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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS - INTERVALOS - REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

03-04-11 Pregunta de sofia

Hola qué tal, estoy ingresando en una carrera terciaria y me piden que represente en una recta numérica los conjuntos (1;4] / (es una U al revés en realidad)[3;6], [2;5) / (sería una U) [5;10], entre otros, no recuerdo como representarlo. Agradecería una respuesta, saludos.

Hola sofia:

(1;4] interseccion [3;6]

Ésos son dos intervalos del conjunto de los números Reales. 

(1:4] 

es el intervalo de números reales que va desde el número 1 (sin incluir), hasta el número 4 (incluido)). 

Un intervalo es un subconjunto del conjunto de todos los números Reales (un "pedacito" de todo el conjunto). Y se representa nombrando sus "extremos" (desde dónde hasta dónde va). Este intervalo tiene que extremos al 1 y al 4. Significa que son todos los números reales que hay entre el 1 y el 4, con el 4 incluido y el 1 sin incluir. Se pone corchete si el extremo va incluido en el intervalo, y un paréntesis si no va incluido. Ese intervalo se puede representar en la recta numérica así:

<------|---|---(///|///|///]------------->
-∞     -1    0    1   2    3   4                +∞

(Lo representé como pude. Vos tenés que hacer esas rayitas inclinadas cortando a la recta. Aquí la recta desaparece en esa zona porque no se pueden hacer dos caracteres uno sobre otro. Igual más abajo cuando te muestro las soluciones lo verás mejor en unas imágenes que te hice)

Y [3;6] se representa así:

<------|---|---|---|---[///|///|///]---->
-∞     -1    0    1    2    3   4   5   6   +∞


Pero (1;4] interseccion de intervalos [3;6] es una operación entre dos conjuntos (los intervalos son conjuntos de números). "n" significa intersección. Y la intersección entre dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos que tienen en común los dos conjuntos (más sobre eso). Para representar eso en la recta numérica, tienes que representar a los dos conjuntos, usando rayas en distinto sentido o distinto color para cada uno. La zona donde se cruzan los dos tipos de rayas o los dos colores, es la zona donde están los elementos que pertenecen a ambos conjuntos: es la intersección.



Allí se puede ver que las distintas rayas se cruzan entre el 3 y el 4. Incluyendo esos dos números, ya que tanto el 3 como el 4 pertenecen a ambos conjuntos. Entonces intersección es el intervalo:

[3;4]

Así que:

(1;4] interseccion de intervalos [3;6] = [3;4]


El otro ejercicio:

[2;5) U [5;10] =

La "U" significa "Unión". La unión entre dos conjuntos es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a uno o al otro de los conjuntos. Es decir: todos los elementos de los dos (más sobre Unión de conjuntos). En la recta numérica se representan los dos conjuntos, con distintas rayas y/o color:

union de conjuntos

La solución la forman todos los elementos que están en las zonas rayadas, en uno u otro color, porque pueden pertenecer a uno de los intervalos, o al otro, o a los dos al mismo tiempo. Se puede ver que la zona rayada abarca a todos los números entre el 2 y el 10, incluidos ambos. Así que la solución es el intervalo:

[2;10]

Así que:

[2;5) U [5;10] = [2;10]

(Nota: El 5 no está incluido en el primer intervalo, pero sí en el segundo, así que está incluido en la unión)

Si quieres saber más sobre operaciones entre conjuntos puedes consultar este enlace:

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS



29-09-10 Pregunta de Karen

Necesito ayuda con los ejerciciosss... :(
gracias :)


1) 

CSp = {xeR: x≤5}
Csq = {xeR:0≤x≤15}

Hola Karen. Primero te están definiendo "por propiedad o comprensión" los dos conjuntos con los que se trabajará. 

CSp = {xeR: x≤5} significa "el conjunto formado por todos los números Reales menores e iguales a 5". Por ejemplo: 4, 1/2, -1, 0, 5, -52, -3,42, PI, etc, etc. (son infinitos elementos). Es decir, todos números que sean menores que 5, y el 5. . Son todos los puntos que, en la recta numérica están a la izquierda del 5, incluyendo al 5. (Si quieres saber cuáles son los números Reales, consulta aquí: Números Reales). Se representa así en la recta numérica:


<----------|----|----|----|----|----|----|----]----|----|-------------------->
-∞          -1   0   1   2   3   4   5                        +∞

Y el Conjunto Solución que te piden es ese intervalo del conjunto de los números Reales (un "intervalo" es un subconjunto, algo así como una parte de un conjunto mayor que son todos los Reales). El Conjunto Solución CSp es el intervalo que "empieza" en el "menos infinito" (-∞) y termina en el 5 (con el 5 incluído). Ese intervalo se representa así:

(-∞ ; 5 ]

