Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: COMBINATORIA


24-04-11 Pregunta de walter


Nececito resolver los ejercicios de conbinatoria: 
1º) indicar cuantos numeros es posible armar con 2,3,6,y 9
en cada situación: 
a) Sin repetir numeros de cuatro cifras 
b) Con repeticion de numeros de tres cifras 
c) Numeros de cinco cifrascon repetición 
d)Numeros de tres cifras multiplos de 2 
e)Numeros de tres cifras mayores de 700 

Cursando:: Despachante de Aduana y Comercio Exterior
Edad:: 27 años
Nacionalidad:: argentina
¿Qué opinas de la web?: excelente ayuda

Hola walter.

1) Para hacer estos ejercicios de formar números, es bueno hacerse un esquemita con un lugar para cada cifra, y pensar cuáles son los dígitos que podrían ponerse en cada lugar: cuántas posibilidades hay para cada cifra. En cada lugar del esquema se pone el número de posibilidades, y luego se las multiplica:

Con los siguientes dígitos: 2, 3, 6 y 9

a) ¿Cuántos números de cuatro cifras sin repetir se pueden armar? (modifico un poco las preguntas para que se entiendan mejor)

__ . __ . __ . __ =

Hice un esquemita con 4 lugares, uno para cada cifra. Y ahora pienso:

- Para el primer lugar tengo 4 posibilidades, ya que puedo poner el 2, el 3, el 6 ó el 9. Porque el número puede empezar con cualquiera de esos cuatro dígitos. Como hay 4 posibilidades, pongo un 4 en el primer lugar:

4 . __ . __ . __ =

- Para el segundo lugar tengo 3 posibilidades, porque no se pueden repetir los números. Si por ejemplo puse el 6 en el primer lugar, ahora me quedan sólo tres opciones para el segundo lugar (2, 3 ó 9), porque una ya la usé para el primer lugar. Así que para la segunda cifra hay 3 posibilidades, pongo un 3 en el segundo lugar:

4 . 3 . __ . __ =

- Para el tercer lugar tengo 2 posibilidades, porque como ya usé dos números, me quedan solamente otro dos, ya que repetir no se puede. Así que pongo un 2:

4 . 3 . 2 . __ =

- Y para el último lugar tengo una sola posibilidad, como ya puse las otras 3 cifras, me queda un solo número para elegir. Así que pongo un 1:

4 . 3 . 2 . 1

Multiplico y obtengo la cantidad total de posibilidades, la cantidad de los diferentes números que se pueden formar con 4 dígitos distintos:

4.3.2.1 = 24

Algunos chicos, cuando ven esto confunden los dígitos con la cantidad de posibilidades. 4.3.2.1 no es un número que estoy formando, es la multiplicación de las posibidades que hay de elección para cada cifra. Los números que pueden formarse son:

2369
2396
2639
2693
2936
2963

3269
3296
3629
3692
3926
3962

6239
6293
6329
6392
6923
6932

9236
9263
9326
9362
9623
9632

Ves que son 24. Pero la idea no es ponerse escribir todos los números (a veces son muchos), sino multiplicar entre sí la cantidad de opciones que tenemos para cada posición. Porque si para la primera cifra tengo 4 posibilidades:

2
3
6
9

y para la que sigue tengo 3 (los otros 3 números que no puse en la primera), por cada uno de los 4 números, tengo 3. Puedo saber cuántos son, sumando 4 veces 3, o multiplicando 4x3

2 -- 3
   -- 6
   -- 9

3 -- 2
   -- 6
   -- 9

6 -- 2
   -- 3
   -- 9

9 -- 2
   -- 3
   -- 6

Si cuentas los resultados, verás que son 12 (4x3). Luego, por cada uno de esos 12, tenemos 2 posibilidades para el número que sigue. La cantidad se obtiene multiplicando 12x2, ó 4x3x2:

2 -- 3 -- 6
         -- 9
   -- 6 -- 3
         -- 9
   -- 9 -- 3
         -- 6

3 -- 2 -- 6
         -- 9
   -- 6 -- 2
         -- 9
   -- 9 -- 3
          -- 6

6 -- 2 -- 3
         -- 9
   -- 3 -- 2
         -- 9
   -- 9 -- 2
         -- 3

9 -- 2 -- 3
         -- 6
   -- 3 -- 2
         -- 6
   -- 6 -- 2
         -- 3

Si cuentas la última columna verás que son 24: 4x3x2. Luego, ya usamos dígitos, queda uno sólo por poner en cada uno. Una sola posibilidad por cada uno, es multiplicar por 1, o no multiplicar por nada:

2 -- 3 -- 6 -- 9
         -- 9 -- 6
   -- 6 -- 3 -- 9
          -- 9 -- 3
    -- 9 -- 3 -- 6
          -- 6 -- 3

3 -- 2 -- 6 -- 9
         -- 9 -- 6
   -- 6 -- 2 -- 9
         -- 9 -- 2
   -- 9 -- 2 -- 6
         -- 6 -- 2

6 -- 2 -- 3 -- 9
         -- 9 -- 3
   -- 3 -- 2 -- 9
         -- 9 -- 2
   -- 9 -- 2 -- 3
         -- 3 -- 2

9 -- 2 -- 3 -- 6
         -- 6 -- 3
   -- 3 -- 2 -- 6
         -- 6 -- 2
   -- 6 -- 2 -- 3
         -- 3 -- 2

Siguen siendo 24. Bueno, traté de explicarte más o menos por qué se multiplican el número de posibilidades para cada cifra. El resto de los problemas los hacemos de la misma manera.


b) Números de 3 cifras pudiéndose repetir los dígitos. Tres cifras, tres lugares en el "esquema de posibilidades":

__ . __ . __ =

- Para el primer lugar tenemos 4 posibilidades (2, 3, 6 y 9):

4 . __ . __ =

- Para el segundo lugar tenemos también 4 posibilidades, porque los dígitos se pueden repetir. Es decir que, si por ejemplo puse el 2 en el primer lugar, en el segundo lugar también puedo poner el 2, así que lo tengo que tener entre las posibilidades. Para cada cifra sigo teniendo 4 posibilidades, porque se pueden repetir, no hay que eliminar ninguna posibilidad. Así que pongo un 4:

4 . 4 . __ =

- Y para el tercer lugar lo mismo:

4 . 4 . 4 = 64

Hay 64 números posibles. Te pongo algunos de ellos, quizás ayude a entender el ver cómo se generan:

222
223
226
229

232
233
236
239

262
263
266
269

292
293
296
299

322
323
326
329

332
333
336
339

362
363
366
369

392
393
396
399

etc.

c) Números de 5 cifras con repetición:

4     4     4     4    4
__ . __ . __ . __ . __ = 1024


d) Números de tres cifras multiplos de 2:

Los múltiplos de 2 son números pares, terminan en cifra par (0, 2, 4, 6 u 8). Y de los 4 dígitos que tenemos para formar el número (2, 3, 6 y 9), los que son pares son el 2 y el 6. Es decir que, para la última cifra, tenemos sólo dos posibles dígitos. Cuando hay una condición así, empezamos poniendo el número de posibilidades que cumplan con esa condición. Así que ahora voy a empezar por la última cifra. Como hay 2 posibilidades, pongo un 2:

             2
__ . __ . __ =

El problema es que acá no dice con repetición o sin repetición. Por las dudas lo hacemos de las dos maneras:

Con repetición:

4     4     2
__ . __ . __ = 32

Porque como se pueden repetir los números, para los otros lugares tengo 4 posibilidades.

Sin repetición:

3      2    2
__ . __ . __ = 12

Porque una vez que determiné la última cifra, tengo sólo 3 posibilidades para la primera (porque no se puede repetir la última). Y luego de poner la primera, quedan sólo dos posibilidades para la segunda.


e) Numeros de tres cifras mayores de 700:

Al ser mayores que 700, me está imponiendo una condición para la primera cifra: tiene que ser un dígito mayor o igual a 7. Como los dígitos de los que disponemos son el : 2, 3, 6 y 9, el único que cumple con eso es el 9. En el primer lugar hay una sola posibilidad: poner el 9. Así que pongo un 1 ("una" posibilidad):

1
__ . __ . __ =


Luego, como tampoco aclara, lo hago con repetición y sin repetición:

Con repetición:

1      4    4 
__ . __ . __ = 16


Sin repetición:

1      3    2
__ . __ . __ = 6

Porque una vez que puse la primera cifra (9), me quedan sólo 3 para poner, porque el 9 no se puede repetir. Y luego 2, porque no se pueden repetir las dos primeras.



