinomio divisor: -1

Cociente: -x6 + x5 - x4 + x3 - x2 + x + 1

Resto: -1


No hay que olvidarse ningún cero, ya que deben rellenarse las columnas de todos los grados.



EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3





EJEMPLO 4: (Caso particular: El dividendo es un polinomio de grado 1)

A = -3x + 5/2
B = x - 4

A : B = (-3x + 5/2):(x - 4)

Polinomio A ordenado y completo: -3x + 5/2

El opuesto del término independiente del polinomio B: -(-4) = 4



Cociente: -3

Resto: -19/2


Como el grado del dividiendo es 1, el grado del cociente es 0 (un grado menos que el dividendo). Así que el cociente es un "número solo" (término independiente, término de grado 0).



EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4





EJEMPLO 5: (Polinomios con dos letras)

A =  x5 + y5
B = x + y

A : B = (x5 + y5):(x + y)

El polinomio A completo y ordenado: x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + y5

El opuesto del término independiente del polinomio B: -y



Cociente: x4 - yx3 + y2x2 - y3x + y4

Resto: 0



Divisiones como éstas se presentan en el Sexto caso de factoreo, y se las puede resolver aplicando la regla de Ruffini, tomando a una de las letras como la "indeterminada" del polinomio, y a la otra letra como si fuera un número.
En este ejemplo tomo a la "x" como indeterminada ("la letra del polinomio"), y a y5 lo tomo como si fuera un número. Como el término y5 no tiene la indeterminada "x", cumple el papel del término independiente. Por eso tengo que completar los grados intermedios entre 5 y 0. En el divisor, la "y" es el término independiente.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5





EJEMPLO 6: (Modificación del divisor: "Cuando la letra es negativa")

A =  2x3 - x2 + 5
B = 3 - x

Se divide a -A por -B, porque si la letra de B es negativa, en -B será positiva. El cociente dá igual que al dividir A:B, y el resto dá el opuesto (hay que cambiarle el signo):

-A = -(2x3 - x2 + 5) = -2x3 + x2 - 5

-B = -(3 - x) = (-3 + x) = x - 3

(-A):(-B) = (-2x3 + x2 - 5):(x - 3)

El polinomio -A completo y ordenado: -2x3 + x2 + 0x - 5

El opuesto del término independiente del polinomio -B: -(-3) = 3



Cociente de A:B = Cociente de (-A):(-B) = -2x2 - 5x - 15

Resto de A:B = -Resto (-A):(-B) = -(-50) = 50


El cociente de A:B es el mismo cociente de (-A):(-B). Entonces, para que la letra del divisor sea positiva, se puede dividir por -B, pero a -A. Y el Resto no es igual, sino que es el opuesto del que se obtendría dividiendo A:B. La justificación de esto se puede ver en los comentarios de la EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO.

 

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6





EJEMPLO 7: (Modificación del divisor: "Cuando hay un número multiplicando a la letra")

A =  -9x2 - x + 5x4
B = 2x - 3

Multiplico a B por 1/2, para que desaparezca el 2 como coeficiente de x:

B´= (1/2).(2x - 3) = x - 3/2

Multiplico también a A por 1/2:

A´= (1/2).(-9x2 - x + 5x4) = -9/2 x2 - 1/2 x + 5/2 x4

El cociente de dividir A´: B´ es el mismo que el dividir A:B. Y para obtener el resto de A:B, hay que dividir por 1/2 al resto de dividir A´: B´.

El polinomio A´ completo y ordenado: 5/2 x4 + 0x3 - 9/2 x2 - 1/2 x + 0

El opuesto del término independiente del polinomio B´: -(-3/2) = 3/2





Cociente de A:B
= Cociente de A´: B´= 5/2 x3 + 15/4 x2 + 9/8 x + 19/16


Resto de A:B = R´: 1/2 = (57/32):(1/2) = 57/16


Para eliminar el 2 que multiplica a la "x" en el divisor, multiplico a B por 1/2 (la fracción inversa a 2/1). Y también multiplico por 1/2 al polinomio A. Porque si multiplico por el mismo número al dividendo y al divisor, el cociente de la división no cambia. Pero el resto de la división no es el mismo, sino que quedó multiplicado por 1/2. Así que luego hay que dividirlo por 1/2 para obtener el resto de A:B (la justificación de todo esto se dá en la EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO)


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE OPERACIONES CON POLINOMIOS: DIVISIÓN POR LA REGLA DE RUFFINI


¿Qué es la Regla de Ruffini?

