OPERACIONES CON POLINOMIOS: MULTIPLICACIÓN

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

EXPLICACIÓN:


1) Pongo a los dos polinomios multiplicándose entre paréntesis, y aplico la Propiedad distributiva:

A = -3x²y³ + 4 - 7x²y² - 6x³y³
B = 5x⁴y + 8x - 2x³y - 10

A x B =

(-3x²y³ + 4 - 7x²y² - 6x³y³).(5x⁴y + 8x - 2x³y - 10) =

Aplicar la Propiedad distributiva consiste en multiplicar a cada término de un polinomio por todos los términos del otro. En un principio, si no me doy cuenta directamente del resultado de las multiplicaciones (con qué signo va a quedar, con qué exponentes las letras, etc.), puedo poner a todas las multiplicaciones que voy a hacer, sumando. Y a cada término lo pongo con su signo (el que tiene delante). Luego en el paso siguiente las puedo pensar una por una. Este paso donde "no se resuelve nada", puede ayudar a cometer menos errores cuando no se tiene seguridad para efectuar las multiplicaciones, sobretodo en estos ejercicios que tienen varias letras. Si no tienen problema con eso, pasen directamente a PASO 3.

(-3x²y³).(+5x⁴y) + (-3x²y³).(+8x) + (-3x²y³).(-2x³y) + (-3x²y³).(-10) + (+4).(+5x⁴y) + (+4).(+8x) + (+4).(-2x³y) + (+4).(-10) + (-7x²y²).(+5x⁴y) + (-7x²y²).(+8x) + (-7x²y²).(-2x³y) + (-7x²y²).(-10) + (-6x³y³).(+5x⁴y) + (-6x³y³).(+8x) + (-6x³y³).(-2x³y) + (-6x³y³).(-10) =


2) Resuelvo todas las multiplicaciones: (ver multiplicaciones)

(-15x⁶y⁴) + (-24x³y³) + (+6x⁵y⁴) + (+30x²y³) + (+20x⁴y) + (32x) + (-8x³y) + (-40) + (-35x⁶y³) + (-56x³y²) + (+14x⁵y³) + (+70x²y²) + (-30x⁷y⁴) + (-48x⁴y³) + (+12x⁶y⁴) + (+60x³y³) =

El resultado de las multiplicaciones, con su signo, lo puedo dejar todavía entre paréntesis, y seguir poniendo a todos los términos sumando. Así no tengo que pensar todavía con qué signo va a quedar cada término. En la parte de Conceptos muestro cómo se hace cada una de las multiplicaciones: MULTIPLICACIONES.


3) Saco todos los paréntesis:

-15x⁶y⁴ - 24x³y³ + 6x⁵y⁴ + 30x²y³ + 20x⁴y + 32x - 8x³y - 40 - 35x⁶y³ - 56x³y² + 14x⁵y³ + 70x²y² - 30x⁷y⁴ - 48x⁴y³ + 12x⁶y⁴ + 60x³y³ =

Recordando que si saco un paréntesis precedido por el signo "+", el término queda con el signo que ya tenía dentro del paréntesis. Por ejemplo:

+ (-40) = - 40

+ (+ 6x⁵y⁴) = + 6x⁵y⁴

O como prefieren algunos cuando tienen dos signos seguidos: para determinar el único signo que debe quedar, aplican la regla de los signos: "más por más es más", "más por menos es menos", etc. En los dos ejemplos que dí se puede ver que dá lo mismo:

+ (-40) = - 40   ("más por menos es menos")

+ (+ 6x⁵y⁴) = + 6x⁵4² ("más por más es más")


4) "Junto" los términos "semejantes": (¿qué son los términos semejantes?)

"Juntar" le dicen los alumnos a sumar o restar (según el signo de los términos) dos o más términos. Puedo hacer un paso previo donde pongo juntos (uno al lado del otro, aunque eso no es "juntar") a los términos que puedo "juntar" entre sí:

-15x⁶y⁴ + 12x⁶y⁴ - 24x³y³ + 60x³y³ + 6x⁵y⁴ + 30x²y³ + 20x⁴y + 32x - 8x³y - 40 - 35x⁶y³ - 56x³y² + 14x⁵y³ + 70x²y² - 30x⁷y⁴ - 48x⁴y³   =

Los términos que están en el mismo color son semejantes entre sí: tienes las mismas letras con los mismos exponentes. Todos los demás son diferentes. Así que los "junto", "sumando" sus coeficientes:

-15 + 12 = -3   Por eso queda - 3x⁶y⁴

-24 + 60 = +36   Por eso queda + 36x³y³

-3x⁶y⁴ + 36x³y³ + 6x⁵y⁴ + 30x²y³ + 20x⁴y + 32x - 8x³y - 40 - 35x⁶y³ - 56x³y² + 14x⁵y³ + 70x²y² - 30x⁷y⁴ - 48x⁴y³

Así que el resultado de esa multiplicación de polinomios, reducido a su expresión más simple, es:

-3x⁶y⁴ + 36x³y³ + 6x⁵y⁴ + 30x²y³ + 20x⁴y + 32x - 8x³y - 40 - 35x⁶y³  
- 56x³y² + 14x⁵y³ + 70x²y² - 30x⁷y⁴ - 48x⁴y³

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Más ejemplos de multiplicación de polinomios con distributiva:

EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4