EXPLICACIÓN: (Ver otra forma de
multiplicarlos)
1) Ordeno y completo cada polinomio, de grado mayor a menor:
A = -9x2 + x + 5x4
(polinomio A incompleto y desordenado)
A =
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
(polinomio A completo y ordenado)
B = 3 - 2x2
(polinomio B incompleto y desordenado)
B =
-2x2 + 0x + 3
(polinomio B completo y ordenado)
(¿cómo se ordena y completa un
polinomio? ¿qué es el grado?)
(En los EJEMPLOS 4, 6 y 7 se podrá ver cómo se
desarrolla este misma multiplicación sin ordenar y/o completar los polinomios)
2) Ubico un polinomio sobre otro, como cuando se multiplican
"a mano" dos números naturales de varias cifras:
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
( completo y ordenado)
X
-2x2 + 0x + 3
(
completo y ordenado)
______________________________
3) Empiezo multiplicando al 3 por cada término del polinomio de arriba,
empezando por el de la derecha (aunque también se puede hacer al revés, pero
así es más usual). Y pongo los resultados
debajo de la línea, empezando por la derecha también. Muestro paso por paso
todas las multiplicaciones que hago con el 3, y cómo se van ubicando los
resultados bajo la línea:
a)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x
+ 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
+ 0
Porque (+3).(+0) = +0
b)
5x4 + 0x3 - 9x2
+ x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
+ 3x + 0
Porque (+3).(+x) = +3x
(¿cómo
se hacen estas multiplicaciones?)
c)
5x4 + 0x3
- 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
- 27 x2 + 3x + 0
Porque (+3).(-9x2) = -27x2
d)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
Porque (+3).(0x3) = +0x3 (o cero solamente, pero le pongo la
x3 para que se vea el grado de la columna y todo esté completo)
e)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
Porque (+3).(5x4) = +15x4
3) Ahora voy a hacer lo mismo, pero con el 0x. Y los resultados van a ir en otra
fila, debajo de la que se generó en el paso anterior. Pero dejo un espacio en
la derecha, es decir, los empiezo a ubicar en la segunda columna desde la
derecha, como se hace cuando se multiplican dos números naturales de varias
cifras. De esa forma quedarán encolumnados los términos de igual grado.
En realidad, estamos multiplicando todo por cero (porque
0x es igual a 0), así que todos los términos van a dar cero; por lo cual este
paso sólo es necesario para que todos los grados queden completos y haya que
dejar libre una sola columna a la derecha (como cuando se multiplican a mano
números naturales de varias cifras). Es decir que este paso sólo se hace por
la comodidad de ir poniendo los resultados es su lugar de manera automática, en
el orden en que uno está acostumbrado a hacerlo en las multiplicaciones "a
mano", sin tener que ponerse pensar en dónde ubicar cada término
resultado para que queden encolumnados por grado. Algunos alumnos prefieren o
necesitan hacerlo (al menos cuando recién empiezan con el tema), y otros no. En
el EJEMPLO 6 se puede ver el
desarrollo de esta misma multiplicación sin hacer el paso de multiplicar todo
por cero.
a)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
+ 0x
Porque 0x.0 = + 0x (como +0 es igual a -0, al cero siempre se lo pone sumando)
Se puede ver que el término es de grado 1 (con x, que es igual a x1),
y quedó ubicado debajo de 3x, que es del mismo grado. Si no hubiera dejado
ese lugar a la derecha, y no hubiera completado el segundo polinomio con 0x, no habrían quedado en la misma columna los términos de
igual grado.
b)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
+ 0x2
+ 0x
Porque 0x.(+x) = 0x2
c)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
+
0x3 + 0x2
+ 0x
Porque 0x.(-9x2) = 0x3
d)
5x4
+ 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
+ 0x4 + 0x3
+ 0x2
+ 0x
Porque 0x.(+0x3) = 0x4
e)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
0x5
+ 0x4 + 0x3
+ 0x2
+ 0x
Porque 0x.(5x4) = 0X5
3) Por último, multiplico todos los términos por -2x2:
a)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
0x5 + 0x4 + 0x3
+ 0x2
+ 0x
+ 0x2
Porque -2x2.0 = 0x2
b)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
0x5 + 0x4 + 0x3
+ 0x2
+ 0x
- 2x3
+ 0x2
c)
Porque -2x2.(+x) = -2x3
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
0x5 + 0x4 + 0x3
+ 0x2
+ 0x
+ 18x4 - 2x3
+ 0x2
d)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
0x5
+ 0x4 + 0x3
+ 0x2
+ 0x
+
0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
Porque -2x2.(0x3) = 0x5
e)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
0x5 + 0x4 + 0x3
+ 0x2
+ 0x
-10x6 +
0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
_____________________________________
Porque -2x2.(5x4) = -10x6
4) Y ahora
hay que sumar las dos filas. Es una suma de polinomios, y ya están ordenados,
completos y encolumnados según el grado.
