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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: FUNCIONES POLINOMICAS

06-06-11 Pregunta de Griselda

Hola Marce!!estoy a punto del parcial,muchas gracias x tu ayuda,pero necesito las ultimas consultas. tengo que hallar los ceros,los conjuntos de positividad y neg de es polinomio. -2x al cubo +14xal cuadrad -14x - 30. 

Cursando:: prof de mat
Edad:: 33
Nacionalidad:: arg
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Hola Griselda. Para hallar los ceros hay que ir factorizando el polinomio, o factorizarlo completamente:

f(x) = -2x3 + 14x2 - 14x - 30

Por Gauss, busco una raiz entre los divisores del término independiente (Factoreo por Gauss):

Divisores de 30: 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-6,10,-10,15,-15,30,-30

f(1) = -2.13 + 14.12 - 14.1 - 30 = -2.1 + 14.1 - 14 - 30 = -2 + 14 - 14 - 30 = -32

(El 1 no es raiz. Porque aplicado en el polinomio no dá cero)


f(-1) = -2.(-1)3 + 14.(-1)2 - 14.(-1) - 30 = -2.(-1) + 14.1 + 14 - 30 = 2 + 14 + 14 - 30 = 0

El -1 es raiz del polinomio, porque aplicado en el polinomio dá cero. Entonces el polinomio es divisible por (x - (-1)), es decir, por (x + 1). Divido:

    | -2   14   -14   -30
    |
    |
-1 |        2   -16     30
    --------------------
      -2   16   -30  |   0

Cociente: -2x2 + 16x - 30

Así que el polinomio se puede factorizar como:

(x + 1).(-2x2 + 16x - 30)

Y como queda ahí un polinomio de segundo grado, se puede seguir factorizano. Se puede usar el Séptimo caso de factoreo (Trinomio de segundo grado), o seguir aplicando Gauss. Pero como encontrar raíces por los divisores me parece más complicado, sigo con el Séptimo caso:

-2x2 + 16x - 30

a = -2
b = 16
c = -30

x1,2 = formula resolvente

           -16 +- V162 - 4.(-2).(-30)
x1,2 = -----------------------------
                       2.(-2)

            -16 +- V256 - 240
x1,2 = ---------------------
                       -4

           -16 +- V16
x1,2 = --------------
                 -4

           -16 +- 4
x1,2 = ----------
                -4

x1 = (-16 + 4)/-4 = -12/-4 = 3

x2 = (-16 - 4)/-4 = -20/-4 = 5

Como la fórmula para factorizar con este caso es:

a.(x - x1).(x - x2)

El trinomio de segundo grado queda factorizado así:

-2.(x - 3).(x - 5)

Y como el polinomio que estábamos factorizando era:

(x + 1).(-2x2 + 16x - 30)

Reemplazamos el trinomio, y queda:

(x + 1).(-2).(x - 3).(x - 5)

ó mejor:

-2.(x + 1).(x - 3).(x - 5)


Ahora podemos determinar los ceros del polinomio. Y podemos pensarlo de dos maneras:

1) En el proceso de factorizar, ya encontramos los ceros (o raíces) del polinomio. Porque por Gauss encontramos que x = -1 es raiz. Y con el Séptimo caso encontramos x1 = 3 y x2 = 5, que son las raíces del trinomio (y también del polinomio), ya que se factoriza usando las raíces. Así que ya podemos decir que las raíces o ceros son:

x = -1
x = 3
x = 5

2) Si no nos damos cuenta de eso, o factorizamos por otros casos de factoreo donde no se buscan las raíces (1er caso, 2do caso, etc.), lo que tenemos que hacer para encontrar las raíces es igualar el polinomio a cero, y resolver la ecuación que queda. Porque las raíces son los números que hacen que el polinomio dé cero. Así que planteamos:

-2.(x + 1).(x - 3).(x - 5) = 0

Y una multiplicación es igual a cero, cuando alguno de los factores es igual a cero (para poder usar esa propiedad es que factorizamos el polinomio). Los factores son:

-2
(x + 1)
(x - 3)
(x - 5)

Entonces, para resolver la ecuación usando esa propiedad, planteo:

-2 = 0      ó      x + 1 = 0     ó      x - 3 = 0       ó       x - 5 = 0

Y resuelvo cada ecuación:

-2 = 0 Eso no puede ser nunca. Por aquí no encuentro solución

x + 1 = 0
x = 0 - 1
x = -1

x - 3 = 0
x = 0 + 3
x = 3

x - 5 = 0
x = 0 + 5
x = 5

Así que las soluciones de la ecuación son:

x = -1
x = 3
x = 5

Entonces las raíces del polinomio son ésas (a la misma conclusión llegué "de la otra manera").


