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OPERACIONES CON POLINOMIOS: RESTA

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2



 

EJEMPLO 2: (Resta de polinomios de distinto grado)

A = 5x - 4 - 3x2               (grado 2)
B = 2x + 4x3 + 1 - 5x2      (grado 3)


    0x3 - 3x2 + 5x - 4          (el polinomio A ordenado y completo)
-
   4x3  - 5x2 + 2x + 1         (el polinomio B ordenado y completo)
____________________


Cambio de operación y de signos:


     0x3 - 3x2 + 5x - 4
+
   -4x3 + 5x2 - 2x - 1         (el polinomio B con los signos cambiados)
____________________
   -4x3 + 2x2 + 3x - 5


A - B = -4x3 + 2x2 + 3x - 5


Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio.



EXPLICACIÓN:        (Ver otras formas de restarlos)


1) Ordeno y completo cada polinomio, de grado mayor a menor:

A = 5x - 4 - 3x2                   (polinomio A desordenado)

A = - 3x2 + 5x - 4               (polinomio A ordenado)

B =  2x + 4x3 + 1 - 5x2          (polinomio B desordenado)

B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1         (polinomio B ordenado)

No fue necesario completarlos, pues ambos venían completos.

(¿cómo se ordena y completa un polinomio? ¿qué es el grado?)

(¿es imprescindible ordenarlos y completarlos?)


2) Los pongo uno sobre otro, procurando que queden encolumnados los términos de igual grado:

             -3x2 + 5x - 4
-
      4x3 - 5x2 + 2x + 1
_____________________


Ahí me doy cuenta de que el polinomio A no tiene término de grado 3, en cambio el polinomio B sí. Puedo completar el polinomio A, agregando 0x3 en la columna de las x3. Eso me puede servir para ver un poco mejor la cuenta entre coeficientes que tendré que hacer para las x3.

      0x3 - 3x2 + 5x - 4
-
      4x3 - 5x2 + 2x + 1
_____________________


3) Cambio la resta por suma, y le cambio los signos a todos los términos de B: (¿por qué hay que hacer eso?) (suma de polinomios)

       0x3 - 3x2  + 5x - 4
+
     -4x3 + 5x2 - 2x  - 1            (polinomio B con los signos cambiados)
_____________________


Cambios de signo:

4x3 pasa a ser -4x3   (recordar que 4x3 es lo mismo que +4x3

-5x2 pasa a ser +5x5

+2x pasa a ser -2x

+1 pasa a ser -1


4) Como ahora es una suma de polinomios, sumo los números (coeficientes) de cada columna, y pongo el resultado abajo:

Columna de las x3. Suma de los coeficientes: 0 + (-4) = 0 - 4 = -4
                                               (¿hace falta ese primer paso con paréntesis?)

      0x3 - 3x2  + 5x - 4
+
    -4x3 + 5x2 - 2x  - 1
_____________________
    -4x3

Columna de las x2. Suma de los coeficientes: -3 + (+5) = -3 + 5 = +2


     0x3 - 3x2  + 5x - 4
+
   - 4x3 + 5x2 - 2x  - 1
_____________________
   -4x3 + 2x2


Columna de las x. Suma de los coeficientes: +5 + (-2) = 5 - 2 = 3

     0x3 - 3x2  + 5x - 4
+
   - 4x3 + 5x2 - 2x  - 1
_____________________
   -4x3 + 2x2 + 3x

Columna de los números solos. Suma de los coeficientes: -4 + (-1) = -4 - 1 = -5

      0x3 - 3x2 + 5x - 4
+
   - 4x3 + 5x2  - 2x - 1
_____________________
    -4x3 + 2x2 + 3x - 5



(justificación de por qué se suman los coeficientes de igual grado y por qué no cambia el grado)



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema están en: RESTA DE POLINOMIOS 


Otras formas de restarlos:

Restando los coeficientes de los términos de igual grado (o "semejantes"):

En vez de transformar la resta en suma, se pueden restar entre sí los coeficientes de los términos semejantes (¿qué eran los términos semejantes?), tal como en la suma se sumaban:

     0x3 - 3x2 + 5x - 4          (el polinomio A ordenado y completo)
-
    4x3  - 5x2 + 2x + 1          (el polinomio B ordenado y completo)
____________________
   
-4x3 + 2x2 + 3x - 5

Las cuentas entre los coeficientes fueron así:

Columna de las x3: ---- >  0 - 4 = -4

Columna de las x2: ---- >  -3 - (-5) = -3 + 5 = +2

Columna de las x: ---- > +5 - (+2) = 5 - 2 = +3

Columna de los "números solos": ---- > -4 - (+1) = -4 - 1 = -5


"Resta en el mismo renglón":

Y otra forma de restar polinomios es ponerlos restando uno al lado del otro, tal como se hace también en la suma. Para este EJEMPLO 2:

A = 5x - 4 - 3x2
B = 2x + 4x3 + 1 - 5x2

A - B =

(5x - 4 - 3x2) - (2x + 4x3 + 1 - 5x2)=

Los paréntesis sirven para destacar a cada polinomio, pero el segundo paréntesis es obligatorio ponerlo, pues así se indica que el signo "menos" de la resta está afectando a todos los términos del segundo polinomio. Si no se pusiera el paréntesis, el "menos" afectaría solamente al primer término y no a todo el polinomio. Y hay que restar todo el polinomio. Luego, se pueden quitar los paréntesis, y entonces desaparece el signo de la resta, y cada término del segundo polinomio queda con el signo contrario (regla para quitar paréntesis):

5x - 4 - 3x2 - 2x - 4x3 - 1 + 5x2 =

Luego puedo ordenar el polinomio, poniendo juntos los términos de igual grado, como ya expliqué en el apartado de suma. (Este paso no es obligatorio)

5x - 2x - 4 - 1 - 3x2 + 5x2 - 4x3 =


Luego "junto" entre sí los términos de igual grado, es decir, los "sumo" y queda:

3x - 5 + 2x2 - 14x3  

(más sobre esto de "juntar" en: sumar)

Porque las cuentas que hice son:

Para las x ---- > 5 - 2  = 3

Para los números solos  ---- > -4 - 1 = -5

Para las x2 ---- > -3 + 5 = 2

Y como hay un solo término con x3, no hay otro con cual "juntarlo", así que quedan -4x3.




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
RESTA DE POLINOMIOS


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Resta de polinomios del mismo grado)



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