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OPERACIONES CON POLINOMIOS: MULTIPLICACIÓN / EJERCICIOS RESUELTOS


EJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio)

A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3  + 5x 
B = -5x4

    -3x2  +  2x4  -  8  -  x3   +  5x

    X                                  -5x4
______________________________
   15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5


A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 -  25x5



Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se  suman los exponentes, ya que es una multiplicación de potencias de igual base.
También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos resueltos de las dos maneras.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1





EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos)

A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1
B = 3x - 6

                4x3 - 5x2 + 2x +  1            (el polinomio A ordenado y completo)

              X                  3x  -  6            (el polinomio B ordenado y completo)
           ____________________
            -24x3 + 30x2 - 12x - 6
+
    12x4 - 15x3 +  6x2  +  3x
    _________________________
    12x4 - 39x3 + 36x2  -  9x - 6


A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2  -  9x - 6


A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también completos y ordenados, y es más fácil encolumnarlos según su grado, porque van saliendo en orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicación de números de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de igual grado queden en la misma columna.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2





EJEMPLO 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados, completándolos y ordenándolos)

A =  -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2


                         5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0   (polinomio A completo y ordenado)

            X                        -2x2 + 0x + 3   (polinomio B completo y ordenado)
           ______________________________
                     15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x  + 0
   
             0x5 +  0x4 + 0x3 +  0x2 +  0x

  -10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
 -10x6 +  0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0



A x B =  -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x


Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es más fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando uno recién aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha esta misma multiplicación sin completar los polinomios.
En el resultado final ya no se ponen los términos con 0.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3





EJEMPLO 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí ordenándolos)


A =  -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2


                         5x4 - 9x2 + x       (polinomio A incompleto pero ordenado)

             X                -2x2 + 3        (polinomio B incompleto pero ordenado)
            _____________________
              15x4        - 27x2 + 3x

   -10x6 + 18x4 - 2x3
 ____________________________
   -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x



A x B =  -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x


En el resultado de multiplicar por el 3 no hay término con grado 3. Y en el resultado de multiplicar por -2x2, no hay término de grado 2. Eso obliga a que, para que queden encolumnados los términos de igual grado, haya que saltearse columnas, borrar para hacer espacios, etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes prefieren no tener que ponerse a pensar en dónde ubicar cada término. En ese caso es preferible hacerlo como en el EJEMPLO 3: completar y ordenar a los dos polinomios para que todos los términos  vayan saliendo en orden y no haya qué pensar en dónde ponerlos.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4





EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras)

A = -3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3
B = 5x4y + 8x - 2x3y - 10

A x B = (
-3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3).(5x4y + 8x - 2x3y - 10) =

-15x6y4 - 24x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3  
- 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 + 60x3y3

-15x6y4 + 12x6y4 - 24x3y3 + 60x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x
- 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3  
+ 12x6y4

-3x6y4 + 36x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 28x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4


Cuando los polinomios tienen varias letras, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos, completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el mismo renglón" aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicación de los términos, hay que sumar los exponentes de las letras que son iguales, por la Propiedad de las potencias de igual base. Luego, se "juntan" los términos semejantes (iguales letras con iguales exponentes). En este ejemplo solamente hubo dos términos semejantes: -24x3y3 con 60x3y3. Los demás quedan como están.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5





EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el segundo)

A =  -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2


                         5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0  (polinomio A completo y ordenado)

            X                               -2x2 + 3  (polinomio B completo y ordenado)
           ______________________________
                     15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x  + 0

  -10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
 -10x6 +  0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0


A x B =  -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x


Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo del -27x2, y es porque al segundo polinomio le falta el término de grado x. Todo lo demás salió ordenado por grado.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6





EJEMPLO 7: (Sin ordenar ni completar)

A =  -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2


                             9x2 + x + 5x4     (polinomio A incompleto y desordenado)

             X                    3 -  2x2       (polinomio B incompleto y desordenado)
            __________________________
              - 10x6       + 18x4 - 2x3

                              + 15x4         - 27x2  + 3x
 _________________________________________
             - 10x6        + 33x4 - 2x3  - 27x2 +  3x 


A x B =  - 10x6  + 33x4 - 2x3  - 27x2 +  3x 



Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado que obtenemos  es -10x6,  sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda, dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer en los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio entre -10x6 y este nuevo término, para los grados intermedios que faltan. Así quedan más o menos acomodados, para que en la próxima fila podamos poner los resultados debajo en la columna correspondiente.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7





CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE OPERACIONES CON POLINOMIOS: MULTIPLICACIÓN


¿Cómo se multiplican los polinomios?

Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de aprender polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:

(x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1

2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1

Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema "Polinomios". Lo que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada término de una expresión con cada término de la otra:

(x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 =

Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...". "Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En este ejemplo sólo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x. Como otro número no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de juntar se ve también la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los números con los números..." es en realidad "sumar los términos semejantes o de igual grado". (ver: suma de polinomios)

= x2 + 2x - 15

Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de la multiplicación con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se hacía en las ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener muchos términos. Por ejemplo:

A = -9x3 + x + 4x5
B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3  + 5x 

(-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3  + 5x) =

Se trata, como antes, de multiplicar cada término de uno por todos los términos del otro. Eso es aplicar la propiedad distributiva. Las multiplicaciones que hay que hacer son:

(-9x3).(+3x2) = -27x5    (¿cómo se hacen estas multiplicaciones?)  (¿por qué +3, si no tenía el +?)

(-9x3).(+2x4) = -18x7

(-9x3).(-8) = +72x3

(-9x3).(-x3) = +9x6

(-9x3).(+5x) = -45x4

(-x).(+3x2) = -3x3

(-x).(+2x4) = -2x5

(-x).(-8) = +8x

(-x).(-x3) = +x4

(-x).(+5x) = -5x2

(+3x5).(+3x2) = +9x7

(+3x5).(+2x4) = +6x9

(+3x5).(-8) = -24x5

(+3x5).(-x3) = -3x8

(+3x5).(+5x) = +15x6

(¿cómo se hacen esas multiplicaciones, paso por paso?)

Luego, el resultado de la multiplicación lo forman todos esos términos:


-27x5 - 18x6 + 72x3 + 9x6 - 45x4 - 3x3 - 2x5 + 8x + x4 - 5x2 + 9x7 + 6x9 - 24x5 - 3x8 + 15x6 =

Pero quedaron términos del mismo grado, o "semejantes", entonces se los puede "juntar" (es decir, "sumar" sus coeficientes), para que quede un solo término de cada grado. Eso ya se vió en la suma de polinomios (ver). Primero voy a hacer un paso donde cambio el orden de los términos para que se vean juntos los que se pueden "juntar":


-27x5 - 24x5 - 2x5 - 18x6 + 9x + 15x6 + 72x3 - 3x3 - 45x4 + x4 + 8x - 5x2 + 9x7 + 6x9 - 3x8 =


Finalmente reduzco a un solo término de cada grado, sumando sus coeficientes, como ya se vió en la suma de polinomios:

-53x5 + 6x6 + 69x3 - 44x4 + 8x - x2 + 9x7 + 6x9 - 3x8 

porque:

-27 - 24 - 2 = -53

-18 + 9 + 15 = 6

72 - 3 = 69

-45 + 1 = -44


Multiplicación en columnas

Pero cuando empezamos a estudiar el tema "Operaciones con polinomios", nos enseñan a multiplicar poniendo un polinomio sobre otro (igual que la suma y la resta). Y parece que estamos haciendo algo distinto, pero es lo mismo: estamos aplicando la Propiedad distributiva. Solamente que tenemos que aprender a ordenar los resultados en columnas, pues así quieren que hagamos las multiplicaciones en un principio (más adelante es nuestra opción hacerlas como queramos). Entonces veamos un poco cómo es ese procedimiento:

1) Poner un polinomio sobre otro (opcional ordenarlos y/o completarlos)
2) Multiplicar cada término del polinomio de abajo por todos los términos del polinomio de arriba. Es como en la multiplicación de números naturales de muchas cifras: Cada término se multiplica por todo, y se van poniendo los resultados en filas. Luego, se suman todas las filas.
3) Sumar las filas (es una suma de polinomios). 

