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EJEMPLO 6:
(Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el segundo)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (completo y ordenado)
X
-2x2 + 3 (ordenado
pero sin completar)
______________________________
15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0
-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3
- 27x2 + 3x + 0
A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2
+ 3x
Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar
el 0x2 debajo del -27x2, y es porque al segundo polinomio
le falta el término de grado x. Todo lo demás salió ordenado por grado.
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EXPLICACIÓN: (Ver otra forma de
multiplicarlos)
Si el primero de los polinomios (el que ponemos arriba) está ordenado y
completo, pero el segundo no está completo, los términos salen en orden de
grado, pero habrá que saltearse algunas columnas para ubicarlos en la que
corresponde al grado del términos.
1) Ubico un polinomio sobre otro, como cuando se multiplican
"a mano" dos números naturales de varias cifras:
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
(completo y ordenado)
X
-2x2 + 3
(ordenado
pero sin completar)
______________________________
2) Empiezo multiplicando al +3 por cada término del polinomio de arriba,
empezando por el de la derecha (aunque también se puede hacer al revés, pero
así es más usual). Y pongo los resultados
debajo de la línea, empezando por la derecha también. Muestro paso por paso
todas las multiplicaciones que hago con el +3, y cómo se van ubicando los
resultados bajo la línea:
a)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x
+ 0
X
-2x2
+ 3
______________________________
+ 0
Porque (+3).(+0) = +0
b)
5x4 + 0x3 - 9x2
+ x + 0
X
-2x2 + 3
______________________________
+ 3x + 0
Porque (+3).(+x) = +3x
(¿cómo
se hacen estas multiplicaciones?)
c)
5x4 + 0x3
- 9x2 + x + 0
X
-2x2
+ 3
______________________________
- 27 x2 + 3x + 0
Porque (+3).(-9x2) = -27x2
d)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
Porque (+3).(0x3) = +0x3
(o cero solamente, pero le pongo la
x3 para que se vea el grado de la columna y todo esté completo)
e)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
Porque (+3).(5x4) = +15x4
3) Sólo me falta multiplicar todos los términos por el
-2x2:
a)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
+ 0x2
Porque (-2x2).0 = 0x2
Y lo pongo en la columna de las x2,
donde ya está el -27x2. Según el procedimiento acostumbrado para
multiplicar números naturales de varias cifras o polinomios completos, me
tocaría ubicarlo debajo del 3x. Pero como uno de los polinomios no está
completo, no salen todos los términos de todos los grados, entonces a veces hay
que saltearse una o más columnas para que queden bien encolumnados por grado.
Éste es un ejemplo de esa situación. Pero lo que sí se asegura completando y
ordenando el primer polinomio, es que salen todos los grados
"seguidos". Es decir, que no va a haber que dejar ningún espacio
entre dos términos. Lo cual hace que el procedimiento siga siendo cómodo, ya
que si bien hay que dejar espacios, será siempre al principio de la fila
(derecha), pero nunca "entremedio".
b)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2
+ 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
- 2x3
+ 0x2
Porque -2x2.(+x) = -2x3
c)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2
+ 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
+ 18x4 - 2x3
+ 0x2
Porque (-2x2).(-9x2) = +18x4
d)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2
+ 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
+
0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
Porque -2x2.(0x3) = 0x5
e)
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
-10x6 +
0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
_____________________________________
Porque -2x2.(5x4) = -10x6
4) Y ahora
hay que sumar las dos filas. Es una suma de polinomios, y ya están ordenados, y encolumnados según el grado.
Puede faltar algún término al principio de las filas, pero eso no dificulta la
suma ya que donde hay espacio hay que asumir que hay un cero, es decir que no se
suma nada.
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
X
-2x2 + 0x + 3
______________________________
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3
+ 0x2
_____________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2
+ 3x + 0
Resultado: -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2
+ 3x
(¿cómo se hace esa suma?
suma
de polinomios)
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los Conceptos Generales de este tema están en:
MULTIPLICACIÓN
DE POLINOMIOS
Explicación de las multiplicaciones entre términos de en este
EJEMPLO 6:
Con el 3:
+3.0 = 0 (Cualquier número multiplicado por cero dá
cero)
+3.(+x) = +3x (Número por letra no se puede encontrar un resultado,
queda así)
(+3).(-9x2) = -27x2 Porque (+3).(-9) es igual -27 , y la
"x2" no se multiplica por ninguna otra "x", así que queda
igual. (más
detalle sobre la multiplicación de monomios)
(+3).(0x3) = 0x3 Porque (+3).0 es igual
a 0, y la "x3" no se multiplica por ninguna otra
"x", así que queda igual. En realidad eso dá cero, pero pongo la x3
para que se sepa ese resultado va a ir en la columna de grado 3.
(+3).(+5x4) = +15x4 Porque (+3).5 es
igual +15, y la x4 no se multiplica por ninguna otra "x",
así que queda igual.
Con el -2x2:
(-2x2).0 = 0x2
(-2x2).(+x) = -2x3 Porque x.x2
es igual a x1.x2 (ya que x es igual a x1), y como son
potencias de la misma base, se suman los exponentes. Así que: x1.x2 = x1+2 = x3. En cuanto a los números,
se puede pensar que no hay otro número con el cual multiplicar a -2, así que
queda -2. Y sino, pensar que delante de la x hay un 1, así que (-2).1 = -2.
(-2x2).(-9x2) = +18x4 Porque
-2.(-9) es igual a +18. Y x2.x2 es una multiplicación de
potencias de la misma base, así que se suman los exponentes: x2.x2 = x2+2 = x4
(-2x2).(0x3) = 0x5 Es
una multiplicación por cero, así que dá cero. Pero si le tengo que poner la x
con el grado correspondiente, lo calculo sumando los exponentes, ya que son
potencias de la misma base: x2.x3 = x2+3 = x5
(-2x2).(+5x4) = -10x6 Porque
(-2).(+5) es igual a -10. Y x2.x4 = x2+4
= x6.
La suma de las filas en este EJEMPLO 6:
15x4
+ 0x3 - 27 x2
+ 3x + 0
-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3
+ 0x2
_____________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2
+ 3x + 0
Luego de multiplicar todos los términos, quedaron estas dos filas para sumar.
Es una suma de polinomios, así que se suman entre sí los términos de igual
grado (suma de
polinomios). Las cuentas de este EJEMPLO 6 serían las
siguientes:
Columna de las x6: Queda el -10x6, pues no hay otro
término de grado 6 con el cual sumarlo.
Columna de las x5: Queda el 0x5, pues no hay otro término
de grado 5 con el cual sumarlo.
Columna de las x4: 15 + (+18) = 15 + 18 = 33
Columna de las x3: 0 + 0 + (-2) = 0 + 0 - 2 = -2
Columna de las x2: -27 + 0 + 0 = -27
Columna de las x: Queda el +3x, pues no hay otro término de grado 1 con el cual
sumarlo.
Columna "de los números solos": Queda el 0, pues no hay nada con
qué sumarlo.
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1 (Multiplicación por un monomio)
EJEMPLO 2 (Multiplicación de polinomios completos)
EJEMPLO 3 (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados,
completándolos y ordenándolos)
EJEMPLO 4 (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos pero sí
ordenándolos)
EJEMPLO 5 (Multiplicación de polinomios de varias letras)
EJEMPLO 7 (Sin ordenar ni completar)
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