TEMA: PROBLEMAS CON FUNCIONES EXPONENCIALES

22-11-10 Pregunta de hernan

hola marce... tengo unos problemas que no entiendo. te los paso:

Se sabe que la reproduccion de la levadura responde a una ley como la siguiente: C= 3*2^t donde t es el tiempo en minutos, c es el crecimiento, 3 la cantidad inicial de levaduras presentes.
a)En cuanto tiempo toma c el valor de 100? calcular aprox
b) en cuanto tiempo c cuadruplica su cantidad inicial?

2- en cierto cultivo habia 500 amebas que se duplicaban por bipartidad cada dia. si ahora hay 256000¿ cuantos dias trascurrieron desde que se inicio el cultivo?

gracias

Hola hernan. Son problemas con funciones exponenciales. 

1) En una función, si reemplazas una de las variables (las letras), puedes encontrar el valor de la otra. En esta fórmula que te dieron, las "variables" son "C" y "t". "C" representa al crecimiento de esta población de levaduras, y "t" representa el tiempo que transcurre en minutos. Con esta función se puede calcular cuánto crece la población de levaduras a medida que pasa el tiempo. 

Fórmula de la función:

C (t) = 3.2^t

a) Para saber cuándo (en cuánto tiempo "t") la "C" vale 100, hay que reemplazar la "C" por 100 y despejar la "t":

C (t) = 3.2^t

100 = 3.2^t

Eso es una ecuación exponencial, pues la incógnita ("t") está en un exponente. Puedo empezar por pasar el 3, que está multiplicando, dividiendo al otro término:

100/3 = 2^t

Y ahora, para despejar "t" se pueden utilizar varios procedimientos. El que requiere menos razonamiento es "aplicar logaritmos en los dos miembros". Puede ser logaritmo con la base de la exponencial ("2" en este caso, conveniente si diera resultado exacto), o logaritmo en base 10 (conveniente, pues es el logaritmo que te calcula la calculadora), o cualquier otro. En este caso no se justifica usar logaritmo base 2, pues ya puedo ver que no va a dar exacto (100/3 no tiene logaritmo exacto en base 2, eso es algo de lo que, con cierto conocimiento, uno puede darse cuenta). Así que aplico logaritmo en base 10:

log (100/3) = log (2^t)

(No le puse la base 10, pues al logaritmo base 10 no se le pone)

Ahora, para "sacar la "t" de adentro del logaritmo", aplico la Propiedad del logaritmo de una potencia:

log (100/3) = t.log (2)

Luego, calculo los dos logaritmos con la calculadora. Como son base 10, uso la tecla "log":

1,5 = t.0,3

(corté los decimales, así que es resultado aproximado, como te indica el enunciado del ejercicio)

Y ahora basta con despejar la "t". Como 0,3 está multiplicando, pasa al otro miembro dividiendo:

1,5 : 0,3 = t

5 = t

El tiempo que tarda "C" en alcanzar el valor 100 es: 5 minutos (pues la variable "t" representaba al tiempo en minutos, y dió 5)


b) De nuevo te pide el tiempo, pero en que "C" cuadruplica su valor inicial. Pero el valor inicial de "C" lo decía el enunciado del ejercicio: es "3" (sino también se podía calcular con la fórmula, poniéndole "0" a la "t". Pues "0" es el tiempo inicial, y entonces la función te va a dar la "C" correspondiente al tiempo inicial).

Entonces, si el valor inicial de "C" es 3, y dice que se "cuadruplica", hay que multiplicarlo por 4:

3.4 = 12

Es decir que hay que calcular el tiempo para el cual la variable "C" alcanza el valor 12. Es igual que el punto anterior, pero con 12 en lugar de con 100:

12 = 3.2^t

Así que te lo dejo a tí para que practiques los pasos de la ecuación (Si sabes calcular mentalmente logaritmos en base 2, en este caso es conveniente porque dá exacto. Pero de todos modos llegarás al mismo resultado. Aquí ni haría falta usar logaritmos en realidad, porque es una ecuación exponencial que se puede resolver mentalmente con facilidad (conociendo el tema). Pero si no lo sabes, tienes el recurso aplicar logaritmos y usar la calculadora). Lo que sí te digo el resultado para que verifiques: t = 2 minutos. (Y si no te sale avísame que te lo doy completo)


2- En cierto cultivo habia 500 amebas que se duplicaban por bipartidad cada dia. si ahora hay 256000 ¿ cuantos dias trascurrieron desde que se inicio el cultivo?

