TEMA: CONTINUIDAD - FUNCIONES PARTIDAS - PUNTO CRÍTICO

06-02-11 Pregunta de esther

HOLA,NO SOY MUY BUENA CON LAS MATEMATICAS ASI QUE ESPERO QUE PUEDAN AYUDARME TENGO VARIAS DUDAS PERO EMPEZARE POR ESTA:

EN LA FUNCION F(X): 200 + 3X/5 SI 0<=X<=1000

1000X / X+250 SI X>1000

¿COMO SE CALCULARIA LA CONTINUIDAD,? EN LA SOLUCION QUE YO TENGO SOLO TIENE COMO PUNTO CRITICO EL X=1000,
PERO NO LO ENTIENDO,, ES UNA FUNCION SOBRE RENTAS FAMILIARES SUPONGO QUE ES UN DATO DE INTERES

MUCHAS GRACIAS ESTHER

Hola esther.

f(x) = { 200 + 3x/5             si   0<= x <= 1000
              1000x/(x + 250)      si    x > 1000

Ésa es una función "partida", ya que para distintos intervalos del dominio tiene distinta fórmula. Supongo que ya entiendes lo de función partida (sino te lo explicaría en más detalle), pasemos ahora al tema "continuidad":

Los "puntos críticos" serían los puntos donde la función podría ser discontinua, por eso se analiza si la función es continua o no en esos puntos.

Puntos Críticos:

- Uno de los puntos críticos en una función partida es siempre el "extremo" que divide a los intervalos. En este caso es 1000, ya que la función tiene una fórmula para el intervalo [0;1000], y otra fórmula para el intervalo (1000;+∞). (Estoy suponiendo que también sabes que si 0<= x <= 1000 significa que x pertenece al intervalo [0;1000]; y que si x > 1000 significa que x pertenece al intervalo (1000;+∞), lo cual si necesita explicación es otro tema que después me puedes consultar). El 1000 es el "extremo" común a ambos intervalos, es el valor de x donde la función "cambia de fórmula", entonces allí puede haber discontinuidad. Así x = 1000 es un punto crítico.

- Si hay más puntos críticos, eso depende de las fórmulas de cada parte. Hay que ver si la fórmula de cada parte es una función continua en todos sus puntos, o puede tener puntos de discontinuidad:

La fórmula de la primera parte es 200 + 3x/5. Ésa es la fórmula de una función lineal (recta), pues es un polinomio de grado 1. Y la función lineal es continua en todo el conjunto de los números reales: todas las funciones polinómicas son continuas. Así que si la fórmula es un polinomio, esa parte será continua (Quizás así como está escrita no la identifiques con una función lineal, pero fíjate que eso es igual a y = 3/5 x + 200).

La fórmula de la segunda parte es 1000x/(x + 250). Éso es una función racional, porque tiene x en el denominador. Las funciones racionales sí que pueden tener puntos de discontinuidad. Si conoces las funciones racionales y sus gráficos, sabrás que esa función que te están dando es discontinua sólo en el valor de x que hace que el denominador dé cero (porque el denominador no puede ser cero, porque no se puede dividir por cero, y un denominador está dividiendo). Ese valor de x lo puedes calcular con esta ecuación:

x + 250 = 0
x = -250

En x = -250, la función es o podría ser discontinua. Pero eso no importa, porque el -250 no está incluido en el dominio de la función partida que te dieron, y menos aún en la parte que le correponde a esa fórmula. Porque la fórmula de la función era para el intervalo (1000;+∞), y el -250 no pertence a ese intervalo. Eso quiere decir que la función racional ésa va a ser toda continua en (1000;+∞), porque el punto en el que podría ser discontinua (-250) va a quedar "afuera" de la función.

Por lo tanto, el único punto crítico que encontramos es x = 1000.


Analizar la discontinuidad en x = 1000:

Como x = 1000 es el punto crítico, hay que analizar su continuidad allí. Creo que sabrás que para demostrar que una función es continua en un punto x_o, hay que demostrar que cumple con 3 condiciones:

1) Existe f(x_o)
2) Existe el Lim f(x)
                x -> x_o
3) Los valores de los puntos 1) y 2) son iguales. Es decir: f(x_o) = Lim f(x)
                                                                                        x -> x_o
Así que vamos a demostrar cada una:


1) Existe f(x_o). Para demostrar este punto trato de calcular f(1000), para ver si "existe", eso quiere decir: si se puede calcular f(1000), si no aparece una operación matemática que no tiene resultado, como por ejemplo la división por cero o raíz cuadrada de un número negativo. Vamos a probar:

f(1000) = 200 + 3.1000/5
f(1000) = 800

Es decir: Existe f(1000). La primera condición se cumple.

(Espero que te des cuenta por qué usé la primera fórmula y no la otra. Es porque la función partida era:

f(x) = { 200 + 3x/5             si    0<= x <= 1000
           1000x/(x + 250)      si    x > 1000

Y eso dice que: "Desde 0 hasta 1000 (porque dice x <= 1000), hay que aplicar la primera fórmula. Y a partir de los mayores de 1000, hay que aplicar la segunda fórmula")


2) Existe el lím f(x)
                     x -> 1000

Que exista el límite significa que los dos límites laterales alrededor de 1000 den el mismo valor numérico (y no dé infinito). Así que hay que calcular los dos límites:

lim f(x) =                    ("por la derecha", o para x > 1000)
x -> 1000+

y

lim f(x)
x -> 1000-                 ("por la izquierda", o para x < 1000)

Supongo que también sabes calcular esos límites. Como x = 1000 es justamente donde queda "divida" la función partida en sus dos partes, para un límite hay que usar una de las fórmulas, y para el otro límite la otra fórmula.

lim f(x) = 
x -> 1000+ 

lim 1000x/(x + 250) =               (porque es la fórmula que corresponde para x > 1000)
x -> 1000+

= 1000.1000/(1000 + 250) = 10⁶/1250 = 800


lim f(x) =
x -> 1000- 

lim 200 + 3x/5 = (porque es la fórmula que corresponde para x < 1000)
x -> 1000-

= 200 + 3.1000/5 = 800


Como los dos límites laterales son iguales, entonces existe el límite en x = 1000, y es:

lim f(x) = 800
x -> 1000


3) Los valores que encontré en los puntos 1) y 2) son iguales:

f(1000) = 800          (es lo que encontré en el punto 1)

Lim f(x) = 800          (es lo que encontré en el punto 2)
x -> 1000

Así que f(1000) = Lim f(x). La función partida f(x) es continua en x = 1000.
           x ->1000

Y como ya vimos que era continua también en todos los otros puntos de su dominio (0;+infinito), y en el único punto crítico también es continua:

f(x) es continua en todo su dominio

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