RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: FUNCIONES - COMPOSICIÓN - INVERSA - DOMINIO - IMAGEN - INTERSECCIONES CON LOS EJES

22-04-11 Pregunta de irma         (INVERSA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA)

por favor quisiera que me ayuden a resolver la inversa de la funcion f(x)=2x2(al cuadrado)+3x

Hola irma.

f(x) = 2x² + 3x

Para que una función tenga inversa, tiene que ser "biyectiva". No sé si te enseñaron eso, porque depende del nivel, el curso, etc., a veces no se habla nada de eso y simplemente te dan una función y lo único que quieren es que encuentres la fórmula de la inversa, sin aclarar cuál debe ser su Dominio para que la función sea "biyectiva". Así que vamos a empezar por la fórmula, y dejamos para lo último lo de las restricciones que hay que poner para que la función sea biyectiva (que a lo mejor eso ni te lo piden).

Para encontrar la fórmula de la función inversa, se suele hacer un "cambio de variables" (poner la x en la lugar de la y, y viceversa). Se puede hacer de dos formas:

- Primero despejar la x, y luego intercambiar las variables
- Primero intercambiar las variables y luego despejar la y

Y una vez me tocó una cátedra donde no se intercambiaban las variables, sino que se definía a la función inversa con la x en lugar de la y; pero me parece que eso no es frecuente encontrarlo.

Lo voy a hacer con el primer procedimiento:

f(x) = 2x² + 3x entonces:

y = 2x² + 3x

1) Despejando la x:

En esta función en particular, ésta es la parte más complicada del ejercicio. Porque hay un término con x² y otro con x, entonces despejar eso lleva su trabajo. La fórmula de esa función está dada en su forma "polinómica", y hay que pasarla a la forma "canónica", porque ahí tendremos una sola vez la "x".

Para pasar a la forma canónica se pueden seguir distintos procedimientos:

- Completar cuadrados (o completar el trinomio)
- Hallar el vértice mediante fórmulas, ya que necesitamos las coordenadas del vértice para escribir la fórmula canónica.

Como completar cuadrados es un método un poco complicado de explicar (igual ya lo hice en varias consultas, pero sobre circunferencia, elipse, etc. Ver aquí: completar cuadrados); y encima éste sería un caso particular donde falta un término, me parece mejor hacerlo con el segundo procedimiento: hallar el vértice mediante fórmulas.

Pasaje de la forma polinómica a la forma canónica:

Recordemos cómo es la forma canónica de la función cuadrática:

y = a.(x - x_v)² + y_v

Donde "a" es el coeficiente principal (el número que acompaña a la x² en la forma polinómica); x_v es la coordenada "x" del vértice (o también la x por donde pasa el eje de simetría), e y_v es la coordenada "y" del vértice.

Vértice:

x_v = -b/2a

Y como la forma polinómica era:

y = 2x² + 3x

Vemos que:

a = 2
b = 3

Así que:

x_v = -3/(2.2)

x_v = -3/4

Y la y_v se calcula reemplazando con la x_v en la fórmula de la función:

y = 2x² + 3x

y_v = 2x_v² + 3x_v

y_v = 2.(-3/4)² + 3.(-3/4)

y_v = 2.(9/16) - 9/4

y_v = 9/8 - 9/4

y_v = -9/8

Y el coeficiente principal "a" ya lo tenemos: a = 2. Así que la fórmula canónica es:

y = 2.(x - (-3/4))² + (-9/8)

y = 2.(x + 3/4)² - 9/8       (FORMA CANÓNICA)

Ahora sí se puede despejar la x:

y + 9/8 = 2.(x + 3/4)²

(y + 9/8)/2 = (x + 3/4)²

V(y + 9/8)/2 = (x + 3/4)

V(y + 9/8)/2 - 3/4 = x


2) Intercambiar variables:

Nos quedó que:

x = V(y + 9/8)/2 - 3/4

Intercambiamos x por y:

y = V(x + 9/8)/2 - 3/4

Y ésa es la fórmula de la función inversa:

f^-1(x) = V(x + 9/8)/2 - 3/4      (FÓRMULA DE LA FUNCIÓN INVERSA)

Si sólo te pedían la fórmula, ahí se termina el ejercicio. Si te piden también el Dominio e Imagen, sigue:


Restricción del Dominio:

Te había comentado que, para que una función tenga inversa, tiene que ser biyectiva. Si no sabes eso es un poco largo de explicar y no es rápido de entender, simplemente te digo que se tienen que cumplir dos cosas:

- A todos los distintos valores de "x" del Dominio, les tiene que corresponder un valor distinto de "y" del Codominio.

