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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: FUNCIÓN CUADRÁTICA

13-05-11 Pregunta de mery

hola que tal tengo una pregunta estoy viendo matematicas de 4° y estoy con funcion cuadratica.mi pregunta era :cuando en la formula del cuadrado del binomio la reaiz me da negativa como sigo?

Cursando:: cuarto año
Edad:: 17
Nacionalidad:: Argentina
¿Qué opinas de la web?: es muy buena

Hola mery. Supongo que quieres decir "cuando al aplicar la fórmula resolvente me queda la raíz de un número negativo". Por ejemplo:

          5 +- V-4
x1,2 = ----------
                2

Si el tema que estás viendo es "función cuadrática", esa fórmula la usás para encontrar los "ceros" o "raíces" o "intersecciones con el eje x" de la función. Y como la raiz de un número negativo no se puede resolver (en el conjunto de los números Reales), no vas a encontrar "ceros" de la función. Eso quiere decir que la gráfica de la función no corta al eje x en ningún punto. La parábola queda toda por encima del eje "x", o toda por debajo del eje "x". Para poder graficarla tienes que usar otros puntos o elementos "conocidos" de la función:

- La ordenada al origen
- El vértice
- El eje de simetría

Pero no podrás marcar "ceros" o "raíces". Si te piden que determines el conjunto de ceros o raíces, la respuesta es: vacío.

Co = Ø   (Conjunto vacío. También se simboliza así: { } )

Y si con esos elementos no te alcanzan para graficarla, puedes encontrar otros puntos haciendo una tabla de valores.

Y te puede ayudar saber que la parábola te va a quedar "toda por encima del eje x" o "toda por debajo del eje x", dependiendo del signo del coeficiente principal "a" (el número que está multiplicando a la x2 en la fórmula de la función):

- Si "a" > 0 (número positivo), las ramas de la parábola van hacia arriba. Si la gráfica no corta al eje "x", entonces queda toda por encima del eje "x". Porque si estuviera por debajo del eje x en algún momento, al ir las ramas hacia arriba lo cortarían tarde o temprano (puedes hacer un dibujo para darte cuenta). Por ejemplo: x2 + 1 = 0

- Si "a" < 0 (número negativo), las ramas van hacia abajo. Entonces, si la gráfica no corta al eje "x", tiene que estar toda por debajo del eje x. Por ejemplo:
 -x2 - 4 = 0

A la expresión que está debajo de la raiz cuadrada en la fórmula resolvente:

b2 - 4.a.c

se la llama "Discriminante". Y es la que, según sea mayor, igual o menor que cero, determina que la función tenga 2 raíces, 1 raiz, o ninguna. 

- Si b2 - 4.a.c > 0, la función cuadrática tiene dos raíces. Porque en la fórmula resolvente queda la raiz cuadrada de un número positivo, entonces hay dos soluciones (por el ± de la fórmula resolvente)

- Si b2 - 4.a.c = 0, la función cuadrática tiene una sola raiz. Porque en la fórmula resolvente queda la raiz cuadrada de cero, que dá cero. Y luego, sumar o restar cero dá lo mismo, así que el resultado es uno solo.

- Si b2 - 4.a.c < 0, la función cuadrática no tiene raíces. Porque en la fórmula resolvente queda la raiz cuadrada de un número negativo, que no tiene solución en el conjunto de los números Reales. Y eso es lo que pasa en la situación que describes en tu pregunta.

Para más detalle sobre esto del Discriminante y las raíces de la función, puedes consultar aquí:

DISCRIMINANTE

http://matematicaylisto.webcindario.com



02-05-11 Pregunta de luciana


hola buenas tarde..estoy queriendo resolver un ejercicio de funcion cuadratica y n me sale..el ejercicio dice halla las coordenadas del vertice de la parabola correspondiente,la imagen,y los intervalos d crecimiento y de decrecimiento..trazar el graficO 
A)F(X)=(-3x elevado a la 2 -7x-2) 

Cursando:: cbc
Edad:: 17
Nacionalidad:: argentina
¿Qué opinas de la web?: bueno

Hola luciana.

f(x) = -3x2 - 7x - 2

VÉRTICE:

El vértice es un punto del plano, tiene por lo tanto una coordenada "x" (abscisa) y una coordenada "y" (ordenada). 

