Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS - INTERSECCIÓN, UNIÓN Y DIFERENCIA DIAGRAMA DE VENN

02-04-11 Pregunta de nathalia

ubicar en un diagrama los elementos que corresponden a cada conjunto. Ten en cuenta las interacciones. 

A= [ multiplos de 4 menores que 36] 
B= [divisores de 36] 
C= [numeros naturales menores que 10] 

Encuentra: 
a- A u B 
b- A n B 
c- A n C 
d- B - C 
e- A - C 
f- ( A u C) n B 
g- (B n C) u A 
h- A

Hola nathalia.

Primero los vamos a definir por "enumeración" (determinando todos los elementos que pertenecen a cada conjunto):

A = {múltiplos de 4 menores que 36} es

A = {0,4,8,12,16,20,24,28,32}

Porque esos son todos los múltiplos de cuatro menores que 36.

(Recordemos que los "múltiplos" de un número se pueden encontrar multiplicando al número por un número natural o cero, o también se puede decir que son los números divisibles por ese número)

B = {divisores de 36} es

B = {1,2,3,4,6,9,12,18,36}

(Recordemos que los "divisores" de un número son aquellos números por los cuales el número es "divisible", es decir, que haces la división y el resto te dá cero (división exacta))

C = {números naturales menores que 10} es

C = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

El diagrama de Venn sería así:

diagrama de venn

Y para hacerlo puedes pensar así (es una manera práctica me parece):

Empezamos a ubicar los elementos de uno de los conjuntos, puede ser el A, que tiene más elementos. Pensamos uno por uno dónde poner cada elemento:

A = {0,4,8,12,16,20,24,28,32}

B = {1,2,3,4,6,9,12,18,36}

C = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Vamos a ubicar los elementos de A:

- El "0" lo tiene A solamente, entonces el "0" va en la parte del conjunto A que no se cruza con ningún otro (porque donde se cruza con otro conjunto es porque tiene elementos en común con ese conjunto).

- El "4" lo tienen los tres conjuntos. Así que tiene que ir "en el medio", donde se cruzan los tres conjuntos.

- El "8" lo tienen A y C, pero no lo tiene B. Entonces va en la zona donde A se cruza con C, pero no se cruza con B.

- El "12" lo tienen A y B, pero C no lo tiene. Entonces el "12" va en la zona donde se cruzan A con B, pero que no está cruzada por C.

- El "16" lo tiene A solamente, entonces va en la zona de A que no se cruza con los otros conjuntos. Lo mismo con el "20", con el "28" y el "32".

Ya ubicamos todos los elementos de A, vamos a hacer lo mismo con los de B:

- El "1" lo tienen B y C, pero no lo tiene A. Entonces lo ponemos en la zona donde B se cruza con C, pero no se cruza con A. Lo mismo para el "2" y el "3".

- El "4" ya está puesto de antes, porque es un elemento que también lo tiene A, entonces ya lo ubicamos.

- El "6" lo tienen B y C, pero no lo tiene A. Entonces lo ponemos en la zona donde B se cruza con C, pero no se cruza con A. Lo mismo con el "9".

- El "12" ya lo ubicamos antes, porque también lo tenía A.

- Y el "18" y el "36" lo tienen solamente B, entonces los ponemos en la zona de B que no se cruza ni con A ni con C.

Y ya ubicamos todos los elementos de B. Faltan sólo algunos elementos de C, que son los que no pertenecen a A ni a B (porque sino ya los habríamos ubicado antes):

- El "5" y el "7" los tiene C solamente. Entonces hay que ubicarlos en la zona de C que no se cruza ni con A ni con B.


