Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

23-03-11 Pregunta de Ayame                 (SUMAS Y RESTAS)

2x+1sobre12x+8 menos xelevado a la 2 sobre 6xelevado a la 2+x-2 mas 2x sobre 16x-8 como se resorveria este caso?

Hola Ayame:

2x + 1             x2                    2x
-------- - -------------- + --------- =
12x + 8     6x2 + x - 2          16x - 8

Primero factoricemos los denominadores:

12x + 8 = 4.(3x + 2)                           (Factor común)

6x2 + x - 2 = 6.(x - 1/2).(x + 2/3)       (Séptimo caso)

16x - 8 = 8.(2x - 1)                             (Factor común)

Ah, ya veo por qué te trabaste. Los factores que tienen x se ven diferentes:

3x + 2
x - 1/2
x + 2/3
2x - 1

Parece que en el denominador común hubiera que ponerlos a todos. Pero lo que pasa es que, haciendo "ciertos arreglos", se puede llegar a que algunos de esos factores que parecen todos diferentes, sean iguales. Hay varias formas de hacerlo, pero te muestro una:

Resulta que:

6.(x - 1/2).(x + 2/3)   es igual a   2.3.(x - 1/2).(x + 2/3).

Porque el 6 se puede descomponer como la multiplicación de 2.3. Y si ahora asocio convenientemente los factores, mirá lo que pasa:

2.3.(x - 1/2).(x + 2/3)

2.(x - 1/2).3.(x + 2/3) =        (Puedo hacer eso por la propiedad conmutativa)

[2.(x - 1/2)].[3.(x + 2/3)] =   (Asocio y aplico "distributivas")

(2x - 1).(3x + 2) 

Fijate que al final quedaron (2x - 1) y (3x + 2), los factores que también están en los otros denominadores. Lo que hice fue transformar a 6.(x - 1/2).(x + 2/3) (que es como queda el segundo denominador si factorizamos por el séptimo caso), en (2x - 1).(3x + 2) (que tiene los mismos factores que quedaron en los otros denominadores). "Metí" al 6 adentro de los factores con x, de manera conveniente para que aparezcan los factores que yo quería. Eso yo lo hice porque me dí cuenta de que si a (x - 1/2) lo multiplicaba por 2, me quedaba (2x - 1); y que si a (x + 2/3) lo multiplicaba por 3, me quedaba (3x + 2). Y justo el 6 es 2.3, así que ahí tenía el 2 y el 3 por el que necesitaba multiplicar. Reconozco que quizás no resulte fácil darse cuenta de eso. Entonces te digo que la otra forma de hacerlo es "normalizando" a todos los factores. Si uno ve que quedaron factores de grado 1, con algún número multiplicando a la x y otros sin el número, puede normalizar todos los factores ("sacarle el número que está multiplicando a la x") y luego ver si quedaron factores repetidos. Pero para eso hay que saber normalizar. Te dejo en enlace en la página donde se explica: EJEMPLO 10 - NORMALIZAR POLINOMIOS

Bueno, veamos entonces cómo quedaron los 3 denominadores luego del truco que apliqué en el segundo:

4.(3x + 2)                  Primera fracción

(2x - 1).(3x + 2)         Segunda fracción

8.(2x - 1)                  Tercera fracción

Los reemplazo:

   2x+1                 x2                    2x
---------- - ---------------- + ----------- =
4.(3x + 2)     (2x - 1).(3x + 2)     8.(2x - 1)

Y ahora busco el m.c.m:

m.c.m: 8.(3x + 2).(2x - 1)

Porque entre los números 8 y 4, el m.c.m es 8. Y luego entre los que son polinomios, había que poner todos los factores, que aquí son: (3x + 2) y (2x - 1). Para más sobre esto tienes que leer sobre el m.c.m entre polinomios y entre números, aquí te dejo unos enlaces que te pueden servir:

M.C.M ENTRE POLINOMIOS

EJEMPLO 4

Así que el denominador común es 8.(3x + 2).(2x - 1). Pongo el denominador común y modifico los numeradores con el procedimiento para sumar fracciones (eso lo debes saber, y sino consulta la explicación en la página:
SUMA CON DISTINTO DENOMINADOR). Me queda:

2.(2x - 1).(2x + 1) - 8.x2 + (3x + 2).2x
--------------------------------------- =
8.(3x + 2).(2x - 1)

2.(4x2 - 1) - 8x2 + 6x2 + 4x
----------------------------- =
8.(3x + 2).(2x - 1)

8x2 - 2 - 8x2 + 6x2 + 4x
------------------------- =
8.(3x + 2).(2x - 1)

6x2 + 4x - 2
------------------ =
8.(3x + 2).(2x - 1)

Pero el numerador se puede factorizar:

6x2 + 4x - 2 = 6.(x - 1/3).(x + 1)

Sin embargo esos factores no se podrían hacer iguales a ninguno de abajo con el método que usamos antes. Probemos:

2.(x - 1/3) = 2x - 2/3          (no dió como ninguno de abajo)
3.(x - 1/3) = 3x - 1             (tampoco es como ninguno de abajo)
2.(x + 1) = 2x + 2               (tampoco)
3.(x + 1) = 3x + 3               (tampoco)

Entonces los dejo así, porque si no van a dar como ninguno de abajo, no los voy a poder simplificar. En cambio el 6 sí se puede simplificar con el 8. Queda:

6.(x - 1/3).(x + 1)
------------------ =
8.(3x + 2).(2x - 1)


3
6.(x - 1/3).(x + 1)
------------------ =
8.(3x + 2).(2x - 1)
4

3.(x - 1/3).(x + 1)
------------------
4.(3x + 2).(2x - 1)



21-02-11 Pregunta de Pedro Tres           (SIMPLIFICACIÓN)

Quisiera saber si me pueden ayudar a resolver esta factorizacio

p4 + 3p3 - 8p - 24
------------------- =
p3 - 2p2 - 9p + 18

Muchas Gracias
Pedro Tres

Hola Pedro Tres. En el numerador se puede aplicar el Segundo caso: Factor común en grupos, y luego el Sexto caso:

p4 + 3p3 - 8p - 24 =

p3.(p + 3) - 8.(p + 3) =

(p + 3).(p3 - 8) =

(p + 3).(p - 2).(p2 + 2p + 4) =

Si no recuerdas cómo aplicar los casos te recomiendo que consultes los enlaces a los casos, y también estos ejemplos que tienen que ver con lo que pasó en ese factoreo:

Segundo caso - Ejemplo 5 

Sexto caso - Ejemplo 2    (Justamente el ejemplo que está explicado es x3 - 8)

Y en el denominador también se puede empezar por el Segundo caso, y luego se puede aplicar el Quinto caso: Diferencia de cuadrados:

p3 - 2p2 - 9p + 18 =

p2.(p - 2) - 9.(p - 2) =

(p - 2).(p2 - 9)
              p      3

(p - 2).(p + 3).(p -3)


Luego de factorizar, reemplacemos en la fracción:


(p + 3).(p - 2).(p2 + 2p + 4)
---------------------------- =
(p - 2).(p + 3).(p - 3)


Y allí se pueden simplificar los factores iguales:

(p + 3).(p - 2).(p2 + 2p + 4)
---------------------------- =
(p - 2).(p + 3).(p - 3)

Entonces queda solamente:

p2 + 2p + 4
------------ 
     p - 3

(Simplificación de expresiones algebraicas racionales)



10-02-11 Pregunta de anahi                  (SUMAS Y RESTAS)

Hola,estoy por entrar a la universidad y tengo estas sumas algebraicas la cual,nose como sacar comun denominador y resolverlas:
*(5/1+x)-(12/1-x al cuadrado)
*(a al cuadrado+b al cuadrado/a al cuadrado-b al cuadrado)+(a-1/b-a)+(b+1/a+b)
*((x+3a)al cuadrado/6ax)-2
y si se simplifica como lo hago y si hay alguna regla para la simplificacion.Aqui les paso escritas en imagen asi se comprende mejor,cada ejercicio esta separado por un punto.Muchas gracias!!!!