- La Imagen tiene que ser igual al Codominio.

Acá lo del Codominio no tiene importancia, porque en este ejercicio que ten dieron no te dan un Codominio ni un Dominio: sólo te dan la fórmula. Así que el Dominio es el "Dominio natural" (todos números Reales a los que se le puede aplicar la fórmula), y como Codominio tomamos la Imagen (así que se cumple que Imagen = Codominio). Si no conoces sobre eso te digo que no son conceptos que puedan explicarse así con ligereza, por eso no te sigo hablando de eso. Sólo te digo que, en un ejercicio así, si te pidieran que determines el Dominio y la Imagen de la función inversa (y también la original), se hace así:

Dominio de f(x) para que sea biyectiva:

En general, una función cuadrática no es Biyectiva en su Dominio Natural (el conjunto de los Reales). Porque casi siempre hay dos valores de "x" para los cuáles el valor de "y" es el mismo. Por ejemplo, en nuestra función:

f(x) = 2x² + 3x

f(1/4) = 2.(1/4)² + 3.(1/4) = 2.(1/16) + 3/4 = 7/8

f(-7/4) = 2.(-7/4)² + 3.(-7/4) = 2.(49/16) - 21/4 = 7/8

Dá igual cuando le aplicamos la función a dos números diferentes: x = 1/4 y x = -7/4. Una función con la que pasa eso no es biyectiva. Pero podemos "restringir el Dominio", es decir: buscar otro Dominio más chico (Subconjunto del Dominio Natural), en donde sí sea biyectiva. Eso es, definirla con un Dominio donde no haya dos valores diferentes de "x" para los cuales la función dé igual.

Y en una función cuadrática, eso se puede hacer fácilmente. Piensa en la gráfica de la función cuadrática: es una parábola. El Eje de Simetría la divide en dos ramas. Si tomamos una sola rama de la parábola, tenemos el gráfico de una función biyectiva. Si definimos la función poniendo como Dominio el Intervalo que abarca una sola de las ramas, logramos que para cada valor de x haya un solo valor de "y", y así la función sea biyectiva. Y ése intervalo es fácil de determinar, porque podemos hallar la x por donde pasa el Eje de Simetría. Con esta fórmula por ejemplo (la misma que sirve para hallar la xv):

x = -b/2a         (EJE DE SIMETRÍA)

Que ya lo hicimos antes, y dá:

x = -3/4

El Eje de Simetría divide al eje x (todos los Reales), en dos partes:

(-∞;-3/4)          (Rama decreciente de la parábola)

(-3/4;+∞)         (Rama creciente de la parábola)

Si tomamos uno de ellos como Dominio, la función es biyectiva. Así restringimos el Dominio. Entonces, para buscar la función inversa, debemos aclarar que:

Dominio (f): (-3/4;+∞)        (por ejemplo, yo elegí ése)

Imagen (f): (-9/8;+∞)

Aclaremos que la Imagen de una función cuadrática es "desde la y_v para arriba o desde la y_v para abajo, según las ramas apunten hacia arriba o hacia abajo". Bien dicho sería: "El intervalo (y_v;+∞), si a > 0 ó el intervalo (-∞;y_v), si a < 0". Como en nuestra función a = 2 > 0, la imagen es (-9/8;+∞)

Así que, para poder definir la función inversa, definimos a f como:

f(x): (-3/4;+8) ----> (-9/8;+8) / f(x) = 2x² + 3x

Y entonces la función inversa (de la que ya encontramos la fórmula), es:

f^-1(x) : (-9/8) ------> (-3/4;+8) / f^-1(x) = V(x + 9/8)/2 - 3/4

Ya que el Dominio de la función inversa f^-1 debe ser la Imagen de la función f, y viceversa.