Y para hallar los conjuntos de positividad y negatividad se pueden usar varios procedimientos. Se puede plantear inecuaciones, pero que al ser de grado 3 su resolución es complicada; o se pueden probar valores en los intervalos entre los ceros. Lo voy a hacer con este último procedimiento, que veo que se usa mucho ahora:

Voy a representar los ceros en la recta numérica, para ver qué intervalos quedan determinados:

<-------|---|---|---|---|---|---|--------->
-∞      -1                      3          5          +∞

Los ceros de la función delimitan los siguientes intervalos:

(-∞;-1)
(-1 ; 3)
(3 ; 5)
(5 ; +∞)

En esos intervalos, la función va a ser positiva o negativa. Porque antes determinamos que la función vale cero (los "ceros" de la función), solamente en -1, 3 y 5. Entonces en todos los otros puntos no va a valer cero, sino un número mayor que cero (positivo), o menor que cero (negativo). Por eso se llaman "conjunto de positividad" y "conjunto de negatividad". Vos te podés preguntar: ¿y qué me asegura que dentro de uno de esos intervalos la función va a ser toda negativa o toda positiva? ¿no puede ser positiva en algunos puntos y negativa en otras? Eso es así porque la función que estamos analizando es una función continua (en todo su dominio), ya que las funciones polinómicas son continuas. Y una función continua, para pasar de positiva a negativa tiene que cortar al eje x. Es decir: tiene que haber un cero. Entonces, por ejemplo, podemos decir que la función va a ser o toda positiva o toda negativa en el intervalo (-1;3), porque si pasara de positiva a negativa (o viceversa), habría un cero dentro del intervalo (-1;3), porque la curva cortaría al eje x para pasar de arriba a abajo. Pero sabemos que no hay ningún cero entre -1 y 3, porque los únicos ceros son: -1, 3 y 5 (y además por eso analizamos los intervalos entre ceros consecutivos, porque dentro no hay otro cero). Hay un teorema que trata de todo eso, y es lo que usamos para determinar los intervalos de positividad y negatividad de una función así.

Por eso, para determinar si es positiva o negativa en cada intervalo, elegimos un valor cualquiera del intervalo, y le aplicamos la función. Si el resultado es positivo, la función es toda positiva en ese intervalo. Y lo mismo con lo negativo. Con un sólo punto del intervalo alcanza para que concluir si la función es positiva o negativa en todo el intervalo:

- Analizo en intervalo (-∞;-1), aplicando la función al número -2, que pertenece a ese intervalo:

f(x) = -2x3 + 14x2 - 14x - 30

f(-2) = -2.(-2)3 + 14.(-2)2 - 14.(-2) - 30 = -2.(-8) + 14.4 + 28 - 30 = 16 + 56 + 28 - 30 = 70 > 0 (positivo)

Así que f(x) es positiva en (-8;-1)

- Analizo el intervalo (-1;3), aplicando la función al número 0, que pertenece a ese intervalo:

f(0) =-2.03 + 14.02 - 14.0 - 30 = 0 + 0 - 0 - 30 = -30 < 0 (negativo)

Así que f(x) es negativa en (-1;3)

- Analizo el intervalo (3;5), aplicando la función al número 4, que pertenece a ese intervalo:

f(4) = -2.43 + 14.42 - 14.4 - 30 = -2.64 + 14.16 - 56 - 30 = -128 + 224 - 56 - 30 = 10 > 0

Así que f(x) es positiva en (3;5)

- Analizo el intervalo (5;+∞), aplicando la función al número 10, que pertenece a ese intervalo:

f(10) = -2.103 + 14.102 - 14.10 - 30 = -2.1000 + 14.100 - 140 - 30 = -2000 + 1400 - 140 - 30 = -770 < 0

Así que f(x) es negativa en (5;+∞)

Y ahora juntamos los intervalos (o conjuntos) donde dió positivo por un lado, y donde dió negativo por el otro, con la operación llamada "Unión":

Conjunto de positividad (C+) = (-8;-1) U (3;5)

Conjunto de negatividad (C-) = (-1;3) u (5;+8) 

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04-05-11 Pregunta de belen
      (RAÍCES E INTERVALOS DE POSITIVIDAD)


Tengo q analizar donde p(x) es mayor a 0 en la siguiente funcion: 8x a la cuarta - 8x al cuadrado + 1.Puede ser que no existan raices?a menos eso me dio a mi.Espero su respuesta!Gracias!!