Y ahora podemos hacer las operaciones que nos piden mirando el diagrama (también se pueden hacer sin diagrama, mirando los conjuntos):

a- A U B =

Significa "A unión B". Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y los que pertenecen a B. Los que están en los 2 conjuntos se ponen una vez sola, porque es el mismo elemento, no tiene sentido poner dos veces el mismo elemento en un conjunto. La unión entre conjuntos es algo parecido a la suma: se juntan todos los elementos de uno y otro conjunto. En el diagrama son todos los elementos que están adentro de A y de B. Los que no van son los que están en la zona de C que no se cruza con A ni con B:

A U B = {0,1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,20,24,28,32,36}

Yo los puse en orden, porque lo hice mirando los conjuntos. Pero si lo haces mirando el diagrama los puedes poner así como los encuentras:

A U B = {0,20,28,16,24,32,12,4,8,18,36,1,2,3,6,9}

Es lo mismo, el orden no importa, son los mismos elementos, es el mismo conjunto.


b- A n B =

Significa "A intersección B". Es el conjunto formado solamente por los elementos que tienen en común A y B. Es decir, los elementos que pertenecen a A y también a B. Los que se repiten en ambos conjuntos. En el diagrama son los que están en la zona donde se cruzan A y B

A n B = {4,12}


c- A n C =

Otra intersección, esta vez de A con C. En el diagrama son los que están en la zona donde se cruza A con C:

A n C = {4,8}


d- B - C =

Es la "diferencia" entre el conjunto B y el conjunto C. Es un conjunto formado por todos los elementos que pertencen a B, pero no pertenecen a C. Es decir: todos los que tiene B, pero C no los tiene. Porque dos conjuntos pueden tener elementos en común, y esos son justamente los que hay que quitarle a B, para que no tenga nada en común con C. En el diagrama son los que están en la zona del conjunto B que no se cruza con el conjunto C:

B - C = {12,18,36}

Ves como a B se le quitaron los elementos que tiene en común con C, que eran 1, 2, 3, 4, 6 y 9. Podríamos decir que son los elementos que diferencian a B de C. Los elementos de B que no son también de C.


e- A - C =

Son los que están en la zona del conjunto A que no se cruza con el conjunto C:

A - C = {0,20,28,16,24,32,12}


f- (A u C) n B =

Ahí tenemos operaciones combinadas. El paréntesis nos dice cuál hacer primero, y luego al resultado le aplicamos la otra. Si no hubiera paréntesis habría que hacerlas de izquierda a derecha:

A U C = {0,20,28,16,24,32,8,4,1,2,3,6,9,5,7}

Son los que todos los que están dentro del conjunto A y del conjunto C. Luego, hay que buscar los elementos en común entre ese conjunto y el conjunto B (Quizás éste lo entiendas mejor mirando los conjuntos y no el diagrama. Puedes aprender a hacerlo mirando el diagrama, pero es imposible transmitirte eso con palabras, tendría que hacer varios dibujos):

B = {1,2,3,4,6,9,12,18,36}

(A U C) n B = {1,2,3,4,6,9,12}


g- (B n C) U A =

B n C = {1,2,3,4,6,9}

(Son los elementos que están en la zona donde se cruzan B con C)

A = {0,4,8,12,16,20,24,28,32}

Y la unión de eso es:

(B n C) U A = {0,1,2,3,4,6,8,9,12,16,20,24,28,32}


h- A =

Supongo que quiere decir: A (Complemento de A). El complemento de un conjunto es el conjunto formado por todos los elementos que no pertenecen a él. Cuando se define un conjunto "Universal" (el conjunto de todos los elementos con los que vamos a trabajar en ese ejercicio), el complemento de un conjunto A lo forman todos los elementos de Universal que no pertenecen a A. Por ejemplo, si el Universal fueran todas las letras del alfabeto, y el conjunto A fueran las letras vocales, el complemento de A sería el conjunto formado por las consonantes (todas las letras que no son vocales). En este ejercicio no está definido el Universal, entonces lo tomamos como que es el conjunto de todos los números que están en los tres conjuntos. Así que el complemento de A son todos los números que están en B o en C, pero no están en A. En el diagrama son los números que están por afuera del conjunto A:

A = {18,36,1,2,3,6,9,5,7}



16-03-11 Pregunta de Eve

Hola! Perdoname las molestias jaja, pero necesito hallar la solución de un tema que no nos expliclaron en la Facultad sobre conjuntos: 

A= {1,2,3,4,5} 
B={3,4,5,6} 
C={6,7,8} 

1) (A U C) ∩ B 

2) A ∩ B ∩ C 

Gracias.

