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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: FUNCIÓN CUADRÁTICA



16-04-11 Pregunta de maria             (DETERMINAR LA ECUACIÓN)

hola tengo un problema que no puedo resolver, dice determinar la ecuacion de la parabola que pasa por el punto (0,1) y como vertice es la interceccion de las graficas de las funciones f(x)=-4x y g(x)= 2x-3

Hola maria. Conociendo un punto y el vértice se puede determinar la ecuación de una parábola (gráfico de una función cuadrática), porque en la forma canónica de la función cuadrática figuran las coordenadas del vértice. La forma canónica es:

y = a.(x - xv)2 + yv

Donde xv e yv son las coordenadas del vértice. Si conocemos xv e yv, y además otro punto, podemos reemplazar en esa ecuación y obtener el coeficiente "a". Luego, ya tenemos todo lo necesario para determinar la ecuación.

Bueno, te muestro como es este ejercicio:

Calculando el vértice:

El enunciado dice que el vértice es la intersección de dos funciones:

f(x) = -4x
g(x) = 2x - 3

Y para encontrar el punto de intersección entre dos funciones tenemos que igualar sus fórmulas (estamos resolviendo un sistema de ecuaciones con el método de Igualación):

-4x = 2x - 3
3 = 2x + 4x
3 = 6x
3/6 = x
1/2 = x

Ésa es la coordenada x del punto de intersección. Ahora podemos hallar la coordenada "y" reemplazando esa x en cualquiera de las dos funciones (porque las dos pasan por ahí):

f(x) = -4x
f(1/2) = -4.(1/2)
f(1/2) = -2

Es decir que el punto de intersección entre las dos funciones, y vértice de la parábola según el enunciado, es:

(1/2 , -2)      PUNTO DE INTERSECCIÓN


Encontrando la ecuación:

Ya tenemos el vértice: (1/2 , -2). Entonces:

xv = 1/2
yv = -2

Y también me dicen que la parábola pasa por el punto (0,1). Empiezo reemplazando con el vértice en la ecuación canónica:

y = a.(x - xv)2 + yv

y = a.(x - 1/2)2 + (-2)

y = a.(x - 1/2)2 - 2

Pero esa función pasa por el punto (0,1), eso quiere decir que, cuando la x vale 0, la y vale 1. Así que reemplazo la x y la y por esos valores:

1 = a.(0 - 1/2)2 - 2

Quedó una ecuación con una sola incógnita: "a". La despejo:

1 = a.(-1/2)2 - 2

1 + 2 = a.(1/4)

3:(1/4) = a

12 = a

Entonces, conociendo el coeficiente "a" y el vértice, si reemplazo todo en la ecuación canónica, tengo la ecuación de la parábola que me pedían:

y = a.(x - xv)2 + yv

y = 12.(x - 1/2)2 - 2            ECUACIÓN CANÓNICA


Y si me lo piden en la forma polinómica (y = ax2 + bx + c), puedo desarrollar el cuadrado del binomio para llegar a ella:


y = 12.(x2 + 2.x.(-1/2) + (-1/2)2) - 2

y = 12.(x2 - x + 1/4) - 2

y = 12x2 - 12x + 3 - 2

y = 12x2 - 12x + 1                ECUACIÓN POLINÓMICA



24-02-11 Pregunta de Wilfredo        (CORTES CON EL EJE X - DISCRIMINANTE)

como me doy cuenta que una grafica de una ecuacion cuadratica no corta el eje x? si puedes me lo envias a mi hotmai

Hola Wilfredo.  Una respuesta rápida a eso sería: "cuando te queda la raíz cuadrada de un número negativo". Quizás con eso sólo ya entiendas de lo que te hablo, pero en lo que sigue te explico un poco más:

