TEMA: DERIVADAS - RECTA TANGENTE EN UN PUNTO

05-01-11 Pregunta de wy123

hola a todos espero y me puedan ayudar ¡¡ 
Mi duda es la siguiente, se trata de: 

Encontrar la ecuasion de la racta tangente al a parabola y2+4y+12x-8=0. 
Dicha tangente es paralelo a las rectas 3x+9y-11=0. 

porfabor expliquenme¡¡ 
selos agradesere mil x mil


Hola wy123. Si la recta tangente es paralela a la recta 3x + 9y - 11 = 0, tiene que tener la misma pendiente. Porque dos si dos rectas son paralelas, tienen la misma pendiente. 

Para ver la pendiente de esa recta, la paso a su forma explícita (despejar la y):

3x + 9y - 11 = 0
9y - 11 = 0 - 3x
9y = -3x + 11
y = (-3x + 11)/9
y = -3/9 x + 11/9
y = -1/3 x + 11/9

La pendiente es m = -1/3 (el número que multiplica a la x en la ecuación explícita).

Y conociendo la pendiente, el ejercicio es como el que te expliqué en la consulta anterior (ver): Se puede encontrar el punto de "tangencia" usando el concepto de "Derivada en un punto = pendiente de la tangente que pasa por ese punto".

DERIVAR LA FUNCIÓN:

Otra vez te dieron una parábola que no es función. Tenemos que dividirla en dos ramas, y derivar una de las ramas. El problema es que en esta fórmula que te dieron es más complicado despejar la "y": hay que completar el trinomio, como te expliqué en tu otra consulta (como "hi": ver aquí la consulta). Ahora hay que completar el trinomio con y (porque aparece y²):

y² + 4y + 12x - 8 = 0

y² + 4y + 2² - 2² + 12x - 8 = 0

(y + 2)² - 4 + 12x - 8 = 0

(y + 2)² - 12 + 12x = 0

(y + 2)² = -12x + 12

(y + 2)² = 12.(1 - x)

Pero ahora tengo que despejar la y, para poder derivarla como una función. Así que:

y + 2 = √12.(1 - x)      ó     y + 2 = -√12.(1 - x)

Para ver qué fórmula descarto, puedo graficar la parábola. La fórmula canónica u ordinaria es:

(y + 2)² = -12.(x + 1)

Como el parámetro es negativo, esa parábola tiene el foco a la izquierda de la directriz (tienes que saber sobre la parábola para entender esta parte, pero de todos modos esto lo hago simplemente para decidir qué rama tomar, no es necesario presentar en la respuesta; aunque si tienes que hacer tú un ejercicio necesitarás saber hacerlo). La rama que tiene negativas las pendientes de las tangentes, en esta parábola en particular, es la rama de arriba (rectas decrecientes - ver consulta anterior). Así que descarto la rama de abajo. La fórmula que corresponde a la rama de arriba es:


y = √12.(1 - x) - 2

Pero √12 = √2².3 = √2².√3 = 2√3    (Extracción de factores fuera del radical)

Entonces cambio a √12:

y = 2√3.√1 - x - 2

Ésa es la fórmula de la función donde hay que buscar la recta tangente. Así que ahora sigo el procedimiento que te mostré en la otra consulta:


1) Derivo la función:

f(x) = 2√3. √1 - x - 2

f´(x) = 2√3.( -1/(2√1 - x) ) = -√3/( √1 - x)      (Espero que sepas derivar)


2) Igualo a la pendiente, para hallar la coordenada x del punto de tangencia:

-√3/(√1 - x) = -1/3

-3.√3 = (-1).(√1 - x)

-3√3 = -√1 - x

3√3= -√1 - x

(3√3)² = 1 - x

9.3 = 1 - x

27 = 1 - x

27 - 1 = -x

26 = -x

x = -26


3) Busco la coordenada "y" del punto de tangencia, reemplazando en la función con la coordenada "x" que hallé en el punto 2:

y = 2√3.√1 - x - 2

y = 2√3.√1 - (-26) - 2

y = 2√3.√27 - 2

Pero √27 = √3³ = √3².√3= 3√3

y = 2√3.3√3 - 2 = 6√9 - 2 = 6.3 - 2 = 18 - 2 = 16

Así que la coordenada "y" del punto de tangencia es y = 16. El punto de tangencia es:

(-26,16)


4) Conociendo la pendiente m = -1/3, y un punto de la recta (-26,16), puedo hallar la ecuación de la recta:


y = mx + b


16 = (-1/3).(-26) + b

16 = 26/3 + b

16 - 26/3 = b

22/3 = b

Entonces la recta tangente es:

y = -1/3 x + 22/3