V = (xv,yv)

Una de las forma de hallar la xv es con la siguiente fórmula:

xv = -b/2a

Donde "a" es el coeficiente principal de la fórmula de la función (el número que está multiplicando a la x2 en la fórmula). En este ejemplo tenemos que:

a = -3

Y "b" es el coeficiente del término de grado 1 de la fórmula de la función (el número que está multiplicando a la "x" en la fórmula). Así que aquí:

b = -7

Aplicamos la fórmula con esos valores:

xv = -b/2a

       -(-7)
xv = -------
       2.(-3)

xv = 7/-6

xv = -7/6


Y para hallar la yv, podemos reemplazar con la xv en la fórmula de la función. Porque en una función, para cada valor de x obtenemos un valor de y, aplicándole la fórmula de la función a la x. Aquí queremos saber qué valor de "y" le corresponde a -7/6 (la xv). Entonces le tenemos que aplicar la fórmula de la función a -7/6:

y = f(x) = -3x2 - 7x - 2

yv = f(xv) = f(-7/6) = -3.(-7/6)2 - 7.(-7/6) - 2

yv = 25/12

Así que el vértice es el punto:

V = (-7/6 ; 25/12)


IMAGEN:

El conjunto imagen es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente de la función (la "y" en este caso). Imagináte que le pudiéramos aplicar la función a todas las "x" posibles (todos los números Reales, en el caso de una función cuadrática): la Imagen la formarían todos los resultados que nos darían esas aplicaciones. Podrían ser todos los números Reales, o un Subconjunto (o intervalo) de los números Reales, por ejemplo: todos los números positivos, todos los números negativos, todos los números mayores que 4, todos los números menores que 20, etc. Imagináte una tabla de valores infinita con todos los pares de números x e y: si pudieras mirarla y darte cuenta cuál es el conjunto que forman todos los números de la segunda columna, sabrías cuál es el conjunto Imagen.

Pero en una función cuadrática es muy fácil determinar el conjunto Imagen sin hacer esa tabla infinita (que es imposible por otro lado): Si la gráfica de la función (una parábola) tiene sus ramas hacia arriba, la Imagen es el intervalo que va desde la "y del vértice" (yv) hasta el infinito positivo. Y si la gráfica tiene sus ramas hacia abajo, la Imagen es el intervalo que empieza en el infinito negativo y termina en la yv. Es decir que la yv es siempre un extremo del intervalo de la imagen, y el otro extremo es el infinito. 

¿Y cómo sabemos si la parábola tiene sus ramas hacia arriba o hacia abajo?: Bueno, en la fórmula polinómica (ax2 + bx + c) de la función puede verse eso. Porque si el número que multiplica a la x2 (el coeficiente principal "a") es un número positivo (mayor que cero), las ramas van hacia arriba. Y si es un número negativo, las ramas van hacia abajo:

a > 0 ----->
U       (parábola con ramas hacia arriba)

a < 0 -----> concavidad hacia abajo       (parábola con ramas hacia abajo)

Por ejemplo:

f(x) = 5x2 + x - 1 tiene las ramas hacia arriba, porque a = 5 > 0  ("a" es positivo)

f(x) = -4x2 - 2x + 7 tiene las ramas hacia abajo, porque a = -4 < 0  ("a" es negativo)

Entonces, en nuestra función:

f(x) = -3x2 - 7x - 2

tenemos que:

a = -3 < 0     ("a" es negativo)

entonces sus ramas van hacia abajo.