Cursando:: matem
Edad:: 20
Nacionalidad:: argentina
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Hola belen.

P(x) = 8x4 - 8x2 + 1

Hay varias formas de analizar dónde una función es mayor (o menor) que cero:

- Se puede plantear la inecuación:

P(x) > 0

- O se pueden buscar las raíces (o "ceros") de la función, y analizar en los intervalos aledaños si la función es positiva o negativa, probando con un valor en cada uno de esos intervalos.

Por la forma en que lo preguntás, me parece que vos usás el segundo método. Y trataste de hacerlo pero no encontraste raíces.

Eso podría ser, porque quizás la función nunca toma el valor cero (no tiene raíces): la gráfica no corta en ningún punto al eje x. Y entonces significa que la función es: o toda positiva o toda negativa. La gráfica quedaría toda por encima del eje x, o toda por debajo del eje x. En ese caso la respuesta sería muy fácil:

- Si la función es toda positiva, la respuesta es: R (Todo el conjunto de los números Reales). Porque la función es positiva en todo su Dominio, y el Dominio de una función polinómica es R (a menos que en la definición se le dé otro Dominio). Porque para todo valor de x, el resultado de aplicarle la función dá positivo:

P(x) > 0   Para todo R

- Si la función es toda negativa, la respuesta es: Ø (Conjunto vacío). Por que para ningún valor de x se obtiene un resultado negativo al aplicarle la función:

f(x) > 0 para ningún valor de x

Y ¿cómo saber si la función es toda positiva o negativa? (una vez que ya se determinó que no tiene raíces). Bueno, es muy fácil: hay que aplicarle la función a cualquier número. Si dá positivo, es porque toda la función es positiva. Si dá negativo, es toda negativa.

Pero primero vamos a ver si efectivamente no tiene raíces:

8x4 - 8x2 + 1 = 0

Ésa es una ecuación bicuadrada:

8(x2)2 - 8x2 + 1 = 0

z = x2

8z2 - 8z + 1 = 0

a = 8
b = -8
c = 1

z1,2 = formula resolvente

          -(-8) +- V(-8)2 - 4.8.1
z1,2 = -----------------------
                       2.8

          8 +- V64 - 32
z1,2 = --------------
                16

          8 +- V32
z1,2 = -----------
               16

Entonces sí que tiene raíces. Porque 32 es un número positivo: se puede calcular su raiz cuadrada (aunque no dé un número Racional). Puedes calcularla y trabajar con el decimal aproximado (5,6), o puedes extraer factores fuera del radical y dejar los resultados expresados como radicales. Eso depende de cómo trabajen en el curso (si te aceptan los decimales o quieren el "resultado exacto", que sería manteniendo los radicales). Yo prefiero hacerlo con los radicales:

32 | 2
16 | 2
  8 | 2
  4 | 2
  2 | 2
  1 | 1

32 = 25

V32 = V25 = V24.21 = V242.V2 = 22V2 = 4V2

          8 +- 4V2
z1,2 = ----------
              16

z1 = (8 + 4V2)/16 = 8/16 + (4V2)/16 = 1/2 + (V2)/4

z2 = (8 - 4V2)/16 = 8/16 - (4V2)/16 = 1/2 - (V2)/4

Pero tenemos que hallar los valores de x. Y al principio dijimos que z = x2. Así que tenemos las siguientes posibilidades:

x2 = 1/2 + (V2)/4

|x| = V1/2 + (V2)/4

x1 = V1/2 + (V2)/4

x2 = -V1/2 + (V2)/4

Y

x2 = 1/2 - (V2)/4

|x| = V1/2 - (V2)/4

x3 = V1/2 - (V2)/4

x4 = -V1/2 - (V2)/4

Son 4 raíces.

Y la verdad es que esos resultados pueden expresarse de otra manera luego de hacer un "trabajo" con los radicales. Te muestro cómo podríamos hacer más "simples" esas expresiones (en realidad no mucho más simples, pero "se ven" mejor). Es opción tuya hacerlo o no:

1/2 + (V2)/4 =

(2 + V2)/4 Sumé las fracciones, siendo 4 el denominador común.

