Matematica y Listo  Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

13-05-11 Pregunta de jair fernando   (PRODUCTOS NOTABLES CON FRACCIONES)

necesito ejercicios de productos notable con fraccionarios y la explicación con varios ejemplos por favor. Necesito recuperar matemáticas.

Cursando:: noveno
Edad:: 13 años
Nacionalidad:: colombiano
¿Qué opinas de la web?: excelente

Hola jair fernando. Productos notables son:

- Cuadrado de un binomio
- Cubo de un binomio
- Suma por resta de los mismos términos

- Cuadrado de un binomio: Una expresión de dos términos elevada al cuadrado (potencia "2"). Por ejemplo:

(x + 5)2 =

(-3ab2 + 7)2 =

(1 - 4x5y3)2

etc.

Se resuelve con la fórmula:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Esa fórmula la puedes usar para sumas, restas, cualesquiera combinaciones de signos que tengan los términos. Basta que a cada término lo tomes con su signo para reemplazar en la fórmula. Te muestro ejemplos con números fraccionarios:

(x + 1/3)2 = x2 + 2.x.(1/3) + (1/3)2 = x2 + (2/3)x + 1/9

(x - 2/5)2 = x2 + 2.x.(-2/5) + (-2/5)2 = x2 - (4/5)x + 4/25

(-1/4 x + 3/2 y5) = (-1/4 x)2 + 2.(-1/4 x).(3/2 y5) + (3/2 y5)2 =

1/16 x2 - 3/4 xy5 + 9/4 y10

También hay una fórmula para la resta:

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Pero con la fórmula de la suma se pueden hacer también las restas, como te mostré arriba.


- Cubo de un binomio: Una expresión de dos términos elevada al cubo (potencia "3"). Por ejemplo:

(-x - 2)3 =

(x2y + 2a)3

(1/2 - 5y)3

etc.

Se resuelve con la fórmula:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Te muestro ejemplos con números fraccionarios:

(x + 1/2)3 = x3 + 3.x2.(1/2) + 3.x.(1/2)2 + (1/2)3

x3 + (3/2)x2 + 3.x.(1/4) + 1/8 = 

x3 + (3/2)x2 + (3/4)x + 1/8


(x2 - 2/3 y)3 = (x2)3 + 3.(x2)2.(-2/3 y) + 3.x2.(-2/3 y)2 + (-2/3 y)3 =

x6 + 3.x4.(-2/3 y) + 3.x2.(4/9 y2) - 8/27 y3 = x6 - 2x4 + 4/3 x2y2 - 8/27 y3


(-1/2 x3 - y4)3 = (-1/2 x3)3 + 3.(-1/2 x3)2.(-y4) + 3.(-1/2 x3).(-y4)2 + (-y4)3 =

-1/8 x9 + 3.(1/4 x6).(-y4) + 3.(-1/2 x3).y8 - y12 =

-1/8 x9 - 3/4 x6y4 - 3/2 x3y8 - y12

También hay otras fórmulas para cuando hay signos negativos, pero con la fórmula de la suma se puede hacer cualquier ejercicio, como te mostré. 

Para ver más sobre estas fórmulas puedes consultar este enlace:

CUADRADO DE UN BINOMIO

CUBO DE UN BINOMIO

- Suma por resta de términos semejantes: Multiplicación entre la suma y la resta de dos términos del mismo valor. Por ejemplo:

(x + 2).(x - 2) =

(3y + 8x2).(3y - 8x2) =

(1 + 4a3).(1 - 4a3) = 

etc.