Hola anahi

     5          12
------- - -------- =
1 + x        1 - x2

Para encontrar el denominador común hay que factorizar los denominadores que se puedan. En este ejemplos sólo se puede factorizar el de la segunda fracción:

1 - x2 = (1 + x).(1 - x)

Luego, reemplazo el segundo denominador por su expresión factorizada, y me queda:

     5               12
------- - -------------- =
(1 + x)    (1 + x).(1 - x)

El denominador común es el mínimo común múltiplo entre los denominadores, y una explicación más completa de cómo calcularlo en distintos ejemplos la puedes ver en la página (M.C.M ENTRE POLINOMIOS). Por ahora te podría decir que el denominador debe tener todos los factores de ambos denominadores, sin repetir. Así que el denominador debe tener los siguientes factores:

(1 + x)
(1 - x)

El denominador común es (1 + x).(1 - x)

Luego de buscar el denominador común, hay que cambiar los numeradores aplicando el método que se usa para sumar fracciones. Eso es largo de explicar y ya está todo hecho en la página, consulta estos enlaces para una descripción de todos los pasos: SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES. Lo que queda es:

5.(1 - x) - 12
-------------- =
(1 + x).(1 - x)

Luego opero en el numerador para llegar a la mínima expresión:

5 - 5x - 12
------------- =
(1 + x).(1 - x)

-7 - 5x
--------------
(1 + x).(1 - x)


Y como en el numerador no se pueden aplicar más casos, y no quedó allí ningún factor que sea igual a alguno del denominador, no se puede simplificar.
Eso es lo máximo que se puede hacer, ahí se termina.


  a2b2        a - 1       b + 1
-------- + ------- + ------- =
a2 - b2      b - a       a + b

  a2b2                   a - 1       b + 1
--------------- + ------- + ------- =
(a + b).(a - b)        b - a      a + b


Acá se complica porque en vez de (a - b), en la segunda fracción el denominador común es (b - a). Pero hay que darse cuenta de que:

(b - a) = -(-b + a) = -(a - b) = -1.(a - b) (el 1 no hace falta, pero a algunos les ayuda a entender mejor)

Lo reemplazo para verlo:

   a2b2                 a - 1         b + 1
--------------- + --------- + ------- =
(a + b).(a - b)     -1.(a - b)    a + b

Y ahora el denominador común tiene que tener:

(a + b)
(a - b)
-1

Asi que el denominador común va a ser: -1.(a + b).(a - b). Luego, modifico los numeradores con el procedimiento para sumar fracciones:

a2b2.(-1) + (a - 1).(a + b) + (b + 1).(-1).(a - b)
----------------------------------------------- =
-1.(a + b).(a - b)

-a2b2 + a2 + ab - a - b + (-b - 1).(a - b)
------------------------------------------ =
-1.(a + b).(a - b)

-a2b2 + a2 + ab - a - b - ab + b2 - a + b
----------------------------------------- =
-1.(a + b).(a - b)

-a2b2 + a2 - 2a + b2
---------------------
-1.(a + b).(a - b)


Luego, no encuentro una manera de factorizar el numerador, así que ésa es la expresión más simple a la que puedo llegar.


(x + 3a)2
--------- - 2 =
   6ax

Como el denominador del número entero 2 es 1, ya que 2 = 2/1, el denominador común es 6ax

(x + 3a)2 - 2.6ax
------------------- =
           6ax

x2 + 2.x.3a + (3a)2 - 12ax
--------------------------- =
           6ax

x2 + 6xa + 9a2 - 12ax
------------------------- =
           6ax


x2 - 6ax + 9a2
----------------- =
           6ax


Y en el numerador se puede aplicar el tercer caso:

x2 - 6ax + 9a2 = (x - 3a)2
x                 3a
   2.x.(-3a)
       -6ax

Así que queda:

(x - 3a)2
---------
6ax

Pero de todos modos no queda nada para simplificar, así que se puede dejar de cualquiera de las dos maneras.





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