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OPERACIONES CON POLINOMIOS: MULTIPLICACIÓN

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1



 

EJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio)

A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3  + 5x 
B = -5x4

    -3x2  +  2x4  -  8  -  x3   +  5x

    X                                  -5x4
______________________________
   15x6 - 10x8 + 40x4 + 5x7 - 25x5


A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5x7 - 25x5



Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se  suman los exponentes, ya que es una multiplicación de potencias de igual base.
También se pueden mulltiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva. 



EXPLICACIÓN:  (Ver otra forma de multiplicarlos)


1) Ubico un polinomio sobre otro (el monomio abajo), como cuando se multiplica "a mano" un número natural de varias cifras por otro número de una sola cifra. 

(En realidad el procedimiento más habitual para multiplicar por un monomio es poniendo el polinomio entre paréntesis y aplicando la Propiedad distributiva "en el mismo renglón" (ver). Pero lo hago de esta otra manera, porque sirve como introducción para los ejemplos siguientes donde ya no se multiplica por un monomio, sino por polinomios de cualquier cantidad de términos.)


   -3x2  +  2x4  -  8  -  x3   +  5x

    X                                  -5x4
______________________________



2) Multiplico al monomio (¿qué es un monomio?) por cada término del polinomio, y pongo los resultados debajo de la línea. Puedo empezar por el término de la derecha o izquierda, pero se acostumbra a empezar por el de la derecha, como en la multiplicación de números naturales de varias cifras :

- Multiplico el monomio por el primer término de la derecha (¿por qué empiezo por la derecha?), que es +5x:

(-5x4).(+5x) = -25x4+1 = -25x5      (¿cómo se hacen estas multiplicaciones?)


    -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x

    X                         -5x4
________________________
                             - 25x5


- Multiplico el monomio por el segundo término (contando desde la derecha), que es -x3:

(-5x4).(-x3) = +5x7             (¿cómo se hace esta multiplicación?)


      -3x2 +  2x4 -  8  -  x3  +  5x

    X                                -5x4
____________________________
                            + 5x7 - 25x5


- Multiplico el monomio por el tercer término (contando desde la derecha), que es -8:

(-5x4).(-8) = +40x4              (¿cómo se hace esta multiplicación?)


    -3x2  +   2x4 -  8  -  x3  +  5x

    X                                 -5x4
____________________________
                     + 40x4 + 5x7 - 25x5


- Multiplico el monomio por el cuarto término (contando desde la derecha), que es +2x4:

(-5x4).(+2x4) = -10x8                (¿cómo se hace esta multiplicación?)


    -3x2  +   2x4 -  8  -  x3  +  5x

    X                                 -5x4
____________________________
         - 10x8 + 40x4  + 5x7 - 25x5


- Multplico el monomio por el último término que queda: -3x2

(-5x4).(-3x2) = 15x6                   (¿cómo se hace esta multiplicación?)


   -3x2  +   2x4 -  8  -  x3  +  5x

    X                                 -5x4
____________________________
 15x6 - 10x8 + 40x4  + 5x7 - 25x5


Resultado: 15x6 - 10x8 + 40x4  + 5x7 - 25x5



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema están en:
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 


Explicación de las multiplicaciones entre términos que se hicieron en este EJEMPLO 1:

Primer término:

(-5x4).(+5x) = -25x4+1 = -25x5

"El número se multiplica con el número":

(-5).(+5) = -25

"Se multiplican entre sí las letras iguales". Este polinomios tiene una sola letra (indeterminada), que es la x", así que se multiplican entre sí las "x", sumando sus exponentes, por la Propiedad de la multiplicación de potencias de igual base:

x4.x = x4+1 = x5

(El exponente de x es 1, ya que x es igual a x1)

(más sobre la multiplicación entre monomios)

(justificación de por qué se multiplican así los monomios)


Segundo término:

(-5x4).(-x3) = +5x7

"El número se multiplica con el número". El segundo monomio (-x3) "no tiene número". Pero se puede pensar que si no hay número, el coeficiente es 1, porque x es igual a 1.x. Así que la multiplicación entre los números es:

(-5).(-1) = +5

Y la multiplicación entre las letras:

x4.x3 = x7


Tercer término:

(-5x4).(-8) = +40x4

Multiplicación entre los números:

(-5).(-8) = +40

El segundo monomio no tiene letras (-8). Así que la única letra (x4) queda con el mismo exponente: x4 


Cuarto término:

(-5x4).(+2x4) = -10x8

Multiplicación entre los números:

(-5).(+2) = -10

Multiplicación entre las letras:

x4.x4 = x4+4 = x8


Quinto término:

(-5x4).(-3x2) = +15x6 = 15x6

Multiplicación entre los números:

(-5).(-3) = +15

x4.x2 = x4+2 = x6

(más sobre la multiplicación entre monomios)


Multiplicando en "el mismo renglón":

La forma más común de multiplicar un polinomio por un monomio es ponerlos entre paréntesis multiplicando y aplicar la Propiedad distributiva entre la multiplicación y la suma:

A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3  + 5x 
B = -5x4

(-3x2 + 2x4 - 8 - x3  + 5x).(-5x4) =

(-5x4).(-3x2) + (-5x4).(+2x4) + (-5x4).(-8) + (-5x4).(-x3) + (-5x4).(+5x) =

15x6 + (-10x8) + (+40x4) + (+5x7) + (-25x5) = 

15x6 - 10x8 + 40x4 + 5x7 - 25x5

El segundo y el tercer paso se pueden obviar, si directamente se puede encontrar el resultado de la multiplicación de los términos con el signo correspondiente. Los términos quedan sumando o restando según sea el signo que dió la multiplicación de los términos. Para hacerlo directamente, algunos lo hacen pensando que en cada multiplicación de términos se multiplican 3 cosas: los signos, los números y las letras. El proceso sería así:

(-3x2 + 2x4 - 8 - x3  + 5x).(-5x4) =

1) Primero multiplico (-5x4) por el primer término (-3x2), y pienso cosa por cosa:

los signos: "menos por menos, dá más (+)"
los números: 5.3 = 15
las letras: x4.x2, como 4 más 2 es 6, queda x6

Entonces el resultado 15x6. Como es el primer término del polinomio y dió positivo (+), no le pongo el signo. Así que me va dando:

 = 15x6 ....................................

2) Cuando multiplico (-5x4) por el segundo +2x4 (porque en el polinomio 2x4 está sumando, por eso lo tomo como término positivo), pienso:

los signos: "menos por más, dá menos (-)" (como dió negativo, va a quedar restando)
los números: 5.2 = 10
las letras: x4.x4, como 4 más 4 es 8, queda x8

= 15x6 - 10x8 ............................

Y así con cada uno de los siguientes términos del polinomio. Si el resultado de la multiplicación dá positivo, se lo pone sumando; y si dá negativo, restando. Y al primer término si dá positivo no se le pone el signo, mientras que si dá negativo se pone el signo "-" delante del número. Así se puede ir resolviendo cada término, evitando los dos pasos intermedios.

(más sobre multiplicar con la Propiedad distributiva)


¿Por qué para multiplicar monomios se multiplica "número con número y letra con letra"?

Veamos primero un ejemplo de dos términos positivos, los cuales no necesitan llevar el signo:

3x5.2x3 =

Entre el 3 y la x5, hay un signo "por" aunque no se lo pone. Lo mismo entre el 2 y la x3. Son 4 factores que se están multiplicando, y ahora sí le voy a poner los signos "por":

3.x5.2.x3 =

Pero como la multiplicación cumple con la Propiedad conmutativa ("se puede cambiar el orden"), eso es lo mismo que:

3.2.x5.x3 =

Y como la multiplicación también cumple la Propiedad asociativa (ver aquí), puedo asociar los números entre sí y las letras entre sí:

(3.2).(x5.x3) =

Hago cada multiplicación asociada, y me queda:

(6).(x8) = 6.x8 = 6x8

Así se multiplicó "número con número y letra con letra", porque se puede cambiar el orden para luego asociarlos. Tratar de multiplicar número con letra no se puede, porque la letra no tiene valor determinado: no se llega a nada diferente del término tal como es. Pero letra con letra, si son iguales, se pueden sumar sus exponentes (por la Propiedad de multiplicación de potencias de igual base), con lo que se llega a un resultado diferente.

Otros ejemplos:

- Con signos:

(-5x4).(-3x2) = (-5).x4.(-3).x2 = (-5).(-3).x4.x2 = [(-5).(-3)].(x4.x2) = (+15).(x6) = 15x6

- Si uno de los monomios no tiene número, entonces se puede pensar que hay un "1" delante de la letra:

5x3.(-x2) = 5.x3.(-1x2) = 5.(-1).x3.x2 = [5.(-1)].(x3.x2) = (-5).(x6) = -5x6

O directamente pensar que al único número no se lo multiplica por nada, entonces queda el mismo número:

5x3.(-x2) = 5.x3.(-x2) = 5.x3.(-x2) = 5.[x3.(-x2)] = 5.(-x6) = -5x6

- Si hay varias letras, se suman los exponentes de las letras iguales solamente, porque son potencias de igual base:

3a2b4y.(-2a3b2z5) = 3.a2.b4.y.(-2).a3.b2.z5 = 3.(-2).a2.a3.b4.b2.y.z5 =

[3.(-2)].(a2.a3).(b4.b2).y.z5 = -6.a5.b6.y.z5 = -6a5b6yz5




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 2 (Multiplicación de dos polinomios completos)
EJEMPLO 3 (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados, completándolos y ordenándolos)
EJEMPLO 4 (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos pero sí ordenándolos)
EJEMPLO 5 (Multiplicación de polinomios de varias letras)
EJEMPLO 6 (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el segundo)
EJEMPLO 7 (Sin ordenar ni completar) 




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