TEMA: INECUACIONES RACIONALES

16-04-11 Pregunta de Abril

Tengo que escribir el conjunto A= {xer/ 3x-2/x > 4/x} como intervalo o union de intervalos. Gracias!

Cursando:: CBC

Hola Abril. 

(3x - 2)/x > 4/x

Es una ecuación racional. No podemos simplificar los denominadores (aunque ambos miembros están divididos por x), porque x puede ser un número positivo o negativo, y si fuera negativo habría que invertir la desigualdad (porque al simplificar estamos dividiendo por x).

Lo que se hace allí es pasar todos los términos al mismo miembro, y que quede cero en el otro:

(3x - 2)/x - 4/x > 0

Y ahora quedó una resta de dos fracciones con el mismo denominador, así que podemos directamente restar los numeradores:

(3x - 2 - 4)/x > 0

(3x - 6)/x > 0

Y ahora usamos que:

Una fracción es mayor que cero (positiva), cuando:

- El numerador y el denominador son mayores que cero (positivos) (+ por + = +) 

ó

- El numerador y el denominador son menores que cero (negativos) (- por - = -)

(Para ver más sobre esto puedes ver las dos respuestas que siguen abajo que explican lo mismo)

Así que hay dos posibilidades:

1) 3x - 6 > 0     y     x > 0     ó

2) 3x - 6 < 0     y     x < 0


Alternativa 1:

3x - 6 > 0    y    x > 0

3x > 6

x > 6/3

x > 2          y      x > 0

Nos podemos dar cuenta (y sino se grafican en la recta numérica) que los números que cumplen esas dos cosas son los números mayores que 2:

x > 2

Números que pertenecen al intervalo:

(2;+∞)


Alternativa 2:

3x - 6 < 0     y     x < 0

x < 2             y     x < 0

Y los que cumplen esas dos cosas son los números menores que 0:

x < 0

Números que pertenecen al intervalo:

(-∞;0)


La solución final es el conjunto formado por los elementos de los dos intervalos. Como son intervalos que no tienen ningún número en común ("disjuntos", lo puedes ver si graficas los dos en la misma recta numérica), la solución es la unión de esos dos intervalos:

SOLUCIÓN: (2,+∞) U (-∞;0)

15-04-11 Pregunta de maria alicia

agradeceria el desarrollo de inecuaciones de primer grado con una sola incognita y con x en el denominador,desde sencillas a un poco complicadas

Cursando:: por consulta
Edad:: 63
Nacionalidad:: argentina.
¿Qué opinas de la web?: bien usada,fabulosa

Hola maria alicia. Te muestro algunos ejemplos:

3 + x
----- > 0
x + 1

Si eso fuera una ecuación, podríamos pasar a (x + 1) multiplicando al otro miembro. Pero en una inecuación no podemos, porque en las inecuaciones cuando se pasa un número negativo de "multiplicar a dividir" o viceversa, se invierte el signo de la desigualdad (de mayor a menor, o al revés). Y como tenemos una x en el número que vamos a pasar, no sabemos si es negativo o positivo (porque eso depende del valor que se le dé a la x), entonces no sabemos si invertir la desigualdad o no. Es decir: No podemos pasar multiplicando a (x + 1), porque no sabemos si (x + 1) toma un valor positivo o negativo. Así que hay dos posibilidades:

- Si (x + 1) fuera positivo, la desigualdad no se invierte cuando se lo pasa multiplicando, y entonces la inecuación quedaría así:

3 + x > 0.(x + 1)

- Si (x + 1) fuera negativo, la desigualdad se invierte. Entonces la inecuación quedaría así en el siguiente paso:

3 + x < 0.(x + 1)

Y ya que te comento esto, una de las formas en que se pueden resolver estas inecuaciones (no es quizás la más común), es planteando esas dos alternativas. Entonces te puedo mostrar ya cómo hacerlo de esta manera:

Evaluando las dos posibilidades:

- Supongamos que (x + 1) > 0. Al pasar el (x + 1) multiplicando al otro miembro queda así:

3 + x > 0.(x + 1) 

(la desigualdad no se invierte, porque estamos suponiendo que paso un número positivo)

