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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS
TEMA:
DERIVADAS - RECTA TANGENTE EN UN PUNTO
05-01-11 Pregunta de ewy5000:
al guien puede ayudarme com el siguiente problema, se trata de sacar la TANGENTE EN UNA PARABOLA:
y el problema es el siguiente:
La ecuasion de la parabola es y2- 4x=0,
y una recta de pendiente m=1 es tangente ala curva.como determino la ecuasion da la recta y las cordenadas de dos de sus puntos?
Hola ewy5000. Si estás viendo el tema Derivadas, se puede hacer derivando. No sé si hay otra forma de hacerlo, no se me ocurre por ahora. Así que te muestro ésta, que no sé si viene al caso con los temas que estás viendo:
Aunque la parábola del ejercicio no es una función, podríamos separarla en dos ramas, cada una de las cuales sí es una función. Luego, se puede usar el concepto de que
la derivada de una función, aplicada en la coordenada x de un punto, es igual a la pendiente de la recta
tangente ese punto.
Primero hay que despejar la "y" en la fórmula, para que quede como variable dependiente:
y2 - 4x = 0
y2 = 4x
y = √4x
ó y = -√4x
y = √4.√x
ó y = -√4.√x
y = 2√x
ó y = -2√x
Así queda una función para cada "rama" de la parábola, y entonces se podrá encontrar una tangente para cada una. Pero el enunciado nos habla de una tangente que tiene pendiente 1. Eso puede
suceder solamente en la rama "de arriba", porque allí la pendientes de las tangentes son positivas (rectas
"crecientes"). En la rama de abajo las tangentes tendrán pendientes negativas (rectas "decrecientes"). Dibujando la parábola y conociendo sobre la Función
Lineal, uno se puede dar cuenta de eso. Sino no te hagas problema: tómalo como te lo digo, es simplemente establecer que vamos a buscar el punto en la rama de arriba, descartando la de abajo.
Entonces lo primero que puedo hacer es buscar el punto de la rama de arriba de la parábola en donde es cortada por una recta tangente que tiene pendiente
m = 1. Porque, según te decía antes: la derivada de la función, aplicada en la
"x" de ese punto, me tiene que dar 1.
BUSCAR EL PUNTO DE TANGENCIA:
La rama de arriba tiene fórmula tiene fórmula:
y = 2√x
Como ya me dicen que la pendiente de la tangente debe ser 1, derivo la función:
f(x) = 2√x
f´(x) = 2. (1/(2√x
)) = 1/√x
(fórmula de la derivada)
Como esa derivada, aplicada en cierto punto (que es lo que estamos buscando), debe ser igual a 1 (la pendiente de la recta tangente en ese punto), igualo:
1/√x= 1
Y de allí puedo despejar la x del punto que busco (el punto donde la pendiente de la tangente es 1):
1/√x = 1
(la derivada debe ser igual a 1)
1 = 1.√x
1 = √x
12 = x
1 = x
(coordenada x del punto de tangencia)
La coordenada x del punto que buscamos es 1. Y para hallar la coordenada "y" se puede usar la fórmula de la función, obviamente:
y = 2√x
(fórmula de la función)
y = 2√1
y = 2.1
y = 2
(coordenada y del punto de tangencia)
El punto que buscábamos es: (1,2)
Por allí pasa una recta tangente que tiene pendiente igual a 1. (Puedes dibujar la parábola para verlo).
Luego, el ejercicio pide que hallemos la ecuación de esas recta. Pero conociendo la pendiente y un punto se puede hallar la ecuación de una recta, eso lo habrás visto en el tema Función
Lineal:
BUSCAR LA ECUACION DE LA RECTA TANGENTE, CONOCIENDO UN PUNTO Y LA PENDIENTE:
Ecuación de la recta de pendiente m = 1, y que pasa por (1,2):
y = mx + b
(Ecuación explícita de la recta en general)
2 = 1.1 + b
2 = 1 + b
2 - 1 = b
1 = b
(Ordenada al origen de la recta)
La ecuación de la recta es buscada:
y = 1.x + 1
y = x + 1
(Ecuación de la recta buscada)
BUSCAR LA COORDENADA DE DOS PUNTOS DE LA RECTA:
Finalmente, me pedía dos puntos de esa recta. Uno ya lo encontramos (el punto
de tangencia), y el otro lo puedo hallar reemplanzado en la fórmula de la recta con cualquier valor de x. Por ejemplo x = 3
y = x + 1
y = 3 + 1
y = 4
Otro punto de la recta es el (3,4)
LA RESPUESTA COMPLETA:
La respuesta completa es, entonces:
La recta tangente: y = x + 1
Dos puntos de dicha recta: (1,2) y (3,4)
TEMA:
DERIVADAS - CONTINUIDAD - LIMITES
03-11-10 Pregunta de Politaa
Hola marce, gracias, entendi todo el
procedimiento.Sólo te explico q yo utilizaba la formula: limite cuando x tiende
a c de f(x) - F(c) todo sobre x-c. y me daba
lim [!3-x!-0]/x-3
->3+
luego multiplicaba numerador y denominador por -1 y simplicaba, por lo q me daba
-1.
la derivada por izquierda la hice asi:
lim [-!3-x!-0]/x-3
x->3-
y tambien da -1.
ya aprendi a hacer los ejercicios con esta formula, la debo cambiar por la tuya?
rindo el viernes.
