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OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMA

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3



 

EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero)

A = 9 + 5x3 - 4x2 + x
B = 4x2 - 3 - 2x


   5x3  - 4x2 + x + 9
+
   0x3 + 4x2 - 2x - 3
____________________
   5x3 + 0x2 - x  + 6


A + B = 5x3 - x  + 6


La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se ponen los términos con coeficiente igual a cero.



EXPLICACIÓN:        (Ver otra forma de sumarlos)


1) Ordeno y completo cada polinomio, de grado mayor a menor:

A = 9 + 5x3 - 4x2 + x        (polinomio A desordenado e incompleto)
A = 5x3 - 4x2 + x + 9        (polinomio A ordenado y completo)

B = 4x2 - 3 - 2x                 (polinomio B desordenado e incompleto) 
B = 4x2 - 2x - 3                 (polinomio B ordenado y completo) 

(¿cómo se ordena y completa un polinomio? ¿qué es el grado?)

(¿es imprescindible ordenarlos y completarlos?)


2) Los pongo uno sobre otro, procurando que queden encolumnados los términos de igual grado:

   5x3  - 4x2 + x + 9
+
   0x3 + 4x2 - 2x - 3
____________________


(Completé con 0x3 al polinomio B, pues éste no tiene término de grado 3, mientras que el polinomio A sí lo tiene. Eso ya lo expliqué en el EJEMPLO 2)

(¿por qué se puede agregar 0x3?
)


3) Sumo los números (coeficientes) de cada columna, y pongo el resultado abajo:

Columna de las x3. Suma de los coeficientes: 5 + 0 = 5

    5x3  - 4x2 + x + 9
+
   0x3 + 4x2 - 2x - 3
____________________
   5x3


Columna de las x2. Suma de los coeficientes: -4 + (+4) = -4 + 4 = 0
                                                   (¿hace falta ese primer paso con paréntesis?)
   5x3  - 4x2 + x + 9
+
   0x3 + 4x2 - 2x - 3
____________________
   5x3 + 0x2


Columna de las x. Suma de los coeficientes: 1 + (-2) = 1 - 2 = -1
                                                        (¿de dónde salió el 1?)
  5x3  - 4x2 + 1x + 9
+
   0x3 + 4x2 - 2x - 3
____________________
   5x3 + 0x2 - x

(quedó -x, porque -1x es lo mismo que -x (
¿por qué?), entonces no se pone el 1)

Columna de los números solos. Suma de los coeficientes: 9 + (-3) = 9 - 3 = +6


   5x3  - 4x2 + x + 9
+
   0x3 + 4x2 - 2x - 3
____________________
   5x3 + 0x2 - x  + 6


Luego, como 0x2 es igual a 0.x2 (
¿por qué?), y por lo tanto es igual a 0 (cualquier cosa multiplicada por cero, dá cero) , y sumar 0 no cambia el resultado (el cero es neutro en la suma, sumar cero es no sumar nada), entonces el resultado es:

5x3 - x  + 6

Los términos que quedan con coeficiente 0 no se ponen, sólo fueron utilizados para completar los espacios vacíos.

(justificación de por qué se suman los coeficientes de igual grado y por qué no cambia el grado)



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema están en: SUMA DE POLINOMIOS 


Otra forma de disponer los polinomios para sumarlos:

Como ya expliqué en los conceptos generales (ver aquí), también se suelen sumar los polinomios en un "mismo renglón". Lo voy a hacer así para este EJEMPLO 3:

A = 9 + 5x3 - 4x2 + x
B = 4x2 - 3 - 2x

Para calcular A + B:

1) Los pongo entre paréntesis, sumando:

(9 + 5x3 - 4x2 + x) + (4x2 - 3 - 2x) =

2) Quito los paréntesis:

9 + 5x3 - 4x2 + x + 4x2 - 3 - 2x =

Al quitar paréntesis que tienen un signo "+" delante, o que no tienen nada delante (lo que equivale a tener un signo "+"), los términos quedan con el mismo signo que ya tenían.
(reglas para quitar paréntesis)

3) "Junto" los términos de igual grado. Es decir, sumo entre sí los coeficientes de los términos que tienen igual grado. Algunos prefieren hacer un paso previo para cambiar el orden de los términos, poniendo juntos a los términos que son de igual grado, y sumarlos luego en otro paso. Se puede cambiar el orden de los términos por la Propiedad conmutativa de la suma (a + b = b + a) (¿pero todos los términos están sumando?). Ese paso, que no es imprescindible, sería así:

9 - 3 - 4x2 + 4x2 + x - 2x + 5x3 =

Así, se pueden ver juntos los términos que hay que sumar: los dos primeros que son los números solos, los de grado 2, los de grado 1, y se ve que de grado 3 hay uno solo y entonces no se lo podrá sumar con nada.

