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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: DERIVADA - ESTUDIO DE LA FUNCIÓN - MÁXIMOS Y MÍNIMOS - PUNTOS DE INFLEXION

19-01-11 Pregunta de madelaine7

2. Dada la función 
f(x)= x^(4)+x^(3)-3x^(2)-5x-2 
a) Determine los máximos y mínimos locales (realice proceso) 
b) Escriba los intervalos donde la función es decreciente. 
c) Halle su punto de inflexión. 
d) Realice un bosquejo indicando los cortes con los ejes, puntos máximo, 
mínimo y punto de inflexión. 

Hola de nuevo madelaine7. Vamos con éste otro ejercicio que me dejaste:

f(x)= x4 + x3 - 3x2 - 5x - 2

a) Los posibles máximos o mínimos (puntos críticos) de una función polinómica (como la del ejemplo), pueden estar en los puntos donde la derivada es igual a cero. Así que derivamos la función, y averiguamos dónde vale cero:

f´(x) = 4x3 + 3x2 - 6x - 5

f´(x) = 0

4x3 + 3x2 - 6x - 5 = 0

Para calcular los valores de x que hacen que ese polinomio dé cero, hay que resolver esa ecuación de tercer grado. En una ecuación así no se puede despejar, ni usar la fórmula resolvente de la ecuación cuadrática (ya que no es una ecuación de segundo grado); así que lo único que queda es factorizar el polinomio con los casos de factoreo. Voy a usar el caso de factoreo que se basa en el teorema de gauss:

Divisores de 5 (el término independiente): +1, - 1, + 5, -5

4.13 + 3.12 - 6.1 - 5 = 4 + 3 - 6 - 5 = -4                   El 1 no es raíz
4.(-1)3 + 3.(-1)2 - 6.(-1) - 5 = -4 + 3 + 6 - 5 = 0       El -1 es raíz

Como el -1 es raíz, el polinomio es divisible por (x -(-1)), o sea por (x + 1). Uso la división por Ruffini:

(4x3 + 3x2 - 6x - 5):(x + 1) =


    | 4    3   -6   -5
    |
    |
    |
-1 |     -4     1    5
---------------------
      4   -1   -5   | 0

Cociente: 4x2 - x - 5

(4x3 + 3x2 - 6x - 5):(x + 1) = 4x2 -x - 5

Entonces:

(4x3 + 3x2 - 6x - 5) = (x + 1).(4x2 - x - 5)

Así que ahora la ecuación es:

(x + 1).(4x2 - x - 5) = 0

Y un producto es igual a cero cuando alguno de los factores es igual a cero, así que:

x + 1 = 0           ó

4x2 - x - 5 = 0

Esas dos ecuaciones ya se pueden resolver: En la primera despejo, y en la segunda uso la fórmula resolvente de la ecuación cuadrática.

x + 1 = 0

x = -1

4x2 - x - 5 = 0

a = 4
b = -1
c = -5

x1,2 = (-b +-√b2 - 4ac)/2a

x1,2 = (-(-1)+-√(-1)2 - 4.4.(-5))/2.4

x1,2 = (1 +-√1 + 80)/8

x1,2 = (1 +- v81)/8

x1,2 = (1 +- 9)/8

x1 = (1 + 9)/8 = 10/8 = 5/4

x2 = (1 - 9)/8 = -8/8 = -1

Entonces las soluciones de esa ecuación son:

x = -1     y    x = 5/4 

(La x = -1 está repetida, así que las 3 soluciones son en realidad sólo 2 soluciones distintas)

Ésos son los "puntos críticos" de esta función: allí pueden estar los máximos y los mínimos de la función. Pero hay que confirmar si son máximos o mínimos. Como te dije en la consulta anterior, hay varias maneras de hacerlo. Lo voy a hacer por el criterio de la segunda derivada:

f´(x) = 4x3 + 3x2 - 6x - 5           primera derivada

f´´(x) = 12x2 + 6x - 6               segunda derivada

f´´(-1) = 12.(-1)2 + 6.(-1) - 6 = 12 - 6 - 6 = 0

Eso significa que en x = -1 la función no tiene un máximo ni un mínimo (podría tener un punto de inflexión, ya que los puntos de inflexión se hallan donde la segunda derivada dá cero).