Se resuelve con la fórmula:

(a + b).(a - b) = a2 - b2


Te muestro ejemplos con números fraccionarios:

(1/3 x + 2/5).(1/3 x - 2/5) = (1/3 x)2 - (2/5)2 = 1/9 x2 - 4/25

(x3 - 1/2).(x3 + 1/2) = (x3)2 - (1/2)2 = x6 - 1/4

(3/2 x2 + 1/4 y).(3/2 x2 - 1/4y) = (3/2 x2)2 - (1/4 y)2 = 9/4 x4 - 1/16 y2



21-04-10 Pregunta de geraldine
     (LENGUAJE SIMBÓLICO)

como se pasan las expresiones algebraicas verbales a expresion algebraica matematica

Cursando:: octavo
Edad:: 13
Nacionalidad:: bogota
¿Qué opinas de la web?: pues es primera vez se ve buena

Hola geraldine. Para "pasar las expresiones algebraicas verbales a expresion algebraica matematica", hay que llamar con letras (por ejemplo "x") a las cantidades desconocidas, las cuales se quieren averiguar. Y tratar de escribir con operaciones matemáticas lo que el enunciado dice palabras, plantear ecuaciones, etc. Por ejemplo, un problema dice:

El doble de un número más la cuarta parte del mismo suman 28/4 ¿Cuál es el número?

- Al número que queremos averiguar lo llamamos "x"
- "El doble del número" es 2.x (el número multiplicado por 2)
- "La cuarta parte del número" es (1/4).x (el número multiplicado por 1/4)
- Y dice que sumados dan 28/4: hay que sumar eso y poner que es igual 28/4

Entonces planteamos la ecuación:

2x + (1/4)x = 28/4

Y la resolvemos para hallar el número x.

Y así, con muchas variantes, son los ejercicios.

Espero que eso responda tu consulta. Y si tienes un ejercicio en particular que quieras que te explique mandamelo. 



20-04-11 Pregunta de Ruben                 (SUMA DE FRACCIONES CON LETRAS)

Hola de nuevo me podrian ayudar con este ejercicio: 15/4x^2-21/4xz-10/3xy+14/3yz+5x-7z espero su ayuda gracias
Hola de nuevo Ruben.

Éste ejercicio es como el anterior: Buscas denominador común y sumas las fracciones. Y en el numerador luego te queda un caso de factoreo, pero que quizás te resulte difícil darte cuenta porque es Factor común en grupos con 6 términos (a veces cuesta darse cuenta de cómo agrupar):


(15/4)x2 - (21/4)xz - (10/3)xy + (14/3)yz + 5x - 7z = 

3.15x2 - 3.21xz - 4.10xy + 4.14yz + 12.5x - 12.7z
---------------------------------------------------- =
                             12

45x2 - 63xz - 40xy + 56yz + 60x - 84z
-------------------------------------- =
                             12

Y en el numerador se puede sacar factor común en grupos. Voy a agrupar de a 3 términos, pero primero hago un paso para acomodarlos juntos los que voy a agrupar (más que nada para que lo puedas ver mejor)

45x2 - 40xy + 60x - 63xz + 56yz - 84z
---------------------------------------- =
                            12

5x.(9x - 8y + 12) - 7z.(9x - 8y + 12)
------------------------------------ =
                       12

(9x - 8y + 12).(5x - 7z)
-------------------------
              12



17-04-11 Pregunta de Ruben1504            (SUMA DE FRACCIONES CON LETRAS)

De antemano gracias por permitirnos este espacio a los que queremos aprender pues mi problema es con este ejercicio 4/35a^2b-12/5ab+8/15a^2b^3-16/25a^3b esta es la respuesta 4ab(70ab^2-84a^2+15a-315)/525 necesito ayuda en explicarme como sale cada termino porque he intentado dividir el resultado del MCM en el denominador por el numerador mas sin embargo en la primera me da 60 no se en que estoy mal espero su respuesta gracias.

Hola Ruben1504.

