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OPERACIONES CON POLINOMIOS: RESTA / EJERCICIOS
RESUELTOS
EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)
A =
- 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x
B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3
9x4 - 4x3 - 3x2
+ 1/2 x - 8 (el
polinomio A ordenado y completo)
-
5x4 + 7x3 + 0x2
+ 3x -
10 (el
polinomio B ordenado y completo)
______________________________
La resta se puede tranformar en suma, cambiando todos los signos del segundo
polinomio:
9x4 - 4x3 - 3x2
+ 1/2 x - 8
+
-5x4 -
7x3 + 0x2 -
3x +
10 (el polinomio B con
los signos cambiados)
______________________________
4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2
x + 2
A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x
+ 2
Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de
todos los términos del polinomio que se resta ("el de abajo"), y
transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el
"opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del
mismo grado.
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como
mostré que se puede hacer en la suma. En la EXPLICACIÓN de
cada ejemplo lo mostraré resuelto de las tres maneras.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1
EJEMPLO 2: (Resta de polinomios de distinto grado)
A = 5x -
4 - 3x2
(grado
2)
B = 2x + 4x3 - + 1 + 5x2
(grado
3)
0x3 - 3x2 + 5x -
4 (el
polinomio A ordenado y completo)
-
4x3 - 5x2 + 2x +
1 (el
polinomio B ordenado y completo)
____________________
0x3 - 3x2 + 5x -
4
+
-4x3 +
5x2 - 2x - 1 (el
polinomio B con los signos cambiados)
____________________
-4x3 + 2x2 + 3x - 5
A - B = -4x3 + 2x2 + 3x - 5
Igual que en la suma: En el polinomio de menor
grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan
las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede encolumnado término a término
con el otro polinomio.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2
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CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
SOBRE OPERACIONES CON POLINOMIOS: RESTA
¿Cómo se restan los polinomios?
1) Transformando la resta en suma:
Una manera muy común de hacerlo es transformando la resta en suma, y
cambiándole los signos a todos los términos del segundo polinomio (el que se
está restando, el "sustraendo"). Porque restar es equivalente a sumar
"el opuesto". El opuesto de un número era un número del mismo valor,
pero con el signo contrario. Por ejemplo: -5 es el opuesto de 5, 3 es el opuesto
de -3, etc. Y el opuesto de un polinomio es un polinomio que tenga "los
mismos términos pero con el signo contrario". Por ejemplo, el opuesto de
3x2 + 7x sería -3x2 - 7x.
Veamos en un ejemplo numérico cómo es eso de "restar = sumar el
opuesto":
10 - 3 = 7
10 + (-3) = 7
Se puede ver que, al "sumar el opuesto", se está "cambiando la
resta por suma, y cambiando el signo al segundo número". Eso mismo se hace
con los polinomios. Por ejemplo:
A = 5x2 - 2x + 4
B = 8x2 + 3x - 1
Para restar A - B, se puede transformar en la suma del opuesto: A + (-B).
El que se resta es B: 8x2 + 3x - 1
Y el opuesto de B es: -8x2 -
3x + 1
Así que, en lugar de, a A restarle B, lo que hago es: a A le sumo el opuesto de
B:
5x2 - 2x +
4 (polinomio A)
+
-8x2 -
3x +
1 (el opuesto al
polinomio B)
________________
-3x2 - 5x + 5
Como a sumar ya se aprendió antes, no hay nada nuevo que aprender, solamente
hay que acordarse de cambiarle los signos al segundo polinomio. Luego, es una
suma de polinomios.
2) Restando los coeficientes de los términos de igual grado (o
"semejantes"):
En vez de transformar la resta en suma, se pueden restar entre sí los
coeficientes de los términos semejantes, tal como en la suma se sumaban:
5x2 - 2x +
4 (polinomio A)
-
8x2 + 3x -
1 (polinomio B)
________________
-3x2 - 5x + 5
Las cuentas entre los coeficientes fueron así:
Columna de las x2 ---- > 5 - (+8) = 5 - 8 = -3
Columna de las x: ---- > -2 - (+3) = -2 - 3 = -5
Columna de los "números solos": ---- > 4 - (-1) = 4 + 1 = 5
3) "Resta en el mismo renglón":
Y otra forma de restar polinomios es ponerlos restando uno al lado del otro, tal
como se hace también en la suma. Por ejemplo:
A = 5x2 - 2x + 4
B = -4x3 + 9x2 - 3
A - B =
(5x2 - 2x + 4) - (-4x3 + 9x2 - 3) =
Los paréntesis sirven para destacar a cada polinomio, pero el segundo
paréntesis es obligatorio ponerlo, pues así se indica que el signo
"menos" de la resta está afectando a todos los términos del segundo
polinomio. Si no se pusiera el paréntesis, el "menos" afectaría
solamente al primer término y no a todo el polinomio. Y hay que restar todo el
polinomio. Luego, se pueden quitar los paréntesis, y entonces desaparece el
signo de la resta, y cada término del segundo polinomio queda con el signo
contrario (regla
para quitar paréntesis):
5x2 - 2x + 4 + 4x3 - 9x2 + 3 =
Luego se "juntan" los términos de igual grado (lo cual ya expliqué
en la suma de polinomios), y
queda:
-4x2 + 7 - 2x - 9x2
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