Así que la raiz de eso es:

                   V2 + V2       V2 + V2
V(2 + V2)/4 = --------- = ---------
                        V4              2

Entonces, cambiando los signos correspondientes, las 4 raíces quedarían así:

x1 = (V2 + V2)/2

x2 = -(V2 + V2)/2

x3 = (V2 - V2)/2

x4 = -(V2 - V2)/2


Así que para saber dónde la función es positiva o negativa tenemos que analizar los intervalos que quedan delimitados por esos 4 números. Para tener una mejor idea de dónde están ubicados en el eje x cada uno en relación a los otros (es decir, su orden), se puede calcular su resultado aproximado:

x1 = (V2 + V2)/2 = 0,9       (aprox.)

x2 = -(V2 + V2)/2 = -0,9    (aprox.)

x3 = (V2 - V2)/2 = 0,4       (aprox.)

x4 = -(V2 - V2)/2 = -0,4    (aprox.)


Así podemos comparar esos números decimales y ver que el orden, de menor a mayor, es:

-0,9 < -0,4 < 0,4 < 0,9

Es decir:

-(V2 + V2)/2 < -(V2 - V2)/2 < (V2 - V2)/2 < (V2 + V2)/2

Entonces los ubicamos en el eje x en ese orden. Y mejor usar los números decimales, porque necesitamos saber sus valores aproximados para decidir qué números vamos a probar en cada intervalo:

<----------|----------|---------------|----------|------------>
-∞          -0,9         -0,4                  0,4           0,9              +


Y ahora hay que probar con un valor en cada uno de los intervalos que quedaron delimitados, para ver si la función es positiva o negativa en ese intervalo:

- En el intervalo (-∞;-0,9) elijo probar con el número -1:

P(x) = 8x4 - 8x2 + 1

P(-1) = 8.(-1)4 - 8.(-1)2 + 1 = 8.1 - 8.1 + 1 = 1 > 0     (positivo)

Entonces la función es positiva en (-∞;-0,9) ó más exacto: (-∞;-(V2 + V2)/2)

- En el intervalo (-0,9;-0,4) elijo probar con el número "-0,5" (ó "-1/2", para no andar con decimales):

P(-1/2) = 8.(-1/2)4 - 8.(-1/2)2 + 1 = 8.(1/16) - 8.(1/4) + 1 = 1/2 - 2 + 1 =

= -1/2 < 0      (negativo)

Entonces la función es negativa en (-0,9;-0,4) ó (-(V2 + V2)/2;-(V2 - V2)/2)

- En el intervalo (-0,4;0,4) elijo probar con el número "0":

P(0) = 8.04 - 8.02 + 1 = 1 > 0       (positivo)

Entonces la función es positiva en (-0,4;0,4), ó (-(V2 - V2)/2;(V2 - V2)/2)

- En el intervalo (0,4;0,9) elijo probar con el número "0,5" (ó "1/2", para no andar con decimales):

P(1/2) = 8.(1/2)4 - 8.(1/2)2 + 1 = 8.(1/16) - 8.(1/4) + 1 = 1/2 - 2 + 1 =

= -1/2 < 0       (negativo)

Entonces la función es negativa en (0,4;0,9), ó ( (V2 - V2)/2; (V2 + V2)/2)

- Y en el intervalo (0,9;+∞), elijo probar con el número "1":

P(1) = 8.14 - 8.12 + 1 = 8 - 8 + 1 = 1 > 0       (positivo)

Entonces la función es positiva en (0,9;+∞), o más exacto: (V2 + V2)/2;+∞)

La respuesta es entonces:

P(x) > 0 en (-∞;-(V2 + V2)/2) U (-(V2 - V2)/2;(V2 - V2)/2) U (V2 + V2)/2;+∞)

O, si lo quieres con decimales:

(-∞;-0,9) U (-0,4;0,4) U (0,9;+∞)

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02-05-11 Pregunta de jose
   (HALLAR LOS CEROS DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA)

estoy cursando el primer cuatrimestre de la uba i necesito saber como resolver este problema de matematica funciones polinomicas.. dada f(x)= 2x elavado al 4 +x elevado 3 -15x elevado al 2 -18x,encontrar todos los puntos donde el grafico f corta al eje x ,sabiendo que f(3)=0

Cursando:: cbc
Edad:: 44
Nacionalidad:: argentino
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Hola jose:

f(x) = 2x4 + x3 - 15x2 - 18x

Los puntos donde el gráfico corta al eje x son llamados "raíces" o "ceros" de la función. Son los valores de "x" para los cuales la función dá cero. Es decir: los valores a los que si le aplicamos la fórmula función, el resultado dá cero. 