09-11-10 Pregunta de Roberto

Buenas tardes Marcelo:

Por este medio necesitaria puedas ayudarme con estos tres problemas de probabilidad,dado que no los comprendo muy bien y el sabado 13 tengo examen y quiero al menos asegurar el puntaje de la materia. 
Desde ya te agradeceré infinitamente tu gestión y ayuda.
Las respuestas la publicás en la portada, cómo me entero de tu respuesta.
Muchas gracias.
Atte. 
Roberto Aguirre.

EJERCICIO NRO 1 PROBABILIDAD

1.- En un grupo de 18 alumnos se decide organizar una comisión de 3 delegados como representantes del grupo en el centro de estudiantes. ¿De cuantas formas distintas puede quedar conformada la comisión? 

2.- En el mismo grupo anterior deciden armar una lista para las elecciones del centro de estudiantes. Se eligen los cargos de presidente, vice y primer vocal. ¿De cuántas formas distintas puede quedar conformada la lista? 

3.- Compare los resultados obtenidos en los ítems 1 y2 y explique cuál es la razón que los diferencia? 



Hola Roberto. Primero que nada: no soy "Marcelo", sino Marcela. Luego, son varios ejercicios así que lo dividiré en tres respuestas. En esta va el EJERCICIO NRO 1 completo:

EJERCICIO NRO 1:

1.- Se trata de elegir, entre 18 alumnos, grupos de 3 alumnos. Como todos los alumnos reciben el mismo cargo (delegado), es una COMBINACIÓN de 18 en 3. Sería una Variación, si a cada alumno se le asignara un cargo diferente. Y eso pasa en el punto 2.-, así que luego allí te hablo de eso. La combinación de 18 en 3 se resuelve con esta fórmula:

C(18,3) = 18! / (18 - 3)!.3! = 18! / (15!.3!) = (18.17.16) / (3.2.1) = 816

(No sé si sabes resolver y simplificar factoriales, y/o si conocías la fórmula. 18! se puede simplificar con 15!, cualquier cosa si no sabes sobre eso te explico en otra consulta).

La respuesta es: Se pueden formar 816 comisiones diferentes.

La fórmula para calcular una combinación de un conjunto de m elementos en grupos de n elementos, es:

C(m,n) = m! / (m - n)!.n!


2.- Aquí se trata también de elegir, entre 18 alumnos, grupos de 3 alumnos. Pero a cada alumno de la comisión se le asigna un cargo diferente (presidente, vice y primer vocal). Entonces es una VARIACIÓN de 18 en 3, que se calcula con esta fórmula:

V(18,3) = 18! / (18 - 3)! = 18! / 15! = 18.17.16 = 4896

Y la fórmula en general es:

V(m,n) = m! / (m - n)!


3.- ¿Cuál es la diferencia?

Supongamos que elegimos para un grupo a 3 alumnos que llamamos A, B y C. Si a todos se le asigna el mismo cargo (Combinación), hay una sola comisión posible con 3 alumnos, la comisión que tiene los alumnos A, B y C.

En cambio si a cada alumno de la comisión se le asigna un cargo diferente (variación), hay varias comisiones diferentes que se pueden hacer con cada grupo de 3 alumnos. Porque puedes elegir así:

A para presidente
B para vice
C para primer vocal

A para presidente
C para vice
B para primer vocal

B para presidente
A para vice
C para primer vocal

B para presidente
C para vice
A para primer vocal

C para presidente
A para vice
B para primer vocal

C para presidente
B para vice
A para primer vocal

Son todas comisiones con los alumnos A, B y C, y todas las comisiones diferentes. Hay que contarlas a todas. Fijate que lo que en la Combinación era un sola comisión con A, B y C, y en la Variación son 6 comisiones. Podemos diferenciar las 6 comisiones de la Variación, poniendo a los alumnos en distinto orden:

ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA

Se dice que en es una Variación cuando "importa el orden en que tomamos los elementos para hacer un grupo", y que es Combinación cuando "no importa el orden". En una Variación, dos grupos con los mismos elementos se cuentan como distintos si sus elementos están en distinto orden; en cambio en la Combinación se cuentan como uno solo. Y puedes observar que la Variación dá más comisiones que la Combinación: 4896 contra 816. En la Variación, por cada grupo que se forma en la Combinación hay que multiplicarlo por todas las distintas "permutaciones" (cambios de orden) que se pueden hacer con los elementos del grupo (es lo que te mostré con ABC, ACB, etc.):

4896 = 816.6 (viste que pude hacer 6 permutaciones de la comisión)





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