Hola Eve.

1) (A U C) interseccion B =

Como está entre paréntesis, primero hay que hacer: A U C (Y si no hubiera paréntesis también, porque habría que hacerlas en orden de izquierda a derecha). El conjunto Unión debe tener todos los elementos de ambos conjuntos (pero sin repetir por supuesto). Entonces:

A U C = {1,2,3,4,5,6,7,8}           (Unión: Todos los elementos de A y de C)

Luego, hay que buscar la intersección entre ese conjunto que dió como resultado, y el conjunto B. El conjunto intersección lo forman solamente los elementos que tienen en común ambos conjuntos. Miremos los dos conjuntos a ver qué elementos tienen en común:

{1,2,3,4,5,6,7,8}            (el resultado de A U C)

{3,4,5,6}                       (el conjunto B)

Tienen en común a: 3, 4, 5 y 6. Así que:

(A U C) interseccion B = {3,4,5,6}

En esta misma página, en la consulta de abajo, puedes ver una explicación y ejemplos de unión e intersección (16-02-11 Pregunta de nay).


2) A interseccion B interseccion C =

Podríamos calcular la intersección entre A y B, y luego la intersección entre el resultado y C (o sea, hacer la operaciones en orden). Pero resulta se puede hacer directamente la intersección entre los 3 conjuntos, porque la intersección es una operación que cumple la propiedad asociativa). Así que directamente podemos buscar los elementos que tienen en común los 3 conjuntos:

A = {1,2,3,4,5}
B = {3,4,5,6}
C = {6,7,8}

Pero bueno, resulta que no hay ningún elemento que esté repetido en los 3 conjuntos (los 3 conjuntos no tienen ningún elemento en común). Así que el conjunto intersección es el conjunto vacío:

A interseccion B interseccion C = Ø



16-02-11 Pregunta de nay

Hola! necesito ayuda para entender teor{ia de conjuntos y ejercicios que me ayuden a comprender la union la diferencia , interseccion, etc.. Gracias


Hola nay. Te muestro con un ejemplo:

INTERSECCIÓN:

A = {a,b,c,d,e,f,g}

B = {m,o,d,a}


A interseccion B = {a,d}

Ya que la intersección entre dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al B, es decir: los elementos que tienen en común ambos conjuntos, que en este ejemplo son solamente la "a" y la "d".


UNIÓN:

A = {a,b,c,d,e,f,g}

B = {m,o,d,a}


A U B = {a,b,c,d,e,f,g,m,o}

Ya que la unión entre dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B (o a ambos, por supuesto). Podrías pensar que es un conjunto que tiene "la suma" de todos los elementos de los dos conjuntos.


DIFERENCIA:

A = {a,b,c,d,e,f,g}

B = {m,o,d,a}


A - B = {b,c,e,f,g}

Ya que la diferencia entre dos conjuntos A y B, el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. Es decir: los elementos que tiene A pero que B no tiene. Algo así como "al conjunto A sacarle los elementos del conjunto B". Como la "a" y la "d" están en B, en A - B no van a estar. Solamente van a estar los elementos de A que no están en B.

Y lo mismo al revés:

B - A = {m,o}

Como la "d" y la "a" están en A, se las tengo que quitar a B. Así que la diferencia la forman los elementos "m" y "o", que están en B pero no en A.

Espero que eso te ayude a entender en qué consisten esas tres operaciones. Cualquier duda que tengas me consultas.





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