Y ahora, sumo entre sí los términos de igual grado:


- Para las x2: "Junto" -4x2 + 4x2. Antes dije que "sumo" los coeficientes, pero
-4 + (+4) es lo mismo que -4 + 4, entonces, ya no hace falta pensar en que "sumo". A partir de ahora, cuando digo "junto", estoy diciendo que "hago la cuenta" entre sus coeficientes, y ya no pondré el signo de suma entre los términos, porque es igual si no está. Es algo que deben saber ya desde que aprendieron a sumar números enteros. El término -4x2 es negativo, porque en el polinomio estaba restando, y el término 4x2 es positivo, porque en el polinomio estaba sumando. El signo del coeficiente de cada término es el signo que tiene adelante el término. Como -4 + 4 = 0, quedan 0x2. Cuando dá cero, directamente puede no ponerse. Pues si dá cero, es que no quedó ninguna x2; ya que 0x2 significa 0.x2 (el signo de multiplicación no se pone entre la letra y el coeficiente, pero es una multiplicación), lo cual es igual a 0 por ser una multiplicación por cero. También se puede pensar: "se cancelan".

- Para las x: "Junto" x - 2x. Así que quedan -1x, que es lo mismo que -x (¿por qué?).

- Para los números solos: "Junto" 9 - 3 = 6.

- Para las x3: Hay un solo término con x3, así que ése queda igual: 5x3.

4) Armo el resultado:

Entonces el resultado de la suma es un polinomio formado por todos esos términos, cada uno con su signo (recordemos que "sin signo" es lo mismo que "positivo", entonces los términos que dieron así van a quedar sumando en el polinomio), en cualquier orden:

Resultado:

 -x  + 6 + 5x3

(más sobre esto)


¿Por qué -1.x es igual a -x?

Cuando multiplicamos un números con signos, hallamos el "valor" del resultado lo hallamos haciendo la multiplicación entre los números, y el signo del resultado lo hallamos por la regla de los signos:

(+ . + = +)
(+ . - = -)
(- . + = +)
(- . - = -)

Por ejemplo:

+2.(-3) = -6

Para hallar el "valor" del resultado, multiplicamos a 2.3 (que dá 6), y para hallar el signo decimos: "más por menos dá menos".

Pero cuando multiplicamos un número con una letra, no podemos hallar un resultado "numérico" (el "valor"), porque no sabemos el valor de la letra (es "variable", se le pueden poner distintos valores). Entonces, el resultado es una expresión formada por ese número y esa letra, es decir: "queda el número al lado de la letra". Y el signo del resultado lo calculamos con las misma regla de los signos. Veamos algunos ejemplos:

5.(-x) = -(5x) = -5x

Por la regla de los signos, (+.- = -), el resultado dá negativo (el 5 no tiene signo, así que hay que asumir que tiene un signo + adelante). Y como no se puede hacer la cuenta entre un número y una letra, hay que poner el número junto a la letra: (5x). Así que eso dá: -5x. Puse entre paréntesis a 5x, para separar lo que es signo de lo que es el "valor" del resultado:

-2.(-x) = + (2x) = 2x

Por la regla de los signos, (-.- = +), el resultado dá positivo. Y como no se puede hacer la cuenta, hay que poner el número junto a la letra: 2x. Así que eso dá: +2x (ó 2x, que es lo mismo).

Entonces, para el ejemplo de nuestra duda:

-1.x = - (1x) = -x

En este caso particular, queda 1x. Pero como el 1 es el neutro de la multiplicación, "cualquier cosa multiplicada por 1 dá la misma cosa". Entonces, 1.x es igual a x. Por eso, ya no pongo el 1, y el resultado de multiplicar -1.x es "-x".



Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SUMA DE POLINOMIOS


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de polinomios del mismo grado)
EJEMPLO 2 (Suma de polinomios de distinto grado)
EJEMPLO 4 (No hay términos semejantes)
EJEMPLO 5 (Suma de polinomios de varias letras)



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