Es decir, se colocan entre paréntesis o corchetes los dos extremos del intervalo, separados por punto y coma (o coma sola también puede ser). El corchete se usa cuando el extremo está incluido en el conjunto. En este caso el 5 está incluido en el conjunto, porque eran los números menores o iguales a 5. Y el paréntesis se usa cuando el extremo no está incluido en el conjunto. Por ejemplo, si fueran solamente los números menores que 5 (x < 5, en vez de x ≤ 5). Y el infinito no es un número, entonces no puede "estar incluido en el conjunto", por eso en el extremo donde está el infinito siempre se pone paréntesis. Puedes ver que si primero lo representas en la recta numérica, luego es más fácil ponerlo como intervalo, porque los extremos se ponen en el mismo orden que aparecen  en la recta (primero el de la izquierda, luego el de la derecha). Y si en la recta usaste corchete en el extremo, también lo tienes que poner así en el intervalo. Casi como que de la recta "copias" el intervalo. El Csp entonces es el intervalo:

Csp = (-∞ ; 5 ]  

Y el para hallar el Csq hacemos lo mismo. Csq = {xeR:0≤x≤15} significa "el conjunto formado por todos los números Reales que son mayores o iguales a 0 y menores o iguales que 15. Por ejemplo: 0, 4, 15, 4,57, 9/4, etc, etc. Todos los números que están entre 0 y 15. Son todos los puntos que, en la recta numérica, están entre el 0 y el 15, incluyendo al 0 y al 15:


<----------|----|----[----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----]----|----|---------------->
-∞          -1   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10 11 12 13 14  15  16               +∞

Csq = [ 0 ; 15 ]

Con esos dos intervalos vamos a hacer las operaciones que piden en punto 1).

Conjunto de solucion y grafica de:

a. CS p/\q
b. CS pVq:
c. CS (p/\q)':
d. CS (pVq)':



a) p /\ q significa: "p y q", o "p intersección q". Y es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a p y también a q. Es decir, por todos los elementos que tienen en común p y q. La gráfica que te piden es representar a los dos conjuntos en la recta numérica, para que se vea la zona donde ambos conjuntos "se juntan". Esa zona tiene los puntos comunes a ambos conjuntos (intersección), y es el CS p /\ q, que luego hay que escribir como intervalo:

Gráfica:

Ahora los intervalos los voy a marcar con rayas, en distinto sentido cada uno, para que se vea donde se cruzan las rayas de los dos intervalos (se suele hacer así), ya que con los colores se me complica representarlo acá:
Primero rayo en Csp:

<-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-]----|----|-------------------->
-∞                                               5   6   7                 +∞

Luego, en la misma gráfica "rayo" el Csq:

<-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/[-/-\-/-\-/-\-/-\-/-\-/-\-]-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\]--------------->
-∞                  0                          5   6   7                                   15         +∞

¿Se entiende más o menos? La zona donde te quedaron los dos tipos de rayas, es la intersección de Csp y Csp. Seguro que eso ya lo viste y no creo que te resulte difícil rayar cada intervalo. Entonces, vez como los elementos que pertenecen a los dos conjuntos son todos los números entre 0 y 5, incluidos ambos extremos, pues hay corchetes. Entonces la solución de p intersección q es:

Cs p /\ q = [ 0 ; 5 ]


b) p V q significa "p o q", o "p unión q". Y es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a p solamente, o pertenecen a q solamente, o pertenecen a los dos conjuntos. Es decir, algo así como "la suma de todos los elementos de los dos conjuntos".

La gráfica es la misma, porque hay que representar a los dos conjuntos, pero ahora la solución la forman todos los puntos graficados. Es decir, un intervalo (o a veces pueden ser varios), que tenga todos los números de los dos conjuntos. La gráfica era:

<-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/[-/-\-/-\-/-\-/-\-/-\-/-\-]-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\]--------------->
-∞                  0                          5   6   7                                   15         +∞

Y se puede ver que todos los números de los dos conjuntos están entre el -∞ y el 15 (toda la zona rayada). Entonces, el conjunto solución de la unión entre p y q es:

Cs p V q = [ -∞ ; 15 ]


c) (p /\ q)´
significa: el complemento de (p intersección q). El complemento de un conjunto x lo forman todos los elementos del universal (el conjunto total donde estamos operando, en este caso el conjunto de los números reales) que no pertenecen a ese conjunto x. Es decir: todos los elementos que no pertenecen al conjunto en cuestión, pero si pertenecen al conjunto universal en el que estamos haciendo las operaciones. Sería el conjunto que "complementa" a nuestro conjunto, algo así como "lo opuesto" a nuestro conjunto, todo lo que no es de nuestro conjunto. Por ejemplo, si el universal fueran los números naturales del 1 al 10, y nuestro conjunto fueran los números naturales del 1 al 4, el complemento serían los números naturales del 5 al 10.
La gráfica es siempre la misma, pero ahora tenemos que mirar el o los intervalos donde no estén los dos tipos de rayas. Ya que p /\ q era la zona rayada por los dos tipos de rayas, así que su complemento va a ser "lo contrario", toda la zona de la recta que no sea p /\ q.

