RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

31-03-11 Pregunta de Andreita      (OPERACIONES COMBINADAS)

hola! necesito reducir esta expresion a lo mas minimo, he intentado con el teorema de residuo o division sintetica pero no puedo :P

    x                        2 
__________ - ______________

    x-3               x2 +5x +6
_________________________________

      5                     5
__________ + ___________ 
     x-1                 x-3


Hola Andreita. El denominador x² + 5x + 6 se puede factorizar por el Séptimo caso, o por gauss:

x² + 5x + 6 = (x + 2).(x + 3)

(Si no sabes factorizar por el Séptimo caso, lo puede aprender en este enlace: Trinomio de segundo grado)

Lo reemplazo en el ejercicio:

        x                  2 
------------ - -----------------
     x - 3          (x + 2).(x + 3)
------------------------------------- =
       5                   5
------------- + -----------
    x - 1                x - 3


Ahora hay que restar las fracciones de arriba, y sumar las de abajo. Así queda una sola fracción arriba y una sola abajo, para que después las podamos dividir. 

Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, hay que buscar denominador común. Me imagino que ya sabes eso, y sino, es todo un tema, que puedes consultar aquí: Suma de expresiones algebraicas racionales.

El denominador común entre las fracciones de arriba es:

mcm = (x - 3).(x + 2).(x + 3)

(Espero que sepas calcular en mcm entre polinomios, y sino acá lo explica: MCM)

Y entre las de abajo es:

mcm = (x - 1).(x - 3)

Me queda:

x.(x + 2).(x + 3) - 2.(x - 3)
---------------------------
  (x - 3).(x + 2).(x + 3)
----------------------------- =
  5.(x - 3) + 5.(x - 1)
----------------------
      (x - 1).(x - 3)


(x² + 2x).(x + 3) - 2x + 6 
---------------------------
   (x - 3).(x + 2).(x + 3) 
------------------------------ =
     5x - 15 + 5x - 5
   ------------------
      (x - 1).(x - 3)


x³ + 3x² + 2x² + 6x - 2x + 6 
-----------------------------
  (x - 3).(x + 2).(x + 3)
------------------------------- =
         10x - 20
    ---------------
     (x - 1).(x - 3)


  x³ + 5x² + 4x + 6
---------------------
(x - 3).(x + 2).(x + 3)
------------------------ =
     10.(x - 2)
  --------------
   (x - 1).(x - 3)


(x³ + 5x² + 4x + 6 no se puede factorizar ni por gauss ni por el 2do caso)

Así, queda una "fracción sobre otra fracción". Eso es una división de fracciones, y hay varias formas de hacerla, pero algunos lo entienden mejor si hacen los siguientes pasos:

1) Escribirlo como una división entre las dos fracciones, en vez de "fracción sobre fracción":

x³ + 5x² + 4x + 6             10.(x - 2)
---------------------- : ---------------- =
(x - 3).(x + 2).(x + 3)     (x - 1).(x - 3)


2) Transformarlo en multiplicación, dando vuelta la segunda fracción (que es una forma de multiplicar fracciones):

x³ + 5x² + 4x + 6           (x - 1).(x - 3)
--------------------- . ---------------- =
(x - 3).(x + 2).(x + 3)      10.(x - 2)


Bueno, al quedar una multiplicación de fracciones, se pueden simplificar factores que estén multiplicando en algún numerador con otros iguales que estén multiplicando en algún denominador:

x³ + 5x² + 4x + 6            (x - 1).(x - 3)
--------------------- . ---------------- =
(x - 3).(x + 2).(x + 3)        10.(x - 2)

Entonces queda:

x³ + 5x² + 4x + 6               (x - 1)
--------------------- . ---------------- =
(x + 2).(x + 3)                 10.(x - 2)


Como no hay nada más para simplificar, multiplico las fracciones:

(x³ + 5x² + 4x + 6).(x - 1)
---------------------------
10.(x + 2).(x + 3).(x - 2)

Y más que eso no puedo hacer. Ahí lo dejaría yo. No quedó muy simplificado. Pero más no se puede hacer.