4              12            8               16 
--- a2b - --- ab + --- a2b3 - --- a3b =
35             5            15              25

Si lo que piden es sumar, hay que buscar denominador común (podía ser un ejercicio para factorizar, ya que se puede sacar factor común):

Denominador común:

35 | 5
7  | 7
1  | 1

35 = 7.5

15 | 3
5  | 5
1  | 1

15 = 3.5

25 | 5
5  | 5
1  | 1

25 = 52

5 | 5
1 | 1

m.c.m: 52.3.7 = 525 

(m.c.m: multiplicación de todos los factores que aparecen en las descomposiciones, con el mayor exponente con el que aparecen. Ver más aquí: MCM)


Entonces sumo/resto:

 4           12          8            16 
--- a2b - --- ab + --- a2b3 - --- a3b =
35           5          15            25


(4a2b).15 - (12ab).105 + (8a2b3).35 - (16a3b).21
------------------------------------------------- =
                               525


60a2b - 1260ab + 280a2b3 - 336a3b
------------------------------------ = 
                       525

Pero en el denominador se puede sacar factor común:

- entre los números: 4
- entre las letras: ab

Así que queda:

4ab.(15a - 315 + 70ab2 - 84a2)
----------------------------------
                        525

Y ésa es la solución que ellos te dan, sólo que los términos dentro del paréntesis están en otro orden.



12-03-11 Pregunta de santi      (LENGUAJE SIMBÓLICO - ECUACIONES)

ay 4 num cuya suma es 90.. el 2do num es el doble del primero. el 3ro es el doble del 2d0 y el 4to es el doble del 3ro...

Hola santi.

La suma de 4 números que desconocemos dá 90. Si no supiéramos nada más que eso, tendríamos que llamar a cada número con una letra distinta (por ejemplo: a, b, c y d), y plantear que:

a + b + c + d = 90

Pero ésa es una sola ecuación con 4 incógnitas, y con eso sólo es imposible que hallemos sus valores. Por eso el problema nos dá más datos:

"el 2do número es el doble del primero": Como al primero lo llamamos "a", el segundo sería igual a:

2.a       (el doble de "a" es multiplicar por 2 a "a")

o lo que es igual:

2a            (Así que el segundo es igual a 2a)

Entonces, ya no hace falta la letra "b" para llamar al segundo número de esa suma: lo podemos llamar "2a". Así, la ecuación ya no va a tener la letra "b". Y de la misma manera, trataremos de eliminar la c y d, de acuerdo a cosas que nos diga el problema:

"el 3ro es el doble del 2do": Como al 2do lo llamamos: 2.a, el tercero es igual a:

2.(2.a)         (el doble del 2do, el doble de "2a")

o lo que es igual:

4a              (Así que el tercero es igual a 4a)

Entonces, ya no hace falta la letra "c" para llamar al tercer número de esa suma: lo vamos a llamar 4a. Así, la ecuación ya no va a tener la letra "c".

"el 4to es el doble del 3ero": Como al 3ero habíamos llamado: 4a, al cuarto los vamos a llamar:

2.(4.a)          (el doble de "4.a")

o lo que es igual:

8a                (Así que el cuarto es igual a 8a)


Entonces, ya no hace falta la letra "d" para llamar al cuarto número de esa suma: lo vamos a llamar 8a. Así, la ecuación ya no va a tener la letra "d".

Vamos a ver entonces cómo nos queda la ecuación:

Antes era:

a + b + c + d = 90

Ahora es:

a + 2a + 4a + 8a = 90

Ves como pudimos reemplazar las otras letras que no eran "a", por expresiones que contienen a la letra "a". Así, nos quedó una ecuación con una sola incógnita: la "a". Entonces podemos despejar "a" y encontrar su valor:

a + 2a + 4a + 8a = 90

15a = 90

a = 90:15

a = 6

Ya tenemos el valor del primer número:

a = 6

El segundo número es entonces:

2a = 2.6 = 12

El tercer número es:

4a = 4.6 = 24

El cuarto número es:

8a = 8.6 = 48

Se puede apreciar también que cada uno es igual al doble de su anterior, como decía el enunciado: 12 es el doble de 6, 24 es el doble de 12, 48 es el doble de 24.

Así que los 4 números que buscábamos son:

6, 12, 24 y 48

Podemos verificar que son ellos, sumándolos y el resultado tiene que ser 90:

6 + 12 + 24 + 48 = 90





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