08-02-11 Pregunta de Carla        (COMPOSICIÓN DE FUNCIONES)

el problema dice asi: 
sean f(x)=x2-2 y g(x)= -x-3 
1) indiquen si estan defidas h1=fog y h2=gof. 
2)si es posible calcule: h1(5), h1(2), h2(0) y h2(2). 

lo que no se es despues una ves q sacas cuanto vale, como haces para verificar!. AYUDENMEE NO LO ENTIENDOO Y RINDO MAÑANAAA


Hola Carla. No sé si sabes que para que dos funciones se puedan componer, la Imagen (o Rango) de la segunda tiene que estar incluida en el Dominio de la primera. Por ejemplo, para componer:

fog(x) = 

La Imagen de g tiene que estar incluida en el Dominio de f. Porque al resultado de aplicar de g hay que aplicarle luego la función f. Ya que hay que hacer:

f [g(x)]=

Y "el resultado de aplicar g" es un número que está en la Imagen de g, y a ese número no se le podría aplicar f si no está en el Dominio de f (porque el Dominio de una función es el conjunto de valores a los que se le puede aplicar la función).

Me imagino que eso lo sabes, porque no preguntas sobre eso, pero quería aclararlo pues no entiendo bien tu pregunta, entonces voy a hacer el ejercicio completo. Y lo que pide el punto 1) es justamente que digamos si se puede componer o no de la manera que indican h1 y h2:

1) Primero determinemos Dominio e Imagen para f y g:

f(x) = x² - 2

Ésa es una función cuadrática. El Dominio es el conjunto de todos los números Reales, como en el caso de cualquier función polinómica:

Dominio (f) = Reales

Y como a > 0 ("a" es el coeficiente principal, el número que multiplica a la x²), la concavidad de la parábola es "hacia arriba", entonces el vértice es su punto mínimo. Así que la imagen son todos los números Reales que "están por encima" de la coordenada "y" del vértice. Si graficas esa función (de fácil gráfica, más fácil que calcular el vértice con fórmula), verás que el vértice es el punto (0,-2), punto que está en el -2 sobre el eje y. Así que la Imagen la forman todos los números mayores que -2:

Imagen (f) = [-2;∞)


g(x) = -x - 3

Ésa es una función lineal. Como en toda función lineal, el Dominio y la Imagen son todos los números Reales. Así que:

Dominio (g) = Reales
Imagen (g) = Reales


Entonces ahora veamos si se puede componer:

h1 = fog

Por lo que dijimos al principio, para que sea posible esa composición, se tiene que cumplir que la Imagen de g esté incluida en el Dominio de f.

Imagen (g) = Reales
Dominio (f) = Reales

Se cumple la condición (todo conjunto está incluido en sí mismo). Entonces la respuesta es que h1 = fog "está definida" (como lo llama el enunciado).

h2 = gof

Y para que esta composición sea posible, se tiene que cumplir que la imagen de f esté incluida en el Dominio de g:

Imagen (f) = [-2;∞)
Dominio (g) = Reales

Se cumple la condición, porque el intervalo de Reales [-2;∞) está incluido en el conjunto de todos los Reales (como cualquier intervalo, pues un "intervalo" es un subconjunto del conjunto de los Reales). Así que h2 = gof "está definida".


2) Para calcular los valores que pide, primero compongamos las funciones en general:

fog (x) = f[g(x)] = f(-x - 3) = (-x - 3)² - 2 = x² + 6x + 9 - 2 = x² + 6x + 7

gof (x) = g[f(x)] = g(x² - 2) = -(x² - 2) - 3 = -x² + 2 - 3 = -x² - 1

Así que ésas son las funciones que vamos a aplicar a los valores que no dan:

h1(x) = x² + 6x + 7

h2(x) = -x² - 1

Reemplacemos:

h1(5) = 5² + 6.5 + 7 = 25 + 30 + 7 = 62

h1(2) = 2² + 6.2 + 7 = 4 + 12 + 7 = 23

h2(0) = -0² - 1 = -1

h2(2) = -2² - 1 = -4 - 1 = -5

Bueno, espero que en eso esté incluido lo que preguntabas. Y que la respuesta llegue a tiempo, y te que vaya bien mañana!!!!