Ahora aclaremos la relación entre esto y el conjunto imagen:

- Si a > 0 , entonces Imagen = [yv ; +
)

("Si las ramas van hacia arriba, entonces la imagen es el intervalo que va desde la xv hacia el infinito positivo")

- Si a < 0 , entonces Imagen = (-
; yv]

Para nuestra función:

f(x) = -3x2 - 7x - 2     y    V = (-7/6 , 25/12)

a = -3    y    yv = 25/12

Como a = -3 < 0, la Imagen es (-
;yv]. Así que:

Imagen (f) = (-
; 25/12]

Nota: La Imagen también se puede deducir mirando el gráfico, pero te digo que en general a los alumnos les cuesta darse cuenta de eso. Por eso te doy una fórmula para la imagen en cada caso: cuando la parábola es "hacia arriba" o "hacia abajo".


INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO:

La función cuadrática tiene un intervalo de crecimiento y otro de decrecimiento. El gráfico (una parábola) tiene dos ramas: una de ellas es "creciente" (mirando de izquierda a derecha se puede apreciar que la curva "sube"), y la otra es decreciente (mirando de izquierda a derecha se puede apreciar que la curva "baja").

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Y la división entre las dos ramas está marcada por el "Eje de simetría", que es una recta vertical que pasa por la misma coordenada x del vértice (xv). En la imagen anterior, el eje pasa por x = 2, y ésa es también la xv. Así que los intervalos de crecimiento y decrecimiento tienen en uno de sus extremos a la xv, y en el otro al infinito. 

En la imagen A:

xv = 2

Intervalo de crecimiento: (2;+∞)

Intervalo de decrecimiento: (-∞;2)


En la imagen B:

xv = 2

Intervalo de crecimiento: (-∞;2)

Intervalo de decrecimiento: (2;+∞)

Y en general:

- Si las ramas van hacia arriba (a > 0):

Intervalo de crecimiento: (xv;+∞)


Intervalo de decrecimiento: (-∞;xv)

- Si las ramas van hacia abajo (a < 0):

Intervalo de crecimiento: (-∞;xv)

Intervalo de decrecimiento: (xv;+∞)

En la función de nuestro ejercicio:

f(x) = -3x2 - 7x - 2

a = -3 < 0          (Las ramas van hacia abajo)

xv = -7/6

Intervalo de crecimiento: (-∞;-7/6)

Intervalo de decrecimiento: (-7/6;+∞)


EL GRÁFICO:

Para graficar una parábola se pueden encontrar varios elementos importantes, y ya tenemos uno de ellos:

1) VERTICE: (-7/6 ; 25/12)

Luego, sirve también graficar la recta vertical que es Eje de simetría de la parábola. Esa recta pasa por la misma x que el vértice. Como xv = -7/6, la recta pasa por x = -7/6

2) EJE DE SIMETRÍA: x = -7/6

Luego, podemos hallar los puntos donde la parábola corta al eje "x" y al eje "y", y marcarlos. Así tenemos dos puntos más.

3) ORDENADA AL ORIGEN O INTERSECCIÓN CON EL EJE "Y":

En la fórmula polinómica de la función puede verse el número dónde la parábola corta al eje "y": es el término independiente. Como nuestra función es:

f(x) = -3x2 - 7x - 2

Y allí el término independiente es:

c = -2

La parábola corta al eje "y" en -2:

ORDENADA AL ORIGEN: y = -2   ó  el punto: (0,-2)

Podemos marcar el punto -2 sobre el eje "y", porque por allí va a pasar la parábola.

La forma analítica de encontrarla es aplicando la función en el número "0", ya que "ordenada al origen" significa: "coordenada "y" que corresponde a x = 0 (el "origen")". Para que un punto caiga sobre el eje "y", su coordenada "x" debe ser cero. Si tienes práctica en graficar puntos del plano lo sabrás. Y sino puedes probar algunos para comprobarlo.

f(0) = -3.02 - 7.0 - 2 = -3.0 - 0 - 2 = -2


4) RAÍCES O CEROS O INTERSECCIÓN CON EL EJE "X":

Los puntos que caen sobre el eje "x", son puntos que tienen su coordenada "y" igual a cero. Si tienes práctica en graficar puntos del plano lo sabrás, y sino prueba con algunos para comprobarlo (por ejemplo (5,0), (-1,0), (9,0) etc.)

