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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: NÚMEROS COMPLEJOS

14-11-04 Pregunta de sofia           (PRODUCTOS NOTABLES)

hola. quisiera consultar sobre ejercicios combinados de numeros complejos aplicando productos notables; agradeceria el paso a paso.gracias.

Cursando:: materia previa
Edad:: 50
Nacionalidad:: argentina
¿Qué opinas de la web?: sencillamente genial.


Hola sofia. Los productos notables son:

- Cuadrado de un binomio (una suma/resta de dos términos, elevada al "cuadrado" o potencia segunda).

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

- Cubo de un binomio (una suma/resta de dos términos, elevada al "cubo" o potencia tercera)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

- Suma por resta de dos términos iguales

(a + b).(a - b) = a2 - b2

Como los números complejos en su forma binómica tienen en general dos términos (uno real y el otro imaginario):

(a + bi)2

(a + bi)3

cuando se los eleva al cuadrado o al cubo se pueden aplicar esas fórmulas. Lo mismo si se multiplica un número complejo por su conjugado:

(a + bi).(a - bi)

se aplica la tercera fórmula, porque es una suma por resta de dos términos iguales.

Te muestro un ejemplo de cada uno:

Número complejo elevado al cuadrado:

(3 - 5i)2 =

32 + 2.3.(-5i) + (-5i)2 =

9 - 30i + (-5)2.i2

9 - 30i + 25.(-1) =             (sabrás que i2 = -1)

9 - 30i - 25 = 

-16 - 30i


Número complejo elevado al cubo:

(-2 + 4i)3 =

(-2)3 + 3.(-2)2.4i + 3.(-2).(4i)2 + (4i)3 =

-8 + 3.4.4i + 3.(-2).16.i2 + 43.i3 =

-8 + 48i - 96.(-1) + 64.(-i) =              (sabrás que i3 = -i)

-8 + 48i + 96 - 64i =

88 - 16i

Multiplicación de un número por su conjugado:

(5 + 2i).(5 - 2i) = 52 - (2i)2 = 25 - 4i2 = 25 - 4.(-1) = 25 + 4 = 29

(Nota: El conjugado de un número complejo es otro número complejo con igual parte real y con parte imaginaria "opuesta" (con el signo contrario))



01-03-11 Pregunta de danu           (RAICES COMPLEJAS)

hola...una pregunta,tengo una ecuacion que su mayor grado es 4, por que caso podria resolverlo? porque por el septimo caso intente resolverlo y una de las "raices" me queda dos,entonces no puedo aplicar uno de los ultimos pasos que es sacar la raiz de "X" uno y dos. 

la ecuacion es X4+3X2+2


Hola danu. Por lo que dices la resolviste como "bicuadrada". Y te trabaste porque te quedaron raíces cuadradas que crees que no tienen solución. Como te dije antes, las raíces cuadradas de números negativos no tienen solución en el conjunto de los números Reales, pero sí en el de los números Complejos. Y las raíces que no dan un número exacto (entero o racional), como la V2, también tienen solución, nada más que es un número irracional (con cifras decimales infinitas sin periodo que se repita). En ese caso es mejor dejar la raíz sin resolver (a menos que quieras graficar o necesites el valor aproximado). Te voy mostrar cómo calcular la raíz cuadrada de un número negativo:

V-4 = 2i

V-9 = 3i

V-1 = 1i = i

Para hallar la raíz cuadrada de un número negativo, hallas la raíz cuadrada del número sin el signo (o sea, de un número que es positivo), y "le pones la "i" al lado" (multiplicando). Después si te interesa te digo por qué (es algo que pertenece al tema Números Complejos: ver aquí). Ese número con "i" es un número complejo, que debés haber visto alguna vez:

3 + 2i
1 - 4i

El término que tiene "i" es la "parte imaginaria" del número. Y el término que no tiene "i" es la "parte real". Las raíces cuadradas (o de índice par) de números negativos dan como resultado números complejos de un solo término:

2i
3i
i

Son números complejos con su "parte real" igual a cero, ya que:

2i = 0 + 2i

Ahora te muestro cómo seguir en ese ejercicio que quieres resolver, a partir de donde te trabaste:

De la resolvente obtuviste que:

x12 = -1    y    x22 = -2

Luego, tenías que despejar las x2 en cada caso. Entonces debes hacerlo así:

x12 = -1

|x1| = V-1

x1 = 1i
x2 = -1i

x1 = i
x3 = -i          (le puse x3, porque x2 ya se llama la otra)

x22 = -2

|x2| = V-2

x2 = V2 i
x4 = -V2 i

Cuando no se quiere resolver la raíz, y además es de un número negativo, el resultado es la raíz del número positivo, acompañada de la i:

V-2 = V2 i


Quizás se entienda mejor eso si sabes de dónde viene lo de "ponerle la i":

En el conjunto de los Números Complejos se define que i2 = -1. Si despejamos, resulta que:

i = V-1

Así que si tenemos que calcular:

V-2

Podemos separarlo así:

V-2 = V(-1).2 = V(-1).V2 = i.V2 = V2 i


Luego, tu cuadernillo dice que el resultado es así:

(x2 + 1).(x2 + 2)

Entonces no era una ecuación, era una factorización. Porque de la ecuación se buscan las soluciones, y allí el resultado es el mismo polinomio, pero factorizado.
Pero está bien que hayamos encontrado las soluciones (raíces), porque con ellas lo podremos factorizar. Ya que si las raíces que encontramos fueron:

x1 = i
x3 = -i
x2 = V2 i
x4 = -V2 i

El polinomio se factoriza según sus raíces así:

(x - i).(x - (-i)).(x - V2 i).(x - (-V2 i)) =

(x - i).(x + i).(x - V2 i).(x + V2 i)

Y se puede llegar al resultado del cuadernillo multiplicando de a dos los factores:

(x2 + xi - xi - i2).(x2 + V2ix - V2ix - V2i.V2i)

(x2 - (-1)).((x2 - V4 i2)

(x2 + 1).(x2 - 2.(-1))

(x2 + 1).(x2 + 2)

Y ahí llegamos al mismo resultado que el cuadernillo.





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