18-02-11 Pregunta de tomas             (FUNCIÓN INVERSA)

hola, gracias por la otra respuesta, tengo otro inconveniente: tengo que sacar asintotas de una funcion iversa, el ejercicio es el siguiente:
f(x)= 2x+4 sacar f-1(x), y despues sacar las asintotas de f-1(x)

Hola de nuevo, tomas. La inversa de esa función (lineal) se puede sacar despejando la x y haciendo "intercambio de variables". En vez de f(x) hay que poner la "y":

y = 2x + 4

y - 4 = 2x

(y - 4)/2 = x

Ahora "intercambiamos variables" (la x en lugar de la "y", y viceversa), y queda:

(x - 4)/2 = y

y = (x - 4)/2

Pero quizás es preferible separar términos, para la fórmula quede en su forma "explícita" (y = ax + b), donde se ven la pendiente y la ordenada al origen. Así que distribuyo el 2 (el 2 está diviendo, y se puede distribuir con la resta):

y = x/2 - 4/2

y = 1/2 x - 2

Así que la fórmula de la inversa es:

f-1(x) = 1/2 x - 2

En cuanto a las asíntotas... la inversa también es una función lineal, y las funciones lineales no tienen asíntotas. Para mí que copiaste mal la fórmula de f(x)... Bueno, cualquier cosa me vuelves a preguntar.

04-01-11 Pregunta de madelaine7:         (DOMINIO, IMAGEN E INTERSECCIONES)

1) En cada una de las siguientes funciones, determine dominio, rango e interceptos 
a) y=|(x-1)^(2)-3|+2 
b) y=|log[2]|x-3|-4|+2 
c) y=|3^|x+4|-5|+1 
d) y=||x-4|-2|+3 
e) y=sgn(x+3)-4 

2) Sean f y g dos funciones de variable real, cuyas reglas son: (x)=x^(2)+1 y g(x)=2-x. Determine el valor de certeza de las siguientes afirmaciones: 

a) El rango de f o g es el intervalo [0, infinito)
b) El rango de g o f es el intervalo (-infinito,1] 
c) (f o g o f)(1)=0 
d) (g o f o g)(1)=2 
e) (g o g^(-1))(1)=0 


Hola madelaine7. Para que puedas resolver tú esos ejercicios, te explico un poco qué es el Dominio, el Rango ("imagen" le decimos aquí) y los interceptos ("intersecciones con los ejes"):

DOMINIO:

El Dominio de una función es el conjunto de todos valores que puede tomar la "x" (variable independiente). Con lo de "puede" se refiere a qué valores de "x" se le puede aplicar la función sin que aparezca una operación matemática no válida, como por ejemplo: división por cero, raíz par de un número negativo, etc.
Para darte cuenta de cuál es el Dominio de una función, tienes que mirar la fórmula, y pensar cuáles valores podrías ponerle a la "x" y cuáles no podrías porque te aparecería una operación que no tiene resultado en el conjunto de los número Reales. Por ejemplo:

f (x) = 2/x

Esa fórmula no se la puedes aplicar a x = 0, porque te quedaría 2/0, y eso no tiene resultado en los números Reales (te dá "error" en la calculadora). Pero cualquier otro número si podrías poner en el lugar de la "x", ya que se puede dividir por cualquier número, menos por el cero. Entonces el Dominio lo forman todos los números Reales con excepción del cero:

Dominio: R - {0}

Otro ejemplo:

f (x) = √x

Los números negativos no tienen raíz cuadrada en el conjunto de los Reales (prueba en la calculadora y te dá error). Entonces, esa fórmula sólo se la puedes aplicar a todos los "x" que no sean negativos, es decir, a los "x" positivos y al cero también. Ése es el conjunto de todos los números Reales mayores o iguales que cero, así que el Dominio de esa función es:

Dominio: R >= 0 ó el intervalo [0 ; +∞)

Como ayuda para los ejercicios que tienes allí te recuerdo también que:

- No se pueden sacar logaritmos de números negativos ni del cero.
- El exponente de una potencia puede ser cualquier número Real. Es decir: se puede elevar una base a cualquier número.
- "sgn" no sé lo qué es. Si es "sen" (seno), se puede calcular el seno de cualquier número Real.


