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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: FUNCIONES PARTIDAS O FUNCIONES POR PARTES

05-05-11 Pregunta de yocelyn

mi consulta es sobre las funciones por parte o trozo. trngo un ejercicio echo pero no me acuerdo el prcedimiento. 
ahora tengo que realizar un trabajo y tengo la representacion grafica y tengo dudas sobre la misma! 
por ejemp: la grafica indica un punto (-6,-6) abierto asta (1,1)abierto 
luego un secmento con un punto en (1,4)cerrado y termina en (3,4)abierto 
lugo en el 3 del eje x un punto (3,0)cerrado asta el punto(8,-5)cerrado 
mi gran duda es si representa un funcion y como es su dominio e imagen. 
desde ya espero pronta respuesta.gracias. yocelyn.

Cursando:: 1º anño de tecnicatura en mantenimiento industrial. universidad nacional de rio negro. argentina
Edad:: 18
Nacionalidad:: chile
¿Qué opinas de la web?: interesante

Hola yocelyn. Siguiendo tu explicación pude reproducir el gráfico:

funcion por partes

Puedes constestar que sí es función, porque a cada valor de x (dentro de su Dominio) le corresponde un solo valor de y. Eso lo tienes que ver en el gráfico: piensa que de cada x extiendes una línea vertical hacia arriba y abajo, y ésta tiene que pasar por un solo punto. Si antes lo sabías el tema, con eso que te digo lo recordarás. No sería función si la línea pasara por más de un punto: si en la misma vertical tienes 2 o más puntos, no es función, porque la x estaría tomando más de un valor y no cumpliría con lo que se llama "unicidad". Y ésa es una de las condiciones que tiene que cumplir una relacion entre dos variables para que sea función. La otra condición se llama "existencia": para todo valor de x del Dominio tiene que existir un valor de "y" que le corresponda (una "imagen"). Pero como en esta relación no te dan el Dominio, eso no hay que analizarlo. Porque cuando tú determines el Dominio de la función tomarás justamente todos los valores de x para los que existe un valor de "y", así que la condición ya se cumple por eso. Si no entendiste mucho eso no importa, habría que profundizar más sobre los conceptos quizás. Pero lo que necesitas saber es que, si no te definen el Dominio de la "relación", lo único que tiene que cumplir la relación para que sea una función es la condición de "unicidad" . Porque el cumplimiento la existencia depende del Dominio en que se analice la relación.

DOMINIO:

Y el Dominio de la función es el conjunto de todos los valores de x a los que se le aplica la función. En el gráfico lo puedes ver como la zona del eje x donde está el gráfico. Desde el eje x imagina líneas verticales hacia arriba y abajo, y donde las líneas llegan a algún punto del gráfico es porque estamos dentro del Dominio. 

Los puntos "abiertos" significan que ese número del eje x no tiene imagen. Así que no son puntos del Dominio. Mirando el gráfico se puede decir que el Dominio de esa función lo forman varios intervalos (donde están los segmentos). En donde hay puntos abiertos es porque el extremo del intervalo no está incluido, por ejemplo en el -6. Entonces el intervalo será abierto en ese extremo. Recordemos que cuando es abierto se representa con paréntesis, y cuando es cerrado con corchete. Así que forman el Dominio los siguientes intervalos:

(-6;1)

Porque el primer segmento de la izquierda empieza en -6 (en el eje x hay que mirar, ojo, porque el Dominio lo forman las x) punto abierto (significa que a ese número no se le aplica la función) y termina en el 1 punto abierto (lo mismo). Por eso es el intervalo que va desde el -6 abierto al 1 abierto.

[1;3)

Porque el segundo segmento empieza en el 1 de x, con punto cerrado (significa que la función se le aplica al 1, porque el 1 tiene imagen), así que el 1 está incluido; y termina en el 3 con punto abierto (no está incluido el 3 en el intervalo.

[3;8]

Porque el tercer segmento va del 3 al 8, ambos puntos cerrados, significa que a ambos puntos se le aplica la función (tienen imagen).

Pero esos tres intervalos se pueden juntar en uno solo:

Dominio: (-6;8]

Porque el 1 no está incluido en el primer intervalo, pero sí en el segundo (el punto es abierto en el primer segmento, pero cerrado en el segundo). Y lo mismo pasa con el 3.


IMAGEN:

La imagen la forman todos los valores de "y" que toma la función. Entonces hacemos lo mismo que para el Dominio, pero en el eje y. Podemos imaginar líneas horizontales ahora y ver por cuáles puntos pasan y por cuáles no. Quizás esto es más difícil de ver:

La función no toma valor de "y" en el punto -6 porque es un punto abierto, pero a partir de ahí hacia arriba toma todos los valores hasta el 1, que no lo toma porque es un punto abierto. Luego, no toma más valores hasta el 4, que es el único valor que toma para todo el segmento central. Así que la imagen la forman:

El intervalo (-6;1) y el 4.

Imagen: (-6;1) U {4}

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15-12-10 Pregunta de Jéssica 

Hola queria saber el tema de funcioes; Funcion por partes;


Hola Jéssica. Lo que puedo decirte es que son funciones que, para distintas partes del dominio, tienen distintas fórmulas. Por ejemplo:

f(x) = {   2x         si x < -4
             x + 1      si x >= -4

Eso significa que para los valores de x menores que -4, la fórmula que hay que aplicar es f(x) = 2x. Y para los valores de x mayores o iguales a -4, hay que aplicar la fórmula f(x) = x + 1.

Por ejemplo, si quiero calcular f (1), tengo que usar la segunda fórmula, porque 1 es mayor que -4:

f (x) = x + 1
f (1) = 1 + 1
f (1) = 2

En cambio, si quiero calcular f (-10), tengo que aplicar la primera fórmula. Porque -10 es menor que -4:

f (x) = 2x
f(-10) = 2.(-10)
f(-10) = -20

Y si quiero calcular f (-4), tengo que usar la segunda fórmula. Porque ésa es la que tiene el "≥". Es decir que esa fórmula se aplica para todos los números menores que -4, pero para -4 también.

f (x) = x + 1
f (-4) = -4 + 1
f (-4) = -3

Para graficar, puedes dividir al eje x en dos partes, trazando por ejemplo una línea punteada vertical, que pase por el -4 en el eje x. Eso te ayuda a orientarte. Luego, graficas la función f(x) = 2x, pero solamente a la izquierda de la línea punteada. Porque esa función vale para los valores de x menores a -4, que son los que están a la izquierda. En realidad puedes graficar la función completa (es una recta en este caso), y luego le borras la parte que "sobra" (lo que está a la derecha del -4). 
Luego, graficas la función f(x) = x + 1, pero sólo a la derecha de -4 (pues sólo vale para las x mayores que -4, las cuales están a su derecha). Pero también podrías graficar la recta completa y borrarle la parte que sobra (lo que está a la izquierda del -4).

Bueno, espero que más o menos esto te oriente. Sino, puedes preguntarme sobre algún ejercicio específico que te explico cómo se hace.

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