3 + x > 0                 (0 multiplicado por cualquier cosa dá cero)

x > -3

Pero además supusimos que:

x + 1 > 0

Eso implica que:

x > -1

Entonces, si x > -1, la desigualdad no se invierte y la solución de la inecuación es x > -3. Eso significa que la solución la forman todos los números reales mayores que -3, pero que también son mayores que -1, porque partimos de esa premisa (x > -1). Así que veamos qué números cumplen con esas dos cosas:

x > -1     y     x > -3

Lo podemos graficar en la recta numérica para visualizarlo:



Son todos los números mayores que -1 (donde se cruzan los dos conjuntos: la intersección de los dos conjuntos, donde están los números que cumplen con las dos cosas). Entonces la solución de esta alternativa es:

x > -1

O como intervalo: (-1;+∞)


- Ahora la otra posibilidad: Supongamos que (x + 1) < 0, entonces al pasarlo al otro miembro se invierte la desigualdad. La inecuación queda así:

3 + x < 0.(x + 1)

3 + x < 0

x < - 3

Y como te expliqué antes, tenemos que tener en cuenta también que:

x + 1 < 0

x < -1

Representamos:



Y vemos que la solución de esta alternativa es:

x < -1

O como intervalo:

(-∞;-3)

Entonces, las dos alternativas son que:

x > - 1    ó    x < - 3

La solución de la inecuación es la unión de esos dos intervalos:

SOLUCIÓN: (-;∞-3) U (-1;+∞)


Y hay otra forma de resolver estas inecuaciones. Para poder aplicarla, uno de los miembros debe ser cero. Como en este ejemplo que te dí:

3 + x
------ > 0
x + 1

Y si no está el cero solo en alguno de los miembros, hay que pasar todo al mismo miembro para que quede el cero así.

Luego, se usa la regla de los signos. Porque una fracción es una división, y en la división se usa la regla ésa:

"más por más, es más"
"menos por menos, es más"
"más por menos, es menos"
"menos por más, es menos"

Como que algo sea "mayor que cero" (>0) significa es "positivo" (+), al decir que la fracción:

3 + x
------ > 0
x + 1

Estamos diciendo que esa fracción es positiva, o que la división entre el numerador y el denominador dá un número positivo (+). Como por ejemplo:

+ 4
---- = +2    (mayor que cero: > 0)
+ 2

-1          1
---- = + ---   (mayor que cero: > 0)
-3          3

Entonces, si la fracción es mayor que cero (positiva, dá "+"), es porque, según la regla de los signos:

- el numerador y el denominador son positivos (+ por + = +)

- el numerador y el denominador son negativos (- por - = +)

Entonces analizamos esas dos alternativas:

1) 3 + x > 0 y x + 1 > 0        ó

2) 3 + x < 0 y x + 1 < 0


1) Alternativa 1:

3 + x > 0   y    x + 1 > 0

x > -3       y     x > -1



La solución de esta alternativa es:

x > -1

O como intervalo: (-1;+∞)


2) Alternativa 2:

3 + x < 0    y    x + 1 < 0

x < - 3       y     x < - 1



La solución de esta alternativa es:

x < -3

O como intervalo: (-∞;-3)


Solución de la inecuación:

Como la solución de la inecuación la forman todos los números que cumplen alguna de las dos alternativas, tenemos que:

Solución: (-1;+∞) U (-∞;-3)

Que es la misma solución que hallamos de la otra manera.


Eso es lo básico para resolver una inecuación racional de primer grado. Luego, si la inecuación no tiene la forma de:

Fracción > 0

Fracción <= 0

etc.

hay que llevarla a esa forma, mediante operaciones y/o pasajes de términos. Luego de que se llega a esa forma, se sigue el procedimiento que te mostré. Por ejemplo:

x - 4
------ <= 1
3x + 2

Hay que pasar el 1, para que quede 0 en el segundo miembro:

x - 4
------ - 1 <= 0
3x + 2

Y luego, hay que sumar/restar la fracción con el número, para que quede una sola fracción:

x - 4 - 1.(3x + 2)
----------------- <= 0        (Suma de Expresiones algebraicas racionales)
3x + 2

x - 4 - 3x - 2
------------- <= 0
3x + 2

-2x - 6
-------- <= 0
3x + 2

Y a partir de ahí podemos empezar el procedimiento que usa la regla de los signos.