Hola politaaa. Probé con tu fórmula así como hiciste vos (dejando la x), y me
dí cuenta de que cometiste un error en los signos al sacar los límites. Pero
cuidado, que también te confundes al interpretar la fórmula de la función en
cada una de sus "partes", ya que le
estás poniendo la fórmula de la derecha en el límite de la izquierda y
viceversa.
Entonces aclaremos primero cómo es cada "parte" de la función:
f(x) = |3 - x| tiene dos partes, dependiendo de que lo que está dentro del módulo
sea mayor e igual que 0 o menor que cero.
f(x) = 3 - x si 3 - x >= 0 , o sea sí
-x >= -3, o sea sí x <= 3 (para
mí que te olvidaste de invertir la desigualdad) y
f(x) = -(3 - x) si 3 - x < 0, o sea si
-x < - 3, o sea sí x > 3
Entonces la fórmula de la función es para cada parte:
A la derecha del 3 (mayor o igual que 3): f(x) = -(3 - x) = -3 + x
A la izquierda del 3 (menor que 3): f(x) = 3 - x
Es al revés de lo que pusiste vos en el límite. Y ahora te muestro los límites,
con tu fórmula y bien hecho:
lim [f(x) - f(c)] / (x - c) =
x->c
lim [f(x) - f(3)] / (x - 3) =
x->3+
lim -(3 - x) - (-(3 - 3)) / (x - 3) =
x->3+
lim (-3 + x - 0) / (x - 3) =
x->3+
lim (x - 3) / (x - 3) = 1
x->3+
Fijate que (-3 + x) es igual a (x - 3), por eso lo dí vuelta en el numerador para
que se note. Ves que por la derecha dió 1.
Por la izquierda:
lim f(x) - f(3) / (x - 3) =
x->3-
lim (3 - x - (3 - 3)) / (x - 3) =
x->3-
lim (3 - x - 0) / (x - 3) =
x->3-
lim (3 - x) / (x - 3) =
x->3-
Aquí no son iguales numerador y denominador: son opuestos, puedes ver que los
signos de los dos términos contrarios: 3 y -3, -x y x. Entonces puedes cambiar
el polinomio de arriba poniéndole un signo - delante (o sacando factor común
-1).
lim -(-3 + x) / (x - 3) =
x->3-
Ves como quedaron iguales los binomios, aunque en distinto orden los términos,
pero tienen los mismos signos. Los voy a acomodar:
lim -(x - 3) / (x - 3) =
x->3-
Y entonces puedes simplificar los x - 3. Y queda:
lim -1/1 = -1
x->-3
Por la izquierda es límite es -1.
Espero que esto te aclare. Y que te vaya bien el viernes. Saludos.
02-11-10
Pregunta de Politaa
Gracias marce, me tuve que poner a leer
bastante..
y te hago otra pregunta: ¿Como hago para analizar la continuidad y
derivabilidad de una funcion valor absoluto: f(x)=3-x, donde no se especifica el
punto.
A mi me da que es continua porque f(3)=o y los limites por derecha e izquierda
cuando x tiende a 3 tambien dan cero.
Luego intento calcular las derivadas latarales y uso la formula: limite cuando x
tiende a c de f(x) - F(c) todo sobre x-c. y me dan las dos -1, por lo q f(x) es
derivable. Pero no se si es correcto esto. vos me podrias decir? Gracias.
Hola politaaa. La función ésa es continua en x=3. Su gráfico es como el de
f(x) = |x|, pero desplazada 3 unidades hacia la derecha. Vos ya probaste que era
continua, porque el límite cuando x tiende a 3 es igual a f(3)= 0.
Pero no es derivable en x = 3, y puedes darte cuenta de eso si la graficas, pues
en el 3 tienes un "pico", o "punta" (no sé si sabías eso).
El límite en ese punto no existe, ya que no es igual por derecha e izquierda.
Entonces no se puede derivar en x = 3. El error está en el límite que
calculaste, que crees que dá igual de los dos lados. La fórmula que vos usaste
para tratar de derivar hace que quede cero en el denominador. Y dividir por cero
no dá cero ¿eh? (¿por eso decías que dá cero?). Creo que con esa fórmula
siempre te queda 0/0, por eso se usa otra fórmula parecida, pero con el
incremento h cuando éste tiende a cero:
lim [f(x + h) - f(x)] / h
h->0
Para x = 3:
Por la derecha:
lim [f(3 + h) - f(3)] / h
h->0+
lim [-3 + (3 + h) - (-3 + 3)] / h
x->0+
lim (-3 + 3 + h + 3 - 3) / h
x->0+
lim h/h =
x->0+
lim 1 = 1
x->0+
(las h se pueden simplificar, porque h es desigual a cero, ya que es el
incremento)
Por la izquierda:
lim [f(x + h) - f(x)] / h
h->0-
lim [f(3 + h) - f(3)] / h
h->0-
lim [3 - (3 + h) - (3 - 3)] / h
x->0-
lim -h/h =
x->0-
lim -1 = -1
x->0-
Como ves, por la derecha dió 1, y por la izquierda dió -1. El límite no
existe, la función no es derivable en x=3.
Y de eso te puedes dar cuenta en el gráfico, si sabes que la derivada en un
punto es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto. El gráfico son
dos "trozos de recta". El trozo derecho tiene pendiente positiva
(m=1), porque la recta es creciente; y el trozo izquierdo tiene pendiente
negativa, porque la recta es decreciente (m=-1).
Espero que esto te ayude. Si nunca usaste la fórmula con el incremento h,
quizás te cueste un poco darte cuenta de cómo reemplacé por (3 + h).
Cualquier cosa me preguntas y te detallo mejor eso.
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