Si una función cuadrática no corta al eje x, entonces no tiene raíces o ceros (o "cortes con el eje x"). Eso significa que la función nunca toma el valor cero (es decir: no hay ningún valor de x que haga que la "y" valga cero). Para encontrar los ceros de la función se "iguala la fórmula a cero" (porque se está buscando los valores de x para los cuales la fórmula dá cero). Así que, si la función es:

f(x) = ax2 + bx + c

Se plantea la ecuación:

ax2 + bx + c = 0

Esa es una ecuación cuadrática, y se puede hallar su solución con la fórmula resolvente:

x1,2 = formula resolvente

Pero a veces, cuando reemplazas en la fórmula con "a, b y c", lo que está debajo de la raíz cuadrada queda negativo. Por ejemplo:



quedó la raíz (-16), que no tiene solución en el conjunto de los números Reales. Entonces esa ecuación no tiene solución, así que la función no tiene "ceros", no corta al eje x.

A la parte de la fórmula que está debajo de la raíz se la llama "discriminante":

b2 - 4ac

y justamente sirve para darse cuenta más rápidamente si la ecuación va a tener dos soluciones, una sola o ninguna solución. Porque eso depende de lo que quede debajo de la raíz cuadrada. Reemplazando en esa pequeña fórmula, ya sabemos si queda raíz de un número positivo, negativo o cero. Eso equivale a que la ecuación tenga dos soluciones, ninguna solución, o una sola (respectivamente). Y por lo tanto, a que la función : corte en dos puntos al eje x, no lo corte en ningún punto, o lo corte en un solo punto.

Te dejo el siguiente enlace a la página donde se desarrolla este tema:

DISCRIMINANTE



22-12-10 Pregunta de hernan     
   (HALLAR LA FÓRMULA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA)

Hola marce como andas??? 
tengo otra duda.... como hago para hallar los coeficientes en una funcion cuadratica si me dan una grafica que me dice el vertice o las raices.... por ej corta al eje x en (-1; 0) y (4; 0) y pasa por el punto (-4; -5/6)

gracias 


Hola hernan. Según entiendo, lo que vos me estás planteando son dos tipos de ejercicios en los que te piden hallar la fórmula polinómica de la función cuadrática (f (x) = ax2 + bx + c) conociendo:

1) El vértice y un punto
2) Las raíces y un punto

Te muestro un ejemplo del primero por ahora:

1) Datos: El vértice es (3,1), y pasa por el punto P = (5,9)

Cuando me dan el vértice, puedo usar la fórmula canónica, ya que en ella se pueden ver las coordenadas del vértice. La fórmula canónica en general es:

f (x) = a.(x - xv)2 + yv

Donde xv es la "x" del vértice, e yv es la "y" del vértice (las coordenadas del vértice). Y "a" es un número real, que es el mismo coeficiente principal que va a tener la fórmula polinómica (f (x) = ax2 + bx + c). Como el vértice es uno de los datos, ya conozco el valor de xv e yv. El vértice es el punto (3,1), así que:

xv = 3      (la primera coordenada del vértice)
yv = 1      (la segunda coordenada del vértice)

Entonces los puedo reemplazar en la fórmula canónica, y me queda:

f (x) = a.(x - xv)2 + yv                    Fórmula canónica en general

f (x) = a.(x - 3)2 + 1


Y para poder calcular el valor de "a", uso el otro punto que me dá como dato. Ya que, que (5,9) sea un punto de la función f, significa que si le aplico la función al número 5 el resultado será 9. Eso se suele expresar así: f (5) = 9. Es decir: si la x vale 5, el resultado de aplicar la función va a dar 9. Entonces reemplazo la x de la función por 5, y pongo que debe ser igual a 9:

f (5) = a.(5 - 3)2 + 1 = 9


Se puede ver que quedó una ecuación en los dos últimos miembros, donde la única incógnita es "a". Así que despejo "a" para hallar su valor:

a.(5 - 3)2 + 1 = 9

a.22 + 1 = 9

a.4 + 1 = 9

a.4 = 9 - 1

a.4 = 8

a = 8:4

a = 2


Así, ya tengo los valores de todos los elementos que participan en la ecuación canónica: la xv = 3, la yv = 1 , y el coeficiente a = 2. Vuelvo a la fórmula y reemplazo todo:

f (x) = a.(x - xv)2 + yv                        Fórmula canónica en general

f (x) = 2.(x - 3)2 + 1


Ahora, desde la forma canónica puedo pasar a la fórmula polinómica de la función cuadrática (f(x) = ax2 + bx + c), desarrollando el binomio al cuadrado (x - 3)2, y operando hasta llegar a que tenga la forma requerida:

Pasaje de la forma canónica a la forma polinómica:

f (x) = 2.(x - 3)2 + 1

f (x) = 2.(x2 - 6x + 9) + 1

f (x) = 2x2 - 12x + 18 + 1

f (x) = 2x2 - 12x + 19


Ésa es la forma polinómica de la función cuadrática que buscábamos. La que tiene los "coeficientes" de los que hablas: "a", "b" y "c":

a = 2
b = -12
c = 19



RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO:

1) Si te dan el vértice y un punto, es para que plantees la fórmula canónica (que tiene la xv y la yv), y reemplaces la x y la y con las coordenadas del punto (Y la xv y la yv con las coordenadas del vértice, por supuesto). Luego desarrollas el cuadrado hasta llegar a la fórmula general:

Forma canónica:

y = a.(x - xv)2 + yv

Forma polinómica:

y = ax2 + bx + c


Resumen de los pasos:

1) Vértice = (3,1) y P = (5,9). Entonces: xv = 3, e yv = 1. Y f (5) = 9.

f (x) = a.(x - xv)2 + yv

f (x) = a.(x - 3)2 + 1

f (5) = a.(5 - 3)2 + 1 = 9

a.(5 - 3)2 + 1 = 9

a.22 + 1 = 9

a.4 + 1 = 9

a.4 = 9 - 1

a.4 = 8

a = 8:4

a = 2


f (x) = a.(x - xv)2 + yv

f (x) = 2.(x - 3)2 + 1

f (x) = 2.(x - 3)2 + 1

f (x) = 2.(x2 - 6x + 9) + 1

f (x) = 2x2 - 12x + 18 + 1

f (x) = 2x2 - 12x + 19

a = 2
b = -12
c = 19


En cuanto pueda te preparo un ejemplo de la otra situación que me planteas. Hasta luego.



28-11-10 Pregunta de eli:       (ELEMENTOS PARA GRAFICAR LA PARÁBOLA)

Marce, y me podes decir los seguimientos para hallar la parabola (:
porque me confunde todo..):

Hola eli. Supongo que te refieres a los pasos a seguir para encontrar los puntos importantes que ayudan a graficar la parábola. Como hay varias formas de llamar a algunas cosas, o varias formas de presentar la respuesta, te muestro todas (vos sabrás reconocer cuál es la que te exigen a vos que uses): 

Por ejemplo, con la función cuadrática:

y = x2 + 3x + 2


1) Ordenada al origen o Intersección con el eje "y":

Es el punto donde la parábola corta al eje y. Se puede calcular con la fórmula de la función, reemplazando la x con "0", pues es el punto de la función donde la x vale "0":

y = x2 + 3x + 2
y = 02 + 3.0 + 2
y = 0 + 0 + 2
y = 2

Pero en la función cuadrática (como en la lineal), si la tenemos en su forma polinómica, la coordenada "y" del punto coincide con el término independiente de la fórmula (número que está si x). Que en este caso es "2". Así que también se puede responder directamente, sin presentar los cálculos anteriores que te mostré. La respuesta sería, depende de cómo te exijan presentarla:

y = 2       (Estás diciendo el número en donde corta al eje y)    ó

(0,2)       (Estás dando el punto completo con su coordenada x e y. Si un punto que corta al eje y, su coordenada x es "0")