Este ejercicio es más difícil pues no te dá la fórmula de la función: la tienes que deducir en base al enunciado. Que se "dupliquen" con el paso del tiempo te está indicando que la base de la exponencial es 2 (porque a medida que pasa el tiempo, se multiplica por 2, y la base de la exponencial se multiplica tantas veces como lo dice el exponente). La población inicial es 500, eso significa que el número que tienes que poner multiplicando a exponencial es 500 (¿viste como en el otro era "3", que era cantidad inicial de levaduras presentes?). Y a las variables las podemos llamar "L" (cantidad de levaduras) y "t" tiempo, aclarando que representa al tiempo en "días". La fórmula sería entonces:

L = 500.2^t

Luego te pregunta cuántos días (la "t") transcurrieron para que haya 256000 levaduras (la "L"). Así que hay que reemplazar la "L" por 256000, y despejar la "t" para calcular su valor:

L = 500.2^t

256000 = 500.2^t

Luego, es como los anteriores. Te lo dejo para que practiques. Te digo el resultado: t = 9 días.


Explicación de porqué el valor de la población inicial (500 aquí) se pone multiplicando a la exponencial:

Una función exponencial tiene esta fórmula:

y = k.a^x

Para x = 0 (el "tiempo inicial" en estos ejemplos):

y = k.a⁰
y = k.1
y = k

Es decir que, en el momento inicial, la función toma el valor "k": el número que está multiplicando a la exponencial. Si estamos inventando una función exponencial y queremos que su valor en el tiempo inicial sea 500, k debe valer 500. En el ejercicio que vimos:

L = 500.2^t
L = 500.2⁰
L = 500.1
L = 500

Así, siempre que el problema te dice "la cantidad inicial", "la masa inicial", "la población inicial", etc. , tienes que ponerle ese valor a la "k". Es decir, poner ese número multiplicando a la exponencial, porque es el valor que corresponderá al "momento cero" del problema.

¿Y por qué la base de la exponencial es "2"?

Porque el problema dice que la cantidad de levaduras se "duplica" a medida que pasan los días. Podemos analizar esta situación así:

El día cero:  L = 500     (En el instante inicial hay 500 levaduras)

El día "1":    L = 500.2    (se duplicó, se multiplicó por "2" la cantidad inicial)

El día "2":    L = (500.2).2  (se duplicó la cantidad que había el día anterior)

El día "3":    L = (500.2.2).2  (se duplicó la cantidad que había el día anterior)

El día "4":    L = (500.2.2.2).2  (se duplicó la cantidad que había el día anterior)

Puedes observar como el día 1 la cantidad inicial se multiplica por un solo "2". El día 2 se multiplica por dos "2". El día 3 se multiplica por tres "2". Así, el "2" se multiplica por sí mismo tantas veces como los días que han pasado. Cuando hayan pasado 10 días, se multiplicará el "2" por sí mismo 10 veces. Eso no es otra cosa que el concepto de potencia: un número se multiplica por sí mismo la cantidad de veces que lo dice el exponente. Así que, que el "2" se multiplique por sí mismo 10 veces, se puede representar como 2¹⁰, que se multiplique 3 veces, se puede representar como 2³, etc. Si se multiplica por sí mismo "t" veces ("t" era la cantidad de días), se puede representar como 2^t. Así que lo anterior, podemos representarlo así:

El día cero: L = 500.2⁰

El día "1":   L = 500.2¹

El día "2":   L = 500.2²

El día "3":   L = 500.2³

Y en general:

El día "t":   L = 500.2^t


Propiedad del logaritmo de una potencia:

log_a(b^x) = x.log_ab

Es decir: "el exponente sale afuera del logaritmo, multiplicándolo".

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