Pero para sumarlos con comodidad, hay que poner a los términos de igual grado en la misma columna. Como los polinomios muchas veces vienen incompletos y/o desordenados, los resultados no van saliendo en orden de grado, así que hay que ir acomodándolos a medida que salen. Si esto resulta inconveniente, es mejor completar y ordenar ambos polinomios, y así los resultados salen en orden y no hay que pensar en qué columna ponerlos o dejar lugar para los grados que una fila tendrá y otra no. En caso de recurrir a este método, el primer paso sería ordenar y completar los polinomios (¿cómo se hace?). Ahora muestro un ejemplo de lo que pasa si no se ordenan y/o completan:

            3x - 2x3
      X    5x2 + 1
      ___________
            3x - 2x3
15x3 - 10x5
_______________


Pero las x3 hay que sumarlas entre sí, y quedaron en distintas columnas. Por otro lado las x no se suman con las x5, y quedaron en la misma columna. Entonces, voy a tener que borrar y acomodarlos para que quede así:

            3x - 2x3
      X    5x2 + 4
      ___________
         12x   - 8x3
- 10x5        + 15x3 
________________


Para no tener esa molestia, o para no confundirse, muchos prefieren ordenar y hasta completar ambos polinomios. Así, los resultados van saliendo en el orden que corresponde:

                    -2x3 + 0x2 + 3x + 0
           x                 5x2 + 0x + 4
 ______________________________
                   -8x3 + 0x2 + 12x + 0
            0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x
-10x5 + 0x4 + 15x3 + 0x2
______________________________


En las explicaciones del EJEMPLO 2 y el EJEMPLO 3 se puede ver paso por paso cómo van saliendo en orden los términos. En el EJEMPLO 4 y EJEMPLO 6 se muestra también cómo sería si se ordenan pero no se completan los polinomios, o si se completa solamente "el de arriba". Algunos prefieren no completar el segundo polinomio, pues no necesitan hacer esa multiplicación por 0, sino que se dan cuenta de que simplemente se tienen que saltear una columna para empezar la siguiente fila. Cada uno elije la manera que mejor le queda, o incluso se puede empezar haciendo todo completo, hasta que luego con la práctica se adquiere la pericia para acomodar los resultados sin necesidad de completar, ni incluso de ordenar a los polinomios. Eso se muestra en el EJEMPLO 7.

Luego hay que sumar las filas, cada una de las cuales es un polinomio. Así que es una suma de polinomios, algo que ya se aprendió antes de ver multiplicación: Hay que sumar los términos de igual grado, o "semejantes".

Ejemplo ordenado y completo:

                      2x3 + 0x2 + 3x + 0
           x                 5x2 + 0x + 4
 ______________________________
                   -8x3 + 0x2 + 12x + 0
            0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x
-10x5 + 0x4 + 15x3 + 0x2
______________________________
-10x5 + 0x4 + 7x3 + 0x2 + 12x + 0

Pero los términos con cero se pueden quitar, así que el resultado es: 10x5 + 7x3 + 12x

El mismo ejemplo, sin ordenar ni completar:

                3x - 2x3
        X      5x2 + 4
      _____________
            12x   - 8x3
- 10x5            + 15x3 
________________
-10x5 + 12x + 7x3


¿Cómo se hacen las multiplicaciones entre los términos?

Son multiplicaciones entre "monomios" ("polinomio de un solo término"). Cuando tienen que multiplicar dos monomios, pueden pensar así: "El número se multiplica por el número
(¿con o sin signo?); las letras iguales se multiplican entre sí sumando sus exponentes, por la Propiedad de las potencias de igual base; y los signos se multiplican entre sí por la regla de los signos". 

El signo de un término en un polinomio es el signo que lleva adelante. Por ejemplo, en el polinomio:

3x2 + 2x4 - x3

El signo del segundo término es +, porque 2x4 está sumando.
El signo del tercer término es -, porque la x3 está restando.
El signo del primer término es +, porque 3x2 no tiene ningún signo delante, entonces hay que asumir que tiene un signo +, pues el + del primer término no se pone, el cambio el - sí.