RANGO (Conjunto Imagen):

Rango o Imagen sería el conjunto de todos los valores que puede tomar la "y" (variable dependiente). Es decir: si le aplicáramos la función a todos los "x" del Dominio, cuáles serían todos los valores que toma la "y". Éso ya no se puede deducir fácilmente mirando la fórmula de la función. Una manera de "visualizar" eso es haciendo un buen gráfico. Cuando se conoce más o menos bien cómo es el gráfico de ciertas funciones, y se puede saber hacia dónde continúan las líneas que por supuesto no podemos dibujar completas, es posible darse cuenta de cuál es el conjunto Imagen: mirando qué parte del eje "y" abarca el dibujo. Éso no es fácil de explicar aquí, y más sin gráficos. Luego, hay otra manera de calcular la imagen, que consiste en despejar la "x", y en la fórmula que queda fijarse qué valores podría tomar la "y", como cuando se analiza para calcular el Dominio. Pero justamente esas funciones que te dieron no son muy apropiadas para "despejarlas", así que pienso que la idea es que lo hagas con gráficos.


INTERSECCION CON EL EJE Y:

Como te decía en el ejercicio anterior: Para saber en qué punto el gráfico de una función corta al eje Y hay que reemplazar la x por cero. Eso es porque, para que un punto caiga sobre el eje Y, su coordenada "x" debe ser igual a cero. La coordenada "y" del punto será el número que obtengas, y la "x" será cero. Por ejemplo:

f (x) = 3x + 1

f (0) = 3.0 + 1 = 0 + 1 = 1

El punto de intersección con el eje Y es: (0,1)


INTERSECCIÓN CON EL EJE X:

Y para que un punto caiga sobre el eje X, la que debe ser igual a cero es su coordenada "y". Por ejemplo, grafica los puntos:

(3,0)
(-5,0)
(1,0)

Y verás que todos caen sobre el eje X. Así que hay que encontrar el valor de la coordenada "x" para la cual la coordenada "y" es igual a cero. Eso se puede hacer reemplazando la "y" de la función por cero, o también "igualando la fórmula a cero". Y luego despejando la "x" por supuesto. Para hacer esto cambio la "notación" f(x) = 3x + 1, por y = 3x + 1, que es lo mismo (sino "no se ve" la "y" de la función):

y = 3x + 1
0 = 3x + 1
0 - 1 = 3x
-1 = 3x
-1/3 = x

La coordenada "x", para la cual la "y" vale cero es x = -1/3. El punto de intersección con el eje x es:

(-1/3 , 0)

Por supuesto, en tus ejercicios las fórmulas son más complicadas. Pero intenta hacerlo y cualquier cosa me consultas si en alguno no te sale.


EJERCICIO 2:

Y para el punto 2) necesitas saber componer funciones. fog (x) significa componer las funciones f y g. En tu ejercicio:

f(x) = x² + 1
g(x) = 2 - x

fog(x) = f[g(x)]

Eso significa algo así como: "aplicarle la función f al resultado de aplicar la función g". O podrías pensarlo también así: "aplicarle la función f a la fórmula de la función g". Como la fórmula de la función g es "2 - x", hay que aplicarle la función f a esa expresión:

f[g(x)] = f (2 - x) = (2 - x)² + 1

Es decir: lo que f le hace a la "x" ("elevarla al cuadrado y sumarle 1"), hay que hacérselo ahora a la fórmula de la función g, por eso a "2 - x" hay que elevarlo al cuadrado y sumarle 1. También se puede pensar así: "en la función f(x) reemplazo la x con (2 - x)":

f(x) = x² + 1

fog(x) = (2 - x)² + 1

Así obtienes una nueva función y de ella te pueden preguntar cosas como el Dominio, Rango, etc, etc. En los puntos a) y b) tienes que ver si el rango que te dan es correcto. Para eso puedes graficarlas y verlo en el gráfico, como te decía en el ejercicio 1.