f´´(5/4) = 12.(5/4)2 + 6.(5/4) - 6 = 81/4 > 0

Entonces la función tiene un mínimo en x = 5/4, ya que la segunda derivada allí es mayor que cero (y entonces la concavidad de la curva es hacia arriba).


b) Como ya vimos que la función tiene sólo un mínimo en x = 5/4 y ningún otro máximo o mínimo, tenemos que analizar los intervalos alrededor de 5/4, para ver en cuál la derivada es menor que cero (negativa). Porque la función será decreciente donde la derivada sea menor que cero (f´(x) > 0).


< ------------------|----------------- >
- ∞                     5/4                      +∞

Así que tengo que averiguar el signo de la derivada en los siguientes intervalos:

(-∞ ; 5/4)
(5/4 ; +∞)

Para eso, pruebo aplicarle la derivada a valores de cada uno de esos intervalos, a ver si dá positivo o negativo:

f´(x) = 4x3 + 3x2 - 6x - 5

Pruebo con un valor del intervalo (-8 ; 5/4), por ejemplo 0:

f´(0) = 4.03 + 3.02 - 6.0 - 5 = -5 < 0

La derivada es menor que cero (negativa) en el intervalo (-∞ ; 5/4). Entonces la función es decreciente en (-∞ ; 5/4)


Pruebo con un valor del intervalo (5/4 ; +8), por ejemplo 2:

f´(2) = 4.23 + 3.22 - 6.2 - 5 = 32 + 12 - 12 - 5 = 27 > 0

La derivada es positiva en el intervalo (5/4 ; +8), entonces la función es creciente allí.

Respuesta al punto b): La función es decreciente en: (-∞ ; 5/4)


c) Si hay puntos de inflexión, estos se pueden encontrar en donde la segunda derivada dá cero (f´´(x) = 0). Así que planteo esa ecuación para encontrar esos valores:


f´(x) = 4x3 + 3x2 - 6x - 5

f´´(x) = 12x2 + 6x - 6

12x2 + 6x - 6 = 0

Es una ecuación cuadrática

a = 12
b = 6
c = -6

x1,2 = (-b +-√b2 - 4ac)/2a

x1,2 = (-6 +-√62 - 4.12.(-6))/2.12

x1,2 = (-6 +-√324)/24

x1,2 = (-6 +- 18)/24

x1 = (-6 + 18)/24 = 12/24 = 1/2

x2 = (-6 - 18)/24 = -24/24 = -1

Es decir que la función puede tener puntos de inflexión en x = 1/2 y x = -1. Pero para asegurarse hay que analizar los intervalos alrededor de esos ceros, a ver si la segunda derivada es positiva o negativa (concavidad hacia arriba o concavidad hacia abajo). Porque para que sea punto de inflexión, en ese punto debe cambiar la concavidad (también se puede hacer con la tercera derivada, como para los máximos y mínimos se hace con la segunda):

< -----------|---------------|---------------- >
-∞             -1                   1/2                    +∞

Tengo que probar la segunda derivada en los intervalos:

(-∞ ; -1)
(-1 ; 1/2)
(1/2 ; +∞)

Pruebo con un valor del intervalo (-∞ ; -1), por ejemplo -2:

f´´(x) = 12x2 + 6x - 6

f´´(-2) = 12.(-2)2 + 6.(-2) - 6 = 48 - 12 - 6 = 30 > 0

Entonces la concavidad en ese intervalo es hacia arriba.


Pruebo con un valor del intervalo (-1 ; 1/2), por ejemplo 0:

f´´(0) = 12.02 + 6.0 - 6 = -6 < 0

Entonces la concavidad en ese intervalo es hacia abajo.