Esos son puntos los que, al aplicarles la función, el resultado dá cero. Por eso también se los llama "ceros" de la función. Así que se pueden calcular planteando:

f(x) = 0

Es decir: la fórmula de la función igualada a cero. Como nuestra función es:

f(x) = -3x2 - 7x - 2

Queda planteada la ecuación:

-3x2 - 7x - 2 = 0

Es decir que hay que resolver esa ecuación. Y en este caso, como es una ecuación cuadrática completa (tiene los 3 términos: con x2, con x, y "sin x"), es cómo usar la fórmula resolvente:

x1,2 = formula resolvente

f(x) = -3x2 - 7x - 2

a = -3
b = -7
c = -2

          -(-7) +- V(-7)2 - 4.(-3).(-2)
x1,2 = -----------------------------
                        2.(-3)

          7 +- V25
x1,2 = -----------
               -6

         7 +- 5
x1,2 = ------
            -6

x1 = (7 + 5)/-6 = 12/-6 = -2

x2 = (7 - 5)/-6 = 2/-6 = -1/3

Así que se pueden marcar esos dos puntos sobre el eje x, porque por allí pasa la parábola.

Marcando todos esos puntos y el eje de simetría, podemos graficar la parábola:

grafica de una funcion cuadratica

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20-04-11 Pregunta de MARIA y Erika    (HALLAR LA FUNCIÓN)

HOLA ME PODRIAN AYUDAR POR FAVOR ESTOY CONFUNDIDA TENGO UNA FUNCION CUADraTICA SEA F(X)= X2 +bx+c necesito determinar b y c sabiendo que la absisa de vertice de grafico de f es x=-3/2 y que laq distancia entre los ceros es 7 agradesco su pronta colaboracion

Hola! me parecio muy interesante esta propuesta, me estoy volviendo loca! tengo en un ejercicio lo siguiente "sea F(x)= x2 +bx +c sabiendo Xv: -3/2 y la distancia entre los ceros es de 7, determinar b y c.
Hago el grafico, encuentro los ceros a simple vista, pero no puedo acertar con b y c! muchas gracias desde ya!!

Cursando:: cbc
Edad:: 22
Nacionalidad:: argentina
¿Qué opinas de la web?: me parecio una idea fantastica, nunca antes visto


Hola MARIA y Hola Erika. Las dos consultan sobre el mismo ejercicio.

La xv del vértice coincide con la x por donde pasa el Eje de simetría de la parábola, y está justo en el punto medio entre los dos ceros. Es decir que -3/2 es el punto medio entre los dos ceros, es decir que los ceros están (sobre el eje x)  a igual distancia del -3/2 hacia uno y otro lado. Y como la distancia entre ellos es 7, el punto medio está a 7:2 = 7/2 (ó 3,5) de distancia del -3/2. Mucho más fácil hacer un pequeño grafico para darse cuenta de dónde caen los ceros (Erika pudo hacerlo):

ceros y eje de simetria

Pero si lo quieren hacer analíticamente, es así:

Distancia desde la xv y cada cero: 7:2 = 7/2

x1 = -3/2 + 7/2 = 2

x2 = -3/2 - 7/2 = -5

Y una vez que se encuentran los ceros, hay que recordar que la forma factorizada de la función cuadrática es así:

a.(x - x1).(x - x2)

Donde "a" es el coeficiente principal (que en la forma polinónica ax2 + bx + c es el número que multiplica a la x2), y x1 y x2 son los ceros. Así que reemplazo con los ceros:

a.(x - 2).(x - (-5))

a.(x - 2).(x + 5)

Faltaría "a" para tener la fórmula completa, pero el enunciado dice que la fórmula de la función es f(x) = x2 + bx + c. Y en esa fórmula pueden observar que no está la "a" multiplicando a la x2. Eso significa que a = 1, ya que:

x2 + bx + c

Es igual a:

1.x2 + bx + c

Entonces, si a = 1, la fórmula factorizada es:

1.(x - 2).(x + 5) ó lo que es igual:

(x - 2).(x + 5)

Así llegamos a la fórmula factorizada de la función cuadrática. Pero siempre se puede pasar de una forma a la otra. Y como nos piden b y c de la forma polinómica, la tenemos que pasar a la forma polinómica. Para eso hay que aplicar la propiedad distributiva en esa multiplicación:

(x - 2).(x + 5) =

x2 + 5x - 2x - 10 =

x2 + 3x - 10

Así que la función es su forma polinómica es:

f(x) = x2 + 3x - 10

En donde:

b = 3

c = -10

Ésa es una forma de resolverlo, pero puede haber otras: por las fórmulas del vértice, propiedades de las raíces, etc. En un principio ésta es la forma en que yo preferí hacerlo.