- En los puntos c) y d) tienes que componer 3 funciones. Te muestro el c) como ejemplo:

fogof(x) = f{g[f(x)]}

Primero hay que aplicarle g a f (por "g[f(x)]"). Y luego aplicarle f al resultado:

g[f(x)] = 2 - (x² + 1) = 2 - x² - 1 = 1 - x²

Entonces:

fogof(x) = f(1 - x²) = (1 - x²)² + 1

(Es un poquitín más complicado, pero hay que pensar una por una)

Luego te pide que apliques esa función a un valor de x determinado (x = 1), y veas si es igual a cero:

c) (fogof)(1) = 0 ?

fogof(x) = (1 - x²)² + 1

(f o g o f)(1) = (1 - 1²)² + 1 = (1 - 1)² + 1 = 0² + 1 = 0 + 1 = 1

La afirmación es falsa, porque no dá "0", sino que dá "1".


- Y para el punto e) tienes que saber encontrar la inversa de una función. Se puede hacer "despejando la "x" y luego cambiando variables". Así:

g(x) = 2 - x

y = 2 - x

y - 2 = -x

-y + 2 = x

x = 2 - y

Ahora "cambio las variables":

y = 2 - x

Ésa es la fórmula de la función inversa de g(x):

g-1(x) = 2 - x

(Casualmente es igual que g(x)) 

Luego, le aplicas la función al valor de x = 1 (como hice en el punto anterior), para ver si la afirmación es correcta.

Espero que te sirva de ayuda para intentar hacer los ejercicios, y cualquier duda me consultas.

03-01-11 Pregunta de madeleine:        (INTERSECCIÓN CON EL EJE Y)

Como lo resuelvo 
1)El corte con el eje Y de la función f(x) = (2x+1) (x-3) (x+4) es: 

a) (0,8) 
b) (0,12) 
c) (0,2) 
d) (-1/2,0) 
e) (0,-12)


Hola madeleine. Para saber en qué punto el gráfico de una función corta al eje Y hay que reemplazar la x por cero: 

f (0) = (2.0 + 1).(0 - 3).(0 + 4) = (1).(-3).(4) = -12 

El punto es: (0,-12). La respuesta e) es la correcta. 

Eso es porque, para que un punto caiga sobre el eje Y, su coordenada x debe ser igual a cero. Grafica puntos como: 

(0,3) ; (0,-1), etc., 

y verás que todos caen sobre el eje Y. Entonces, si quiero saber qué punto de la función cae sobre el eje Y, tengo que ver qué coordenada "y" le corresponde a la coordenada "x" igual a cero. Por eso, "le aplico" la función a cero. Así obtengo la coordenada "y" que le corresponde. Y el punto completo lo forman esas dos coordenadas: La "x", que vale cero; y la "y", que la averigué mediante la fórmula de la función. 

11-11-10 Pregunta de Roberto                (COMPOSICIÓN DE FUNCIONES)

Buenos dias Marce:

No quiero ser una molestia, pero quería preguntarte este ejercicio que a continuación te detallaré, no tiene que ver con probabilidad, sino con el fog y gof, no sé si podrás ayudarme.

El enunciado de la actividad dice asi:

DADAS LAS SIGUIENTES FÓRMULAS: f(x)= 5x(equis elevado a la 2) + 1 y

j(x)= pusieron un símbolo de una raiz cuadrada y dentro del radicando x+1 dividido 2

Aclaración: es un simbolo de la raiz y dentro del radicando x+1 dividido 2, tuve que expresartelo de esa manera porque no encontraba el simbolo de la raiz en el teclado y la fraccion para graficartelo mejor (espero te des cuenta)

seguimos, me piden determine:

a) (j o f) (x)

b) La fórmula inversa de j, es decir, j-1.

c) El dominio natural de cada una de ellas.