<-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/[-/-\-/-\-/-\-/-\-/-\-/-\-]-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\]--------------->
-∞                  0                          5   6   7                                   15        +∞

Ahora pinté de rojo todo lo que no sea p /\ q. Se nota muy bien que está formado por dos partes: una que va desde el "menos infinito al 0", y otra que va desde el 5 al "más infinito". Son dos intervalos, y entonces la solución es la unión de esos dos intervalos:

Cs (p /\ q)´ = (-∞; 0 ) U ( 5 ;+∞)

El 0 y el 5 no están incluidos en el complemento, porque estaban incluidos en p /\ q. Entonces se pone paréntesis en esos extremos de los intervalos.


d) Cs (p V q)´ significa: El complemento de p V q, es decir, el complemento de p unión q, el complemento del conjunto que hallamos en el punto b). p V q lo formaban todos los números entre el "menos infinito" y 15. Su complemento son todos los números mayores que 15. Lo marco en color rojo en la recta. Veamos la gráfica:

<-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/[-/-\-/-\-/-\-/-\-/-/-\-]-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\]--------------->
-∞                  0                          5   6   7                                   15       +∞

Es decir, si p V q era toda la zona rayada (los elementos de los dos conjuntos), su complemento va a ser toda que no esté rayada (los elementos que no pertenezcan a ninguno de los dos conjuntos: ni a p, ni q). La solución es el intervalo que empieza en 15 y sigue hasta el "más infinito":

Cs (p V q)´= ( 15 ; +∞ )


2. Negacion del STATE:

a. 3x = 8 or x>10
b. 5x ≥ 3 of 2x ≤ 8
c. Todos los divisores de 10 son primos


No entiendo que es "negación del State". No sé si es Lógica. No está dentro de los temas que yo te pueda ayudar. Lo que sí te puedo decir que significa cada proposición, a ver si te sirve:

a. 3x = 8 or x > 10 se refiere al conjunto formado por todos los números que cumplen con alguna de esas dos condiciones:

3x = 8
x = 8/3

Esos números son: 8/3, y todos los números mayores que 10 (sin incluir al 10).

b. 5x ≥ 3 of 2x ≤ 8, no sé lo que significa of. Como parece Lógica, no me quiero arriesgar porque existe lo que se llama "disyunción inclusiva" y "disyunción exclusiva", y si "of" quizás signifique alguna de esas dos, por lo cual te podría dar una respuesta incorrecta para esos dos condiciones. En cambio para el punto a) daba lo mismo.

c. Todos los divisores de 10 son primos es una propoción falsa. Ya que el 10 es divisor de 10, y el 10 no es un número primo sino compuesto (10 = 2.5)


3. 

p: 3x + 2 ≤ -7
q: 5 - 4x ≤ -11
r: 4x + 3 ≤ -1
s: -6x ≥ -6

Conjunto de solucion y grafica:

a. CSp =
b. CSp' =
c. CS r V p V s =
d. CS q' V  s' V r' =
e. CS p /\ q /\ s =
f. CS r V s /\ p' =


Esto es igual al punto 1), pero ahora los conjuntos te los define con inecuaciones que tienes que resolver:

3x + 2 ≤ -7
3x ≤ -7 - 2
3x ≤ -9
x ≤ -9:3
x ≤ -3

p es el conjunto de todos los números Reales menores o iguales que -3:

<----------|----|----|---]----|----|----|----|----|----|-------------------->
-∞               -4  -3  -2  -1   0                           +∞

a) Cs p = (-∞ ; -3 ]

Luego, para las operaciones de los puntos b), c), d), e) y f), necesitas primero encontrar el Csq, el Csr y el Css, que se hace de la misma manera que hice recién el Csp (eso ya te lo dejo a tí).

b) Csp' significa "el complemento de Csp" (el acentito significa "complemento"). Ya te expliqué antes lo que es el complemento, así que espero que lo puedas hacer.

c), d), e) y f). Son operaciones entre los 3 conjuntos. Yo ya te expliqué antes como hacer esas operaciones entre dos conjuntos. Cuando tienes 3 conjuntos (y no hay paréntesis), aplicas primero una operación y al resultado le aplicas la otra. Trata de hacerlos tú con lo que te expliqué antes, a ver si te salen, ya que no es mi intención resolver todos los ejercicios, sino explicar cómo se hace algún ejemplo para que los puedan resolver ustedes. Cualquier duda me vuelves a consultar.





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