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17-04-11 Pregunta de consuelo       (HALLAR LA FUNCIÓN)

hola me mandan hallar la funcion cuadratica f que satisface img=(-&, 7)y que f(1)= f(5)= 4 como se desarrolla gracias

Hola consuelo. La imagen de una cuadrática siempre es el intervalo que va desde el infinito negativo hasta la coordenada "y" del vértice (si la curva tiene concavidad "hacia abajo"), o el intervalo que va desde la "y" del vértice hacia el infinito positivo (si la concavidad es "hacia arriba"). En resumen:

- Si la curva es "hacia arriba" (U), la imagen "va desde la y del vértice hacia arriba" (lo puedes ver en un gráfico)

- Si la curva es "hacia abajo" ( simbolo de interseccion ), la imagen "va desde la y del vértice hacia abajo".

Así que si te dan la imagen de la función, te están diciendo dos cosas:

- Cual es la coordenada "y" del vértice
- Y hacia dónde es la concavidad

Si la imagen de f es (-∞;7), entonces la y del vértice: (yv) es igual a 7. Y la concavidad es hacia abajo (aunque este dato quizás no lo usemos):

yv = 7

Luego te dá dos puntos que verifican la función:

f(1) = 4
f(5) = 4

A mí me parece que hay varias formas de hacer este ejercicio. Y la más corta me parece ésta (aunque no sé si querrían que lo hagas así):

Resulta que la función cuadrática tiene un Eje de simetría que divide en dos partes iguales a su gráfica (parábola). En la función cuadrática, para algunos pares de puntos la imagen es igual, como en esos dos que te dieron. Eso quiere decir que esos dos puntos están a igual distancia del Eje de simetría (te voy a hacer un dibujo), y por lo tanto el Eje está en el punto medio entre las coordenadas "x" de los puntos. Y el punto medio entre dos puntos se puede calcular, así que con eso tendríamos el Eje. Y tener el eje sirve, porque con el eje y el vértice se puede escribir casi toda la ecuación canónica (sólo faltaría el coeficiente "a"). El punto medio se calcula así:

EJE:

Conociendo dos puntos simétricos:

f(1) = 4       (x1 = 1)
f(5) = 4       (x2 = 5)

x = (x1 + x2)/2 = (1 + 5)/2 = 6/2 = 3

EJE DE SIMETRÍA: x = 3

eje de simetria

Quiere decir que el eje es la recta vertical x = 3, pasa por la x = 3. Entonces, en la ecuación canónica:

f(x) = a.(x - xe)2 + yv

(xe es el eje, que coincide con xv, la x del vértice)

f(x) = a.(x - 3)2 + 7


Luego, sólo nos falta el coeficiente principal "a". Pero podemos reemplazar con alguno de los puntos que nos dieron, y así lo podemos encontrar. Por ejemplo:

f(1) = 4

a.(1 - 3)2 + 7 = 4

a.(-2)2 + 7 = 4

a.4 = 4 - 7

a.4 = -3

a = -3/4

Así que ya tenemos todo para escribir la fórmula canónica de la función cuadrática:

f(x) = (-3/4).(x - 3)2 + 7                Forma canónica

Y si lo necesitas en la forma polinómica, desarrollas el cuadrado del binomio:

(-3/4).(x2 - 6x + 9) + 7 =

(-3/4)x2 + (9/2)x - 27/4 + 7 =

(-3/4)x2 + (9/2)x + 1/4

Así que la función es:

f(x) = (-3/4)x2 + (9/2)x + 1/4

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