Es una regla para hacer la división entre polinomios, usando solamente los coeficientes del dividendo y el término independiente del divisor. El divisor debe ser un polinomio de grado 1, con coeficiente principal igual a 1 y con término independiente distinto de cero, por ejemplo: (x + 3), (x - 2/3), (x + 1), etc. Se obtienen los coeficientes del cociente (resultado) de la división, y el resto.

Para aplicar correctamente la regla se deben usar los coeficientes del dividendo completo y ordenado de mayor a menor grado (¿cómo se completa y ordena un polinomio?). Y al término independiente del divisor se le debe cambiar el signo (se usa el opuesto). Por ejemplo:

A = 2x - 4x3 + 5

B = x + 1

A:B =

El dividendo es el polinomio A. Lo completo y ordeno de mayor a menor grado:

-4x3 + 0x2 - 2x + 5                               (¿Cómo se completa y ordena un polinomio?)

Los coeficientes que hay que usar en la Regla de Ruffini son:

-4   0   -2   5

El divisor es el polinomio B: (x + 1). El término independiente es 1. En la Regla de Ruffini hay que usar el opuesto de 1, que es:

-1

Y se ubican así:

    |   -4       0       -2      5
    |
    |
-1 |______________________


En la EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1, y demás explicaciones se puede ver el procedimiento paso por paso para encontrar el cociente y el resto de la división.


¿Se puede aplicar la Regla de Ruffini si el divisor tiene coeficiente principal distinto de 1?

Si el divisor tiene un número multiplicando a la "x" (coeficiente principal distinto de 1), por ejemplo:

(2x + 5)

Se puede aplicar la regla de Ruffini si se previamente se multiplica al divisor por un número para quitarle el coeficiente, y al dividendo se lo multiplica por el mismo número. Luego se dividen los dos nuevos polinomios y el cociente que se obtiene es el mismo, y al resto al que dividirlo por ese número.

La explicación y justificación de ese procedimiento se puede ver en el EJEMPLO 7.


¿Se puede aplicar la Regla de Ruffini si el divisor tiene la "x" negativa?

Si la "x" ó la indeterminada del divisor es negativa, por ejemplo en:

(3 - x)

El coeficiente principal es -1, ya que (3 - x) es igual a:

(-1x + 3)

Entonces estamos ante un caso como el que mostré en la pregunta anterior: hay un número multiplicando a la "x". Por lo tanto se puede usar el mismo procedimiento que allí comenté: multiplicar al divisor por un número que haga desaparecer al -1 (que será -1), y al dividendo por ese mismo número. Luego dividir, y el cociente será el mismo, mientras que al resto hay que dividirlo por ese número. La explicación de esto se puede ver en el EJEMPLO 6.


"Ruffini con dos letras"

Se puede usar la regla de Ruffini en la división de polinomios con dos indeterminadas, tomando una de las indeterminadas como número (constante). Por ejemplo, en la división:

(x7 - y7):(x - y) =

Se puede usar la regla de ruffini si se toma a "x" como la indeterminada de los polinomios, y a y7 como término independiente del dividendo, y a "y" como término independiente del divisor.

El dividendo completo y ordenado es:

x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x - y7

Esta división está explicada paso por paso en el EJEMPLO 6 del sexto caso de Factoreo. Y en el EJEMPLO 5 de esta misma página se puede ver otro ejercicio similar.


¿Cómo determino el resultado de la división luego de aplicar la regla de Ruffini?

En la fila inferior de la regla de Ruffini se obtienen los coeficientes del cociente, ordenados de grado mayor a menor, empezando por un grado menos que el grado del dividendo. El último número de la fila es el resto, así que no forma parte del cociente, por eso se hace una línea vertical separatoria. Por ejemplo:

A = 10 x2 - 5 - 3x4 + 2x3 = -3x4 + 2x3 + 10x2 + 0x - 5
B = x + 2

A:B = (-3x4 + 2x3 + 10x2 + 0x - 5) : (x + 2) =



Allí, los coeficientes del cociente son:

-3    8   -6   12

Como el dividendo (el polinomio A) es de grado 4, el cociente es de grado 3 (un grado menos que el dividendo). Así que a los coeficientes hay que agregarles la indeterminada, empezando por grado 3 y disminuyendo el grado hasta llegar al término independiente (grado 0):

COCIENTE = -3x3 + 8x2 - 6x + 12

RESTO = -29






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