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RESPUESTAS A LAS CONSULTAS

TEMA: FUNCIONES HOMOGRAFICAS

21-02-11 Pregunta de tomas                 (ASINTOTAS)

te paso un ejercicio: (x+3)/(x-3) la / es sobre, tengo que sacar la asintota vertial y la asintota horizontal

Hola tomas.

f(x) = (x + 3)/(x - 3)

Es una función homográfica. Para sacar la asíntota vertical puedes igualar el denominador a cero y resolver la ecuación:

x - 3 = 0

x = 3

Asíntota Vertical: x = 3

Eso tiene que ver conque el denominador tiene que ser desigual a cero (no se puede dividir por cero, y un denominador está dividiendo). Luego, ese tipo de funciones tiene asíntota vertical en el punto en el que el denominador valdría cero (punto que no pertenece al Dominio de la función). Eso te sirve siempre que tengas una función de la forma:

f(x) = (ax + b)/(cx + d)

Incluso otra forma de hacerlo es usar la siguiente fórmula:

x = -d/c         (Fórmula para la asíntota vertical de una función homográfica)

Esa fórmula te dá la x ya despejada, en vez de que tengas que plantear la ecuación y despejarla vos.

(Ojo que para otras funciones que no tienen esa forma (pero también tienen x en el denominador) no alcanza con hacer eso; pues también hay que ver si el límite cuando x tiende a los valores que quitas del Dominio es igual a infinito)

Luego, para la asíntota horizontal puedes usar también una fórmula:

y = a/c         (Fórmula para la asíntota horizontal de una función homográfica)

Recordemos que la fórmula de la función homográfica era en general:

f(x) = (ax + b)/(cx + d)

Ahí se ve que a es el número que multiplica a la x, y

Como en tu ejemplo es:

a = 1
c = 1

Ya que si delante de la x no hay nada, tienes que considerar que "hay un 1":

(x + 3)/(x - 3) es igual que (1x + 3)/(1x - 3)



y = 1/1 = 1

(En tu ejemplo a = 1 y c = 1, ya que es f(x) = (1x + 3)/(1x - 3) )

Pero también hay otra forma de hallar la asíntota, que consiste en dividir el polinomio de arriba por el de abajo, y escribirlo como un entero más una fracción. El entero será el valor que tiene la asíntota. No sé si lo habrás visto así, cualquier cosa me consultas si lo quieres así. Sino, la fórmula que te dí te sirve, siempre que la función tenga la forma que te dije.





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