(
justificación de por qué se multlica "número con número y letra con letra igual")

Ejemplos de multiplicaciones entre monomios:

(-9x3).(+3x2) = -27x5

Porque:

"menos por más, dá menos (-)"
9.3 = 27
x3.x2 = x3+2 = x5

De esas tres cosas sale el resultado: -27x5

O, si prefieren multiplicar a los números con su signo, sería así:

-9.(+3) = -27
x3.x2 = x3+2 = x5


Otro ejemplo:

(-9x3).(+2x4) = -18x7

"menos por más, dá menos (-)"
9.2 = 18
x3.x4 = x3+4 = x7


Casos particulares:

1) Término sin letra:

(-9x3).(-8) = +72x3

"Como a x3 no se la multiplica por otra x, queda x3 ".

"menos por menos, dá más (+)"
9.8 = 72
x3 queda igual. Se podría pensar que -8 es un término de grado cero, entonces la x está elevada a la potencia cero, ya que -8 es igual a -8x0 (más sobre esto). Y bueno, si se multiplica a x3, por x0, pasa esto: x3.x0 = x3+0 = x3. Es decir, es lo mismo que no multiplicarla por nada, pues x0 es igual a 1, como cualquier cosa que se eleva a la potencia cero.

2) Término sin número:

(-9x3).(-x3) = +9x6

"Como el número no se multiplica por nada, queda el mismo número".

"menos por menos, dá más (+)"
El 9 queda igual. Se podría pensar que "hay un 1" delante de la x3, ya que x3 es igual a 1.x3, porque el 1 es neutro de la multiplicación. Y bueno, si se multiplica 9.1 = 9, como cualquier cosa que se multiplica por 1: dá la misma cosa. 
x3.x3 = x3+3 = x6

3) Letra sin exponente:

(-2x).(+3x4) = -6x5

Aunque la x del primer término no tenga exponente, hay que recordar que está elevada a la potencia 1, ya que x1 es igual a x. Así que el exponente que se suma es 1.

"menos por más, dá menos (-)"
2.3 = 6
x.x4 = x1+4 = x5

4) Término sin signo:

(3x5).(-8x2) = -24x7

Si el término no tiene signo es porque era el primero del polinomio y hay que asumir que tiene un signo más. 3x5 es lo mismo que +3x5, ya que cuando el primer término es positivo, el signo + no se pone, en cambio cuando es negativo, el signo - sí se pone.

"más por menos, dá menos (-)"
3.8 = 24
x5.x2 = x5+2 = x7


Tomando al número con el signo:

En vez de pensar en multiplicar 3 cosas: signo - número - letra (lo cual expliqué así porque algunos lo prefieren, ya que visualizan al signo del término como un signo de operación y no del número), se puede pensar pensar en multiplicar 2 cosas: el número con su signo (el signo que tiene delante) y la letra. Entonces sería así:

(-9x3).(+3x2) = -27x5

Los números con su signo son -9 y +3, así que hay que multiplicar:

-9.(+3) = -27

Luego las letras, igual que antes:

x3.x2 = x3+2 = x5


¿Por qué pongo "sumar" entre comillas?

Cuando digo que se "suman" los coeficientes, hablo de suma de números positivos o negativos, lo cual algunos pueden interpretar como una resta. Por ejemplo:

5x - 3x

Alguien puede pensar que ahí hay que restar, no sumar. Pero en realidad eso es una suma de los números enteros 5 y -3:

5 + (-3) =

Pero en esa "suma", para hallar el "valor" del resultado hay que restar los "valores absolutos" (sin los signos, como números naturales) de los números: 

5 - 3 = 2. 

Aclaro esto para que no se tome como regla que, para sumar términos del mismo grado, hay siempre que "sumar" los "valores" de los números. Lo que hay que sumar son los números con su signo, por lo que al ser alguno de ellos negativo puede que en realidad haya que "restar" los valores absolutos de los números.




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