En general: Dada y = ax2 + bx + c, la ordenada al origen es:

y = c     ó    (0,c)


2) Ceros, Raíces, Conjunto de ceros o Intersecciones con el eje "x":

Son los puntos en los cuales la "y" vale "0". Por eso, para calcularlos hay que "poner el 0 en el lugar de la y, para averiguar a qué x les corresponde". Entonces hay que plantear esta ecuación:

0 = x2 + 3x + 2       (puse cero en el lugar de la y)

x2 + 3x + 2 = 0       (escribí la igualdad al revés, porque es más cómodo)

Y eso es una ecuación cuadrática completa, la cual se suele resolver usando la fórmula resolvente:

x2 + 3x + 2 = 0

a = 1         (El número que multiplica a la x2. Cuando no hay nada, es "1")
b = 3        (El número que multiplica a la x)
c = 2         (El número sin x, llamado "término independiente)

x1,2 =

x1,2 =

x1 =       (con la suma)

x2 =       (con la resta)

x1 = -1

x2 = -2


También te pueden pedir que respondas con los puntos completos (es decir, con sus coordenadas x e y). Como dije antes, la "y" de esos puntos es "0". Así que los puntos, completos, son:

(-1,0) y (-2,0)

Y si te lo piden como "Conjunto de ceros", lo tienes que presentar así:

Co = {-1 , -2}       (El conjunto formado por dos elementos: -1 y -2)


3) Vértice:

Hay varias formas diferentes de hallar las coordenadas del vértice, pero por tu consulta anterior sé que te dieron 2 fórmulas para que uses. Así que te lo muestro de esa manera:

xv = -b/(2a)

xv = -3/(2.1)

xv = -3/2        (Ésta es la coordenada "x" del vértice)

yv = -(b2 - 4ac)/(4a) (Esta es la fórmula que te dieron a vos)

yv = -(32 - 4.1.2)/(4.1)

yv = -(9 - 8)/4

yv = -1/4           (Ésta es la coordenada "y" del vértice)

Así que el punto completo, con sus dos coordenadas, es:

V = (-3/2 , -1/4)       (Vértice)

La fórmula del la yv es bastante complicada para recordar, y en realidad no hace falta usarla, ya que si conocemos la xv podemos hallar la yv con la fórmula de la función. Porque para cada valor de x la función me dá un valor de y, así que si le aplico la función a la xv, me va a dar el valor de la yv:

OTRA FORMA DE CALCULAR LA "Y" DEL VÉRTICE

yv = f(xv)

f(x) = x2 + 3x + 2

yv = (-3/2)2 + 3.(-3/2) + 2

yv = 9/4 - 9/2 + 2

yv = -1/4


4) Eje de simetría:

El eje es una recta vertical que "pasa por la mitad de la parábola". Esa recta pasa por la x del vértice, así que se calcula con la misma fórmula que la x del vértice:

x = -b/(2a)

Como ya lo calculé en el punto anterior, y dió -3/2, el eje es la recta:

x = -3/2

Y la fórmula es así, porque las rectas verticales tienen fórmula x = k (siendo k un número real, y es el número en donde la recta corta al eje x).


Y con esos datos ya puedes graficar la parábola.




27-11-10 Pregunta de eli     (ECUACIÓN CUADRÁTICA - FÓRMULA RESOLVENTE)

MARCEE, recurro de nuevo a tu ayuda. me pasa lo siguiente. 
me fui a lo de una profe y me confundio mas.. 

cual es la diferencia entre parabola, ecuacion cuadratica y ecuacion de segundo grado? 
porque es diferente x2 -4x - 21=0 
Y= x2 -4x -21. 
...... 
cual formula se usa para parabola? 

-b(+-)√b2-4.a.c 
_______________ 
2a 
como tambien estan estas dos. 

