Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

Temario | Todos los Ejemplos | Operaciones con Polinomios | Respuestas



OPERACIONES CON POLINOMIOS: RESTA

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1



 

EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)

A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3  + 1/2 x 
B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3

    9x4  - 4x3 - 3x2 + 1/2 x  -  8          (el polinomio A ordenado y completo)
-
    5x4 + 7x3 + 0x2  +   3x  -  10          (el polinomio B ordenado y completo)
______________________________


La resta se puede tranformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio:


    9x4  - 4x3 - 3x2 + 1/2 x   -  8
+
   -5x4 - 7x3 + 0x2   -   3x  +  10      (el polinomio B con los signos cambiados)
______________________________
    4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x  +  2


A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x  +  2

Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado.
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer en la suma. En la EXPLICACIÓN de cada ejemplo lo mostraré resuelto de las tres maneras.



EXPLICACIÓN:        (Ver otras formas de restarlos)


1) Ordeno y completo cada polinomio, de grado mayor a menor:

A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3  + 1/2 x      (polinomio A desordenado)

A = 9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8     (polinomio A ordenado y completo)

B =  5x4 - 10 + 3x + 7x3                 (polinomio B incompleto y desordenado)

B = 5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10       (polinomio B completo y ordenado)

(¿cómo se ordena y completa un polinomio? ¿qué es el grado?)

(¿es imprescindible ordenarlos y completarlos?)


2) Los pongo uno sobre otro, procurando que queden encolumnados los términos de igual grado:

      9x4  - 4x3 - 3x2 + 1/2 x  -  8
-
      5x4 + 7x3 + 0x2  +   3x  -  10
______________________________


3) Cambio la resta por suma, y le cambio los signos a todos los términos de B: (¿por qué hay que hacer eso?) (suma de polinomios)

     9x4  - 4x3 - 3x2 + 1/2 x   -  8
+
   -5x4 - 7x3 + 0x2   -   3x  +  10       (el polinomio B con los signos cambiados)
______________________________
 

Cambios de signo:

5x4 pasa a ser -5x4 (recordar que 5x4 es lo mismo que +5x4

+7x3 pasa a ser -7x3

+3x pasa a ser -3x

-10 pasa a ser +10

A 0x2 no hace falta cambiarle el signo, porque sumar o restar cero es lo mismo: no se suma ni resta nada, no va a cambiar el resultado. El cero está allí solamente para rellenar la columna de las x2.


4) Como ahora es una suma de polinomios, sumo los números (coeficientes) de cada columna, y pongo el resultado abajo:

Columna de las x4. Suma de los coeficientes: 9 + (-5) = 9 - 5 = 4
                                               (¿hace falta ese primer paso con paréntesis?)

     9x4  - 4x3 - 3x2 + 1/2 x   -  8
+
    -5x4 - 7x3 + 0x2   -   3x  +  10
______________________________
    4x4


Columna de las x3. Suma de los coeficientes: -4 + (-7) = -4 - 7 = -11


     9x4  - 4x3 - 3x2 + 1/2 x   -  8
+
    -5x4 - 7x3 + 0x2   -   3x  +  10
______________________________
    4x4 - 11x3


Columna de las x2. Suma de los coeficientes: -3 + (+0) = -3 + 0 = -3

      
9x4  - 4x3 - 3x2 + 1/2 x   -  8
+
     -5x4 - 7x3  + 0x2   -   3x  +  10
______________________________
     4x4 - 11x3 - 3x2


Columna de las x. Suma de los coeficientes: +1/2 + (- 3) = 1/2 - 3 = -5/2

       9x4  - 4x3 - 3x2 + 1/2 x   -  8
+
      -5x4 - 7x3 + 0x2   -   3x  +  10
______________________________
       4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2

Columna de los números solos. Suma de los coeficientes: -8 + (+10) = - 8 + 10 = +2

      9x4  - 4x3 - 3x2 + 1/2 x   -  8
+
     -5x4 - 7x3 + 0x2   -   3x  +  10
______________________________
      4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x  +  2


(justificación de por qué se suman los coeficientes de igual grado y por qué no cambia el grado)





CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema están en: RESTA DE POLINOMIOS 


Otras formas de restarlos:

Restando los coeficientes de los términos de igual grado (o "semejantes"):

En vez de transformar la resta en suma, se pueden restar entre sí los coeficientes de los términos semejantes (¿qué eran los términos semejantes?), tal como en la suma se sumaban:

    9x4  - 4x3 - 3x2 + 1/2 x  -  8          (el polinomio A ordenado y completo)
-
    5x4 + 7x3 + 0x2  +   3x  -  10         (el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
   4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x  +  2


Las cuentas entre los coeficientes fueron así:

Columna de las x4: ---- >  9 - (+5) = 9 - 5 = 4

Columna de las x3: ---- >  -4 - (+7) = -4 - 7 = -11

Columna de las x2: ---- > -3 - (+0) = -3 - 0 = -3

Columna de las x: ---- > 1/2 - (+3) = 1/2 - 3 = -5/2

Columna de los "números solos" : ---- > -8 - (-10) = -8 + 10 = 2


"Resta en el mismo renglón":

Y otra forma de restar polinomios es ponerlos restando uno al lado del otro, tal como se hace también en la suma. Para este EJEMPLO 1:

A = -3x2 + 9x4 - 8 - 4x3  + 1/2 x 
B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3

A - B =

(- 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3  + 1/2 x) - (5x4 - 10 + 3x + 7x3) =

Los paréntesis sirven para destacar a cada polinomio, pero el segundo paréntesis es obligatorio ponerlo, pues así se indica que el signo "menos" de la resta está afectando a todos los términos del segundo polinomio. Si no se pusiera el paréntesis, el "menos" afectaría solamente al primer término y no a todo el polinomio. Y hay que restar todo el polinomio. Luego, se pueden quitar los paréntesis, y entonces desaparece el signo de la resta, y cada término del segundo polinomio queda con el signo contrario (regla para quitar paréntesis):

- 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3  + 1/2 x - 5x4 + 10 - 3x - 7x3 =

Luego puedo ordenar el polinomio, poniendo juntos los términos de igual grado, como ya expliqué en el apartado de suma. (Este paso no es obligatorio)

9x4 - 5x4 - 8 + 10 - 4x3  - 7x3  + 1/2 x  - 3x - 3x2 =

Luego "junto" entre sí los términos de igual grado, es decir, los "sumo" y queda:

4x4 + 2 - 11x3 -  5/2 x  - 3x2  

(más sobre esto de "juntar" en: sumar)

Porque las cuentas que hice son:

Para las x4 ---- > 9 - 5  = 4

Para los números solos  ---- > -8 + 10 = 2

Para las x3 ---- > -4 - 7 = -11

Y como hay un solo término con x2, no hay otro con cual "juntarlo", así que quedan -3x2.




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
RESTA DE POLINOMIOS


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 2 (Resta de polinomios de distinto grado)



Política de Privacidad - Contacto: [email protected]