Entonces, para hallar los ceros de una función hay que plantear lo siguiente:

f(x) = 0

Y como f(x) = 2x4 + x3 - 15x2 - 18x, entonces, eso es lo mismo que la ecuación:

2x4 + x3 - 15x2 - 18x = 0

Y ésa es una ecuación polinomica de grado 4, con términos de otros grados, y para resolverla se puede factorizar lo máximo posible al polinomio, y luego usar que: "un producto (multiplicación) es igual a cero, cuando alguno de sus factores es igual a cero". Así que lo voy a factorizar:

Factoreo:

Primero que nada se puede sacar factor común "x", porque todos los términos tienen x. Queda:

x.(2x3 + x2 - 15x - 18) = 0

Luego, para factorizar 2x3 + x2 - 15x - 18, podemos usar el otro dato que nos dieron:

f(3) = 0

Ese dato significa que x = 3 es uno de los "ceros" o "raices" de la función. Y resulta que los polinomios son divisibles por binomios de la forma: (x - c), siendo "c" un cero o raiz del polinomio (o de la función, es lo mismo). Entonces, dividir por (x - c) es un método para factorizar el polinomio, no sé si conoces el Teorema de Gauss, hay un caso de factoreo que usa ese Teorema para encontrar un cero o raiz, y el caso consiste en dividir por (x - c). Ese caso de factoreo está explicado con detalle en la página: FACTOREO CON GAUSS.

Así que voy a dividir a (2x3 + x2 - 15x - 18) por (x - 3). Y puedo usar la regla de Ruffini para eso:


  | 2   1   -15   -18
  |
3|      6    21     18
  ------------------
    2    7    6    |  0

Cociente: 2x2 + 7x + 6
Divisor: x - 3

Así que:

2x3 + x2 - 15x - 18 = (x - 3).(2x2 + 7x + 6)

(DIVIDENDO = COCIENTE x DIVISOR)

Entonces, la ecuación queda por ahora factorizada así:

x.(x - 3).(2x2 + 7x + 6) = 0

Y ahí queda un polinomio de grado 2 que podemos intentar factorizar. Lo voy a hacer por el Séptimo caso de factoreo (Trinomio de segundo grado), el que usa la fórmula resolvente de las ecuaciones cuadráticas:

x1,2 = formula resolvente

          -7 +- V72 - 4.2.6
x1,2 = ------------------
                     2.2

          -7 +- V1
x1,2 = -----------
               4

         -7 +- 1
x1,2 = -------
             4

x1 = (-7 + 1)/4 = -6/4 = -3/2

x2 = (-7 - 1)/4 = -8/4 = -2

La factorización se hace según la fórmula:

a.(x - x1).(x - x2)

Así que para este polinomio queda:

2.(x - (-3/2)).(x - (-2))

2.(x + 3/2).(x + 2)


Entonces, volvemos a la ecuación, que luego de esta factorización queda así:

x.(x - 3).2.(x + 3/2).(x + 2) = 0           ó mejor:

2x.(x - 3).(x + 3/2).(x + 2) = 0

Y ahora que el polinomio está totalmente factorizado, usamos que "una multiplicación o producto es igual a cero cuando alguno de sus factores es igual a cero". Así que:

2x = 0      ó        x - 3 = 0       ó       x + 3/2 = 0      ó        x + 2 = 0

Resuelvo cada una de esas ecuaciones, para ver cuáles son todas las soluciones posibles:

2x = 0
x = 0:2
x = 0

x - 3 = 0
x = 0 + 3
x = 3

x + 3/2 = 0
x = 0 - 3/2
x = -3/2

x + 2 = 0
x = 0 - 2
x = -2

Entonces ésos son los "ceros" o "raíces" del polinomio. El gráfico de la función corta al eje x en :

x1 = 0

x2 = 3

x3 = -3/2

x4 = -2



Puedes aplicarle la función a cada uno, y verificar así que f(x) = 0 en cada una de esas x. Y puedes graficar los puntos en el plano, para ver que quedan sobre el eje x. Porque todo punto que tiene como coordenada "y" a cero, queda sobre el eje x.

f(0) = 0           Entonces la función pasa por el punto (0,0)

f(3) = 0           Entonces la función pasa por el punto (3,0)

f(-3/2) = 0       Entonces la función pasa por el punto (-3/2 , 0)

f(-2) = 0          Entonces la función pasa por el punto (-2,0)

Esos puntos "caen" sobre el eje x, entonces la gráfica de la función corta al eje x en esos puntos.

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