Eso quiere decir que, en el punto x = -1 (que está entre medio de esos dos intervalos), la concavidad cambia (a la izquierda es hacia arriba, y a la derecha es hacia abajo). Entonces, la función tiene un punto de inflexión en x = -1.

A ver ahora que pasa con 1/2. Me falta ver cómo es la concavidad en el intervalo (1/2 ; +∞). Así que pruebo un valor en ese intervalo, por ejemplo 1:

f´´(1) = 12.12 + 6.1 - 6 = 12 + 6 - 6 = 12 > 0

Como la segunda derivada en ese intervalo es negativa, la concavidad hacia allí es hacia abajo. 

Eso quiere decir que en el punto x = 1/2, la concavidad cambia. Ya que en el intervalo de su izquierda (-1 ; 1/2) la concavidad es hacia abajo, y en el de su derecha (1/2 ; +∞) es hacia arriba. Entonces x = 1/2 es un punto de inflexión.

La función tiene puntos de inflexión en x = -1 y x = 1/2


d) Para hacer el gráfico tenemos que calcular algunas cosas, las cuales el mismo enunciado pide:

1) Cortes con los ejes (o intersección con el eje "x" e intersección con el eje "y"):

Intersección con el eje "y": Se puede encontrar reemplazando la "x" de la función por el número "0":

f(x)= x4 + x3 - 3x2 - 5x - 2

f(0)= 04 + 03 - 3.02 - 5.0 - 2

f(0) = -2

Quiere decir que el corte con el eje "y" es en el punto: (0,-2)

Intersecciones con el eje "x" (o "ceros" o "raíces" de la función): Son los valores de "x" para los cuales el resultado de aplicarle la función dá cero:

f(x)= x4 + x3 - 3x2 - 5x - 2 = 0

x4 + x3 - 3x2 - 5x - 2 = 0

Hay que resolver esa ecuación para encontrarlos. Uhhhh, es un polinomio de grado 4 y hay que factorizarlo como antes hicimos la derivada... pero encima es de un grado más. Bueno, por gauss:

divisores de 2: 1, -1, 2, -2

x4 + x3 - 3x2 - 5x - 2

14 + 13 - 3.12 - 5.1 - 2 = 1 + 1 - 3 - 5 - 2 = -8          (El 1 no es raíz)

(-1)4 + (-1)3 - 3.(-1)2 - 5.(-1) - 2 = 1 - 1 - 3 + 5 - 2 = 0       El -1 es raíz

Como -1 es raíz del polinomio, éste es divisible por (x - (-1)), que es igual a
(x + 1). Uso la regla de Ruffini para dividir:

(x4 + x3 - 3x2 - 5x - 2):(x + 1) =

    |  1   1   -3   -5   -2
    |
    |
-1 |     -1    0     3    2
    --------------------
       1   0   -3   -2  | 0

Cociente: x3 - 3x - 2

Así que:

(x4 + x3 - 3x2 - 5x - 2):(x + 1) = x3 - 3x - 2

Entonces:

(x4 + x3 - 3x2 - 5x - 2) = (x + 1).(x3 - 3x - 2)

Así que la ecuación que tenemos ahora es:

(x + 1).(x3 - 3x - 2) = 0


Ahora hay que factorizar x3 - 3x - 2, usando también "gauss":

divisores de 2: 1, -1, 2, -2

x3 - 3x - 2

13 - 3.1 - 2 = 1 - 3 - 2 = -4                El 1 no es raíz

(-1)3 - 3.(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0        El -1 es raíz

Como -1 es raíz de x3 - 3x - 2, éste polinomio es divisible por (x -(-1)), que es igual a (x + 1). Uso la regla de Ruffini para dividir:

(x3 - 3x - 2):(x + 1) = 

    | 1   0   -3   -2     (recordemos que hay que completar al polinomio para usar Ruffini)
     |

    |
-1 |    -1    1    2
    -----------------
      1  -1   -2  | 0

Cociente: x2 - x - 2

Así que:

(x3 - 3x - 2):(x + 1) = (x2 - x - 2)

Entonces:

(x3 - 3x - 2) = (x + 1).(x2 - x - 2)

Volvamos a la ecuación para ver cómo va quedando:

Teníamos que:

(x + 1).(x3 - 3x - 2) = 0

Así que ahora, que factorizamos, tenemos:

(x + 1).(x + 1).(x2 - x - 2) = 0

Ya podemos usar lo de "un producto es igual a cero, cuando alguno de los factores es igual a cero", pues quedaron solamente factores de grado 1 y 2:

x + 1 = 0 ó

x + 1 = 0 ó

x2 - x - 2 = 0

Resuelvo cada ecuación. Pero las dos primeras son iguales, así que es una sola:

x + 1 = 0

x = -1

y

x2 - x - 2 = 0

Como es cuadrática, uso la fórmula resolvente:

a = 1
b = -1
c = -2

x1,2 = (-b +-√b2 - 4ac)/2a

x1,2 = (-(-1)+-√(-1)2 - 4.1.(-2))/2.1

x1,2 = (1 +-√9)/2

x1,2 = (1 +-3 )/2

x1 = (1 + 3)/2 = 4/2 = 2

x2 = (1 - 3)/2 = -2/2 = -1

Así que las soluciones de la ecuación:

x4 + x3 - 3x2 - 5x - 2 = 0

son: x = -1    y    x = 2     (x = -1 dió repetido, así que sólo son dos soluciones)

Entonces los cortes con el eje x (o intersección, o ceros o raíces) son los puntos:

(-1,0) y (2,0)


2) Puntos máximos y/o mínimos:

Como vimos en el punto a) del problema, la función sólo tiene un mínimo, y es en x = 5/4. Para completar ese punto del plano nos falta la coordenada "y", que podemos calcular con la fórmula de la función:

f(x) = x4 + x3 - 3x2 - 5x - 2

f(5/4) = (5/4)4 + (5/4)3 - 3.(5/4)2 - 5.(5/4) - 2 = 625/256 + 125/64 - 75/16 - 25/4 - 2 = -2187/256 (UF!) Aproximadamente (para el gráfico): -8,5

Así que el punto mínimo de la función es (5/4 , -2187/256)


3) Puntos de inflexión:

En el punto c) vimos que los puntos de inflexión eran x = -1 y x = 1/2

Pero para tener los puntos completos, hacen falta las coordenadas "y" de ambos puntos, entonces les aplico la función a x = -1 y x = 1/2:

f(x) = x4 + x3 - 3x2 - 5x - 2

f(1/2) = (1/2)4 + (1/2)3 - 3.(1/2)2 - 5.(1/2) - 2 = 1/16 + 1/8 - 3/4 - 5/2 - 2 = -81/16 Aproximadamente (para el gráfico): -5

f(-1) = (-1)4 + (-1)3 - 3.(-1)2 - 5.(-1) - 2 = 1 - 1 - 3 + 5 - 2 = 0

Así que tengo que graficar los puntos de inflexión en:

(1/2 , -81/16)   y   (-1,0)


Así que éstos son todos los puntos que tengo para graficar:

(-1,0) es cero de la función (corte con el eje x) y también punto de inflexión

(0,-2)      corte con el eje y

(1/2 , -81/16)    aproximadamente (1/2 , -5) es punto de inflexión

(5/4 , -2187/256)   aproximadamente (1,25 ; -8,5) es mínimo de la función

(2,0)    es cero de la función (corte con el eje x)


Espero que graficando esos puntos y mirando como es la concavidad en cada intervalo, te puedas dar cuenta de cómo es la curva. Porque traté de dibujarte un gráfico pero me fue imposible hacerlo en la compu.





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