Espero como último favor puedas aclararme el panorama.
Como siempre agradeceré tu gestión y buena predisposición para conmigo.

Cordialmente .

Roberto


Hola de nuevo Roberto. Las funciones son:

f(x) = 5x² + 1

j(x) = √(x + 1)/2


a) Se trata de componer a esas dos funciones en el orden que dice el enunciado:

(jof)(x) = j [(f(x)] =

Es algo así como aplicarle la función "j" a la función "f". Podrías pensar que "lo que j le hace a la x, hay que hacérselo a 5x² + 1". ¿Qué le hace j?: "le suma 1 a la x, divide eso por 2, y a todo le saca raíz cuadrada". Bueno, j [f(x)], significa hacerle todo eso, pero no a la x, sino a "5x² + 1" (que es f(x)). Otra forma de pensarlo es: "En la fórmula de j(x), reemplazo a la "x" por "5x² + 1". Eso dá así:

j [(f(x)] = √(5x² + 1 + 1)/2 = √(5x² + 2)/2

(remarqué en color donde reemplacé con 5x² + 1)


b) Para encontrar la fórmula de la inversa de una función, un método que suelen usar es "intercambiar variables". Se puede hacer de dos formas: intercambiarlas desde el principio, o despejar primero e intercambiar luego. (Y ojo, que una vez me tocó una cátedra donde no intercambiaban las variables, sino que usaban la variable "y" como variable independiente para las funciones inversas (cosa que no creo que sea tu caso)). Lo voy a hacer de la segunda forma que te nombré:

Despejo la x:

y = √(x + 1)/2

y² = (x + 1)/2

2y² = x + 1

2y² - 1 = x

Y ahora intercambio la y por la x (es decir, en el lugar de la "x" pongo la "y"), y viceversa:

2x² - 1 = y

y = 2x² - 1

Ésa sería la fórmula de la función inversa a j:

j^-1(x) = 2x² - 1


d) Dominio:

El Dominio natural es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x). Es decir: "el conjunto de valores al que se le puede aplicar la fórmula de la función" (porque hay fórmulas que no se les pueden aplicar a cualquier valor, pues aparecen operaciones matemáticas que no tienen solución, como dividir por cero por ejemplo, o sacar raíz cuadrada de un número negativo).

Dominio de j(x):

Como j(x) tiene una raíz cuadrada, lo que está debajo de la raíz tiene que ser igual a un número mayor o igual que cero (positivo o cero). Porque si dá un número menor que cero, la raíz no tiene solución en el conjunto de los números reales. Entonces no se le puede aplicar la función a una x con la que pase eso, una x con la que pase eso no va a ser parte del Dominio de la función.

Entonces planteas y resuelves la siguiente inecuación:

(x + 1)/2 >= 0

x + 1 >= 0.2

x + 1 >= 0

x >= 0 - 1

x >= -1

El dominio es el conjunto formado por todos los números reales mayores o iguales que -1. Eso se puede expresar así:

R _>=-1

ó como un intervalo:

[-1 ; +∞)


Dominio de j^-1(x):

Si te piden "dominio natural", es el mayor conjunto al que se le puede aplicar la x. Porque en realidad el dominio de la inversa de una función tiene que ser igual a la imagen de la función. Pero por lo que veo que te preguntan, me imagino que no habrán profundizado mucho en eso. Entonces hay que buscar el dominio de j^-1(x) como una función que nada tiene que ver con j(x), no como si fuera su inversa, sino como una función cualquiera independiente de j(x).

Como la fórmula de j^-1(x) = 2x² - 1 es un polinomio, el dominio natural de la función es el conjunto de todos los números Reales. Porque esa fórmula se puede aplicar a cualquier valor de x, ya que a cualquier número real se lo puede elevar a una potencia, multiplicarlo por otro, restar, sumar, etc. Así que:

Dominio natural de j^-1(x) = R (Reales)

Saludos.