13-03-11 Pregunta de Andrea             (MULTIPLICACIÓN)

hola Marce ¿Me podes ayudar con este ejercicio? 

Efectuar las operaciones indicadas y reducir a una expresión más simple indicando las restricciones para su definición. 

x^2+5x+4/2x^3+2 * x^2-x+1/x^2-16 

espero que se entienda es la multiplicacion de dos fracciones 

bueno espero tu respuesta y desde ya muchas gracias!!

Hola Andrea.

x² + 5x + 4     x² - x + 1
----------- * ----------- =
2x³ + 2            x² - 16


Es una multiplicación de expresiones algebraicas racionales. Hay que factorizar todos los polinomios que se puedan, luego simplificar (polinomios de arriba con polinomios iguales de abajo), y luego multiplicar las fracciones ("numerador con numerador, y denominador con denominador, como se hace con las fracciones numéricas).

1) FACTOREO:

x² + 5x + 4 =

Como me dices que te cuesta el factoreo, te explico en detalle también eso:

Lo primero en que hay que pensar es si se puede sacar factor común. Veo que en ese polinomio no hay factor común, así que pienso en otro Caso de factoreo. Observo que ése polinomio tiene 3 términos (trinomio), y es un polinomio de segundo grado completo (tiene un término con x², un término con x, y un número "solo"). Hay 2 casos que podría usar en un polinomio así: Trinomio cuadrado perfecto (tercer caso) o Trinomio de segundo grado (séptimo caso). Primero analizo si se puede con el tercer caso:

x² + 5x + 4 =
x               2
     2.2.x
      4x

"No dá" con el tercer caso, porque el término con x debería ser 4x en vez de 5x. Entonces pruebo con el séptimo caso:

x² + 5x + 4 =

a = 1         (el número que multiplica a la x². Como no hay número, es un "1")
b = 5         (el número que multiplica a la x)
c = 4         (el número que está "solo", el "término independiente")

x_1,2 =

          -5 +- V5² - 4.1.4
x_1,2 = ------------------
                 2.1

        -5 +- V9
x_1,2 = --------
              2

         -5 +- 3
x_1,2 = -------
              2

x₁ = (-5 + 3)/2 = -2/2 = -1

x₂ = (-5 - 3)/2 = -8/2 = -4

Y como la factorización de un trinomio de segundo grado es:

a.(x - x₁).(x - x₂)

Para este polinomio queda:

1.(x - (-1)).(x - (-4)) =

(x + 1).(x + 4)


2x³ + 2 =

En este polinomio sí hay factor común, así que lo saco:

2.(x³ + 1) =

Luego, dentro del paréntesis me quedó una suma de dos términos, y la potencia de x es un número impar (3). Para 2 términos conozco dos casos: Diferencia de Cuadrados (quinto caso) y Suma o resta de potencias de igual grado (sexto caso). Pero para el quinto caso las potencias tienen que ser números pares (2, 4, 6, 8, etc.), y aquí tenemos una potencia impar (3). Así que veo si se puede usar el sexto caso:

x³ + 1 =
x       1

Sí se puede, porque 1 es igual a 1³. Así que 1 también es una potencia tercera como x³, porque es igual a algo elevado a la 3 (1³). Como los dos términos son potencias de grado 3, es una "suma de potencias del mismo grado". Y la suma de potencias impares se puede dividir por la suma de las bases (x y 1). Así que a
(x³ + 1) lo puedo dividir por (x + 1). Este tipo de divisiones se puede hacer usando la regla de Ruffini:

(x³ + 1):(x + 1) =

Regla de Ruffini:

Tengo que completar x³ + 1 = x³ + 0x² + 0x + 1

   | 1   0   0   1
   |
   |
-1|    -1   1  -1
--------------------
     1  -1   1 | 0

El cociente de la división es: 1x² - 1x + 1, o lo que es igual: x² - x + 1. Así que:

(x3 + 1):(x + 1) = x² - x + 1

Entonces:

x³ + 1 = (x + 1).(x² - x + 1)