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
0x5 + 0x4 + 0x3
+ 0x2
+ 0x
-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3
+ 0x2
_____________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2
+ 3x + 0
Resultado: -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2
+ 3x
(¿cómo se hace esa suma? suma
de polinomios)
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los Conceptos Generales de este tema están en:
MULTIPLICACIÓN
DE POLINOMIOS
Explicación de las multiplicaciones entre términos de en este
EJEMPLO 3:
Con el 3:
+3.0 = 0 (Cualquier número multiplicado por cero dá
cero)
+3.x = 3x (Número por letra no se puede encontrar un resultado,
queda así)
(+3).(-9x2) = -27x2 Porque (+3).(-9) es igual -27 , y la
"x2" no se multiplica por ninguna otra "x", así que queda
igual. (más
detalle sobre la multiplicación de monomios)
(+3).(0x3) = 0x3 Porque (+3).0 es igual
a 0, y la "x3" no se multiplica por ninguna otra
"x", así que queda igual. En realidad eso dá cero, pero pongo la x3
para que se sepa ese resultado va a ir en la columna de grado 3.
(+3).(5x4) = 15x4 Porque (+3).5 es
igual 15, y la x4 no se multiplica por ninguna otra "x",
así que queda igual.
Con el 0x:
Multiplicaciones por cero (ya que 0x es igual a cero, porque el cero está
multiplicando a la x): todas van a dar cero. Pero les pongo la x del grado correpondiente
para que se sepa en qué columna va a ir cada resultado.
0x.0 = 0x
0x.x = 0x2 Porque x.x
es igual a x1.x1 (ya que x es igual a x1), y como son
potencias de la misma base, se suman los exponentes. Así que: x1.x1 = x1+1 = x2
0x.(-9x2) = 0x3
0x.0x3 = 0x4
0x.5x4 = 0x5
Con el -2x2:
(-2x2).0 = 0x2
(-2x2).(+x) = -2x3 Porque x.x2
es igual a x1.x2 (ya que x es igual a x1), y como son
potencias de la misma base, se suman los exponentes. Así que: x1.x2 = x1+2 = x3. En cuanto a los números,
se puede pensar que no hay otro número con el cual multiplicar a -2, así que
queda -2. Y sino, pensar que delante de la x hay un 1, así que (-2).1 = -2.
(-2x2).(-9x2) = +18x4 Porque
-2.(-9) es igual a +18. Y x2.x2 es una multiplicación de
potencias de la misma base, así que se suman los exponentes: x2.x2 = x2+2 = x4
(-2x2).(0x3) = 0x5 Es
una multiplicación por cero, así que dá cero. Pero si le tengo que poner la x
con el grado correspondiente, lo calculo sumando los exponentes, ya que son
potencias de la misma base: x2.x3 = x2+3 = x5
Multiplicando en "el mismo renglón":
Otra forma de multiplicar dos polinomios es ponerlos
entre paréntesis multiplicando y aplicar la Propiedad distributiva entre la
multiplicación y la suma. Para este ejercicio sería así:
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
-9x2 + x + 5x4).(3 - 2x2)
=
(-9x2).(+3) + (-9x2).(-2x2) + (+x).(+3)
+ (+x).(-2x2) + (+5x4).(+3) + (+5x4).(-2x2)
=
-27x2 + (+18x4) + (+3x) + (-2x3) + (+15x4)
+ (-10x6) =
-27x2 + 18x4 + 3x - 2x3 + 15x4 - 10x6 =
-27x2 + 18x4 + 15x4 + 3x - 2x3
- 10x6 =
-27x2 + 33x4 + 3x - 2x3 - 10x6
El segundo y el tercer paso se pueden obviar, si directamente se puede encontrar
el resultado de la multiplicación de los términos con el signo correspondiente,
y los términos quedan sumando o restando según sea el signo que
dió la multiplicación de los términos.