X= -b       Y= -b2 .4.a.c 
    ---             --------- 
     2.a               4.a 

(: espero que puedas ayudarme(: 



Hola de nuevo eli. 

x2 - 4x - 21 = 0   es una ecuación cuadrática o de segundo grado (es lo mismo).

y = x2 - 4x - 21   es una función cuadrática. Y su gráfica es una curva que se llama parábola.

La segunda es una función cuadrática. Es una función cuya fórmula es un polinomio de segundo grado. La puedes diferenciar de una ecuación porque "tiene x e y" digamos. Tiene dos variables, y una depende del valor que se le pone a la otra. A veces las funciones vienen expresadas de otra forma: f(x) = x2 - 4x - 21

- Cuando nos dan una ecuación es para que encontremos los valores de x que la verifiquen. Despejando, usando algún procedimiento, o la fórmula resolvente en un ejemplo como este éste. Es la fórmula que pusiste:

x1,2 =

- Con una función podemos hacer muchas cosas: graficarla (parábola), encontrar ciertos puntos importantes (raíces, ordenada al origen, vértice), analizarla (dominio, imagen, intervalos de crecimiento y decrecimiento, etc.).

Lo que pasa es, para encontrar las raíces de una función (o ceros, o intersecciones con el eje x), hay que plantear una ecuación. Hay que "igualar su fórmula a 0" ó más bien: "poner el 0 en el lugar de la y". Hagamos eso, a ver qué pasa:

0 = x2 - 4x - 21      (pongo 0 en el lugar donde estaba la "y"), que es igual a:

x2 - 4x - 21 = 0      (la fórmula de la función, igualada a 0)

¿Qué paso? Estábamos con una función cuadrática, pero para hallar las raíces de esa función tenemos que resolver una ecuación cuadrática. Y ¿cómo se puede resolver una ecuación cuadrática? Con la fórmula resolvente de la que hablamos.

De ahí la confusión. Esa fórmula la puedes usar cuando:

a) En el tema "ecuaciones" tienes que resolver una ecuación cuadrática completa como esa que vimos.

b) En el tema "función cuadrática", cuando tienes que encontrar los ceros o raíces de la función. Cuando vos hablás de la "parábola", es porque para hacer el gráfico de la función cuadrática necesitás esos ceros. "Parábola" es el tipo de curva que forma el gráfico de una función cuadrática. Ésa es la relación.

Nota: aunque no tiene que ver con la pregunta, aclaremos que también se usa es fórmula en:

c) En el tema "factoreo", para factorizar un polinomio de segundo grado.
d) En el tema "función cuadrática", cuando tienes que pasar de la forma polinómica a la forma factorizada.

Es decir, la fórmula ésa sirve para varias cosas.

Espero que con eso te quede clara la diferencia o relación entre todas esas cosas.


Y las otras dos fórmulas que te dieron son para hallar el Vértice y el Eje de la parábola:

Vértice: El vértice es un punto del plano, por lo tanto tiene dos coordenadas: la "x" y la "y". Esas dos fórmulas son para hallar la "x" y la "y" del vértice:

xv = -b/(2a)

yv = -b2/4a + c 

Ésta última es equivalente a la que vos quisiste poner, pero más simplificada. Pero cuidado porque hay un signo mal en la tuya, hay un signo de multiplicación donde debe haber un signo "menos". Porque la tuya debería ser así:

yv = -(b2 - 4ac)/4a


Eje: El eje de la parábola es una recta vertical que la divide en dos ramas iguales.  Esa recta pasa por el vértice, así que la fórmula para calcularla es igual a la de la x del vértice:

Eje: x = -b/(2a)


Viste que esas formulitas se parecen a la fórmula resolvente. Y es porque se deducen unas de las otras, mediante despejes. Todas provienen de la fórmula general de la función cuadrática:

y = ax2 + bx + c

Por eso se parecen.





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