Pero no olvidemos que el polinomio que estaba factorizando era:

2.(x³ + 1) =

Así que queda:

2.(x + 1).(x² - x + 1)


x² - x + 1 =

Este polinomio que está en el numerador de la segunda fracción, es igual al cociente de la división de Ruffini del polinomio que factoricé recién. Entonces se va a poder simplificar con él. Yo podría intentar factorizarlo con el tercer caso, o con el quinto, pero no se va a poder por ninguno de los casos (no tiene raíces reales). Me ahorro tiempo si me doy cuenta de que no hace falta factorizarlo, porque se va a poder simplificar. Eso pasa muchas veces cuando en un ejercicio hay un polinomio que se puede factorizar con el sexto caso: es probable que también haya otro polinomio que no se pueda factorizar, pero que pueda simplificarse con el cociente que resulta de aplicar el sexto (Sobre esto ya hablé en la página: ver aquí). Así que ese polinomio queda sin simplificar.


x² - 16 =

Factor común no hay. Son dos términos: puede ser Diferencia de cuadrados (quinto caso) o Sexto caso. Como veo que hay una potencia 2 ("cuadrado"), y el 16 es un número que tiene raíz cuadrada (entonces es cuadrado de algún otro número), me doy cuenta de que se puede aplicar el quinto caso:

x² - 16 = (x + 4).(x - 4)
x        4


2) SIMPLIFICACIÓN:

Ya factoricé todo lo que pude, así que ahora voy a reemplazar los polinomios en las fracciones por lo que me dieron sus factorizaciones:


x² + 5x + 4     x² - x + 1
----------- * ----------- =
2x³ + 2            x² - 16

(x + 1).(x + 4)               x² - x + 1
---------------------*--------------- =
2.(x + 1).(x² - x + 1)    (x + 4).(x - 4)

Y los polinomios iguales se pueden simplificar (siempre uno de arriba con uno de abajo):

          1                           1
(x + 1).(x + 4)              x² - x + 1
--------------------*--------------- =
2.(x + 1).(x² - x + 1)   (x + 4).(x - 4)

1        1
---*-------=
2     (x - 4)


3) MULTIPLICACIÓN:

Y ahora multiplico las fracciones ("lo de arriba por lo de arriba, lo de abajo por lo de abajo"):

    1.1
--------- =
2.(x - 4)

      1
---------
2.(x - 4)

Lo puedes dejar así o multiplicar en el denominador:

    1
------
2x - 8


"LAS RESTRICCIONES PARA SU DEFINICIÓN":

Bueno, eso se refiere a que los denominadores de las fracciones no pueden ser igual a cero. Porque los denominadores están dividiendo a los numeradores, y dividir por cero no se puede. Tampoco se podrían simplificar los factores que sean iguales a cero, porque al simplificar también estamos "dividiendo". Así que tenemos que averiguar para qué números "x" los denominadores toman el valor cero, y las restricciones serían que x no sea ninguno de esos números:

Los denominadores eran:

2x³ + 2 ó factorizado: 2.(x + 1).(x² - x + 1)

x² - 16, ó factorizado: (x + 4).(x - 4)

Para averiguar los números "x" que hacen que el polinomio tome valor cero, hay que "igualar el polinomio a cero" y resolver la ecuación que queda. En algunos casos es mejor usar la forma factorizada y en otros el polinomio sin factorizar, para que la ecuación quede más fácil de resolver. Eso lo ves vos como te resulta mejor:

2x³ + 2 = 0

2x³ = 0 - 2

2x³ = -2

x³ = -2:2

x³ = -1

x = ³V-1

x = -1


(x + 4).(x - 4) = 0

x + 4 = 0      ó     x - 4 = 0

x = -4           ó      x = 4

Los números que hacen que alguno de los denominadores dé cero son: -1, 4 y -4. Entonces "x" no debe ser igual a ninguno de esos números. Así que las restricciones son:

x ≠ -1
x ≠ 4
x ≠ -4