Luego, se pueden "juntar" los términos de igual grado, es decir:
sumar sus coeficientes, como ya se vió en la suma de polinomios:
+18x4 + 15x4 es igual a +33x4. Porque +18 + 15
= +33. Y la letra queda con el mismo grado.
Y no hay otros términos del mismo grado para "juntar".
Algunos ponen directamente los resultados de las multiplicaciones, sin hacer el
segundo y tercer paso, pensando que en cada multiplicación de términos se multiplican 3 cosas:
los signos, los números y las letras. Es decir, van multiplicando cosa por cosa
(signo - número - letra), y poniendo el resultado. Así no hacen el segundo y
tercer paso. El proceso sería así:
(-9x2 + x + 5x4).(3 - 2x2)
=
1) Primero multiplico (-9x2) por el primer término +3 (que no tiene
signo delante, y entonces es +3),
y pienso cosa por cosa:
los signos: "menos por más, dá menos (-)"
los números: 9.3 = 27
las letras: x2. No hay otra letra con
la cual multiplicarla, así que queda igual.
Entonces el resultado es -27x2. Así que me va dando:
= -27x2 ..............................................
2) Cuando multiplico (-9x2) por el segundo (-2x2) (como en
el polinomio, 2x4 está restando, lo tomo como término negativo), pienso:
los signos: "menos por menos, dá más (+)" (como dió
positivo, va a
quedar sumando)
los números: 9.2 = 18
las letras: x2.x2. Se suman los exponentes porque son
potencias de igual base, y como
2 + 2 = 4, queda x4
Entonces el resultado es +18x4. Como es
positivo, pongo sumando al término 18x4:
= -27x2 + 18x4 .....................................
3) Cuando multiplico (+x) por (+3) (Como en
el polinomio, x está sumando, lo tomo como término positivo. Y como el 3 no
tiene signo delante, es positivo también), pienso:
los signos: "más por más, dá más (+)" (como dió
positivo, va a
quedar sumando)
los números: 3 (no hay otro número, así que
queda el 3)
las letras: x (no hay otra letra, así que queda
x)
Entonces el resultado es +3x. Como es positivo,
pongo sumando al término 3x:
= -27x2 + 18x4
+ 3x..............................
4) (+x).(-2x2)
los signos: +.- = -
los números: 2 (no hay otro)
las letras: x.x2 = x1.x2 = x1+2 = x2
= -27x2 + 18x4
+ 3x - 2x2 ....................
5) (+5x4).(+3)
los signos: +.+ = +
los números: 5.3 = 15
las letras: x4
= -27x2 + 18x4
+ 3x - 2x2 + 15x4
.........
6) (+5x4).(-2x2)
los signos: +.- = -
los números: 5.2 = 10
las letras: x4.x2 = x4+2 = x6
= -27x2 + 18x4
+ 3x - 2x2 + 15x4 -10x6
Si el resultado
de la multiplicación dá positivo, al término se lo pone sumando; y si dá negativo,
restando. Y al primer término si dá positivo no se le pone el signo, mientras
que si dá negativo se pone el signo "-" delante del número. Así se
puede ir resolviendo cada término, evitando los dos pasos intermedios.
(más
sobre multiplicar con la Propiedad distributiva)
La suma de las filas en este EJEMPLO 3:
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
0x5
+ 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x
-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3
+ 0x2
_____________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3
- 27x2
+ 3x + 0
Luego de multiplicar todos los términos, quedaron estas tres filas para sumar.
Es una suma de polinomios, así que se suman entre sí los términos de igual
grado (suma de
polinomios). Las cuentas de este EJEMPLO 3 serían las
siguientes:
Columna de las x6: Queda el -10x6, pues no hay otro
término de grado 6 con el cual sumarlo.
Columna de las x5: 0 + 0 = 0
Columna de las x4: 15 + 0 + (+18) = 15 + 18 = 33
Columna de las x3: 0 + 0 + (-2) = 0 + 0 - 2 = -2
Columna de las x2: -27 + 0 + 0 = -27
Columna de las x: +3 + 0 = +3
Columna "de los números solos": Queda el 0, pues no hay nada con
qué sumarlo.
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1 (Multiplicación por un monomio)
EJEMPLO 2 (Multiplicación de polinomios completos)
EJEMPLO 4 (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos pero sí
ordenándolos)
EJEMPLO 5 (Multiplicación de polinomios de varias letras)
EJEMPLO 6 (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando
el segundo)
EJEMPLO 7 (Sin ordenar ni completar)
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