Y otra cosa que hay que tener en cuenta en estas inecuaciones es que el denominador nunca puede cero (porque el denominador está dividendo al numerador, y no se puede dividir por cero). Así que si la inecuación tiene el igual (como esta, que es con <=), cuando lo usamos para el denominador debemos quitarle el igual (y queda "<" solamente, por ejemplo).

Como el ejemplo que te expliqué completo era con "mayor" (<), y éste es con "menor", te termino este ejemplo así tienes otro completo (y además tiene el "=" que el otro no lo tenía. Íbamos por:

-2x - 6
-------- <= 0
3x + 2

Y según la regla de los signos, una fracción dá negativa (-) cuando:

- El numerador es positivo y el denominador es negativo ( + por - = - )

- El numerador es negativo y el denominador es positivo ( - por + = - )

Así que las dos posibilidades son:

-2x - 6 >= 0     y     3x + 2 < 0     ó

-2x - 6 <= 0     y     3x + 2 > 0

1) Alternativa 1:

-2x - 6 >= 0     y     3x + 2 < 0

-2x >= 6          y       3x < - 2

x <= 6:(-2)      y         x < -2/3

x <= -3            y         x < -2/3

Si graficas verás que la intersección es:

(-∞;-3)


2) Alternativa 2:

-2x - 6 <= 0     y     3x + 2 > 0

-2x <= 6          y     3x > - 2

x >= 6:(-2)       y     x > -2/3

x >= -3            y     x > -2/3

(-2/3;+∞)

Así que la solución es:

(-∞;-3) U (-2/3;+∞)

Pregunta de Daiana

HOLA NECESITARIA SABER SI ME PODRIAN DAR UNA EXPLICACION ACERCA DE INECUACIONES CON DENOMINADORES Y CON MODULO, YA QUE NO LAS ENTIENDO.MUCHAS GRACIAS.

Hola Daiana. Primero te explico cómo resolver una inecuación con denominadores (supongo que te refieres a las que tienen "x" en el denominador), y te muestro un ejemplo resuelto. Cuando tienes una inecuación con esta forma:



Tienes que usar el siguiente concepto para resolverla:

"Una fracción es mayor que cero, cuando:

1) El numerador y el denominador son mayores que cero, ó

2) El numerador y el denominador son menores que cero.

Y una fracción es menor que cero, cuando:

1) El numerador es mayor que cero y el denominador es menor que cero, ó

2) El numerador es menor que cero y el denominador es mayor que cero."

Porque la fracción representa a una división. Y en la división rige la misma "regla de los signos" que para la multiplicación:

"más por más es más"    (+ por + = +)
"menos por menos es más" (- por - = +)
"más por menos es menos"
"menos por más es menos"

Es eso lo que estamos usando, porque cuando la regla dice "más" (+) se refiere a algo que es "positivo", o sea: "mayor que cero". Y cuando la regla dice "menos" (-), se refiere a algo que es "negativo": "menor que cero". Por ejemplo:

-10/+2 = -5

Porque "menos por más, es menos". El numerador tiene el signo "menos" (-), es un número negativo: "menor que cero". Y el denominador tiene el signo "más" (+), es un número positivo: es "mayor que cero".

Primero que nada quería aclararte eso por si no lo sabías, pues es una relación que veo con frecuencia que algunos alumnos no hacen, y por eso les cuestan estas inecuaciones:

"Número positivo = Número mayor que cero"  (x > 0)

"Número negativo = Número menor que cero" (x < 0)

Y ahora algunos ejemplos para entender el concepto que usamos para resolver la inecuación:

¿Cuándo una división dá mayor que cero (positiva)? Cuando los dos números son mayores que cero (positivos), ó cuando ambos son menores que cero (negativos):

+4/+6 = + 2/3 (recordemos que la fracción representa a una división)

-7/-2 = + 7/2

¿Y cuándo una división dá menor que cero (negativa)? Cuando los números tienen distinto signo: uno es mayor que cero (positivo) y el otro es menor que cero (negativo):

-7/+8 = - 7/8

+5/-9 = - 5/9

"
Bueno, y ahora vamos a resolver el ejercicio:



Es una fracción mayor que cero. Entonces:

1) 2x + 1 > 0     y      x - 3 > 0     ó

2) 2x + 1 < 0     y      x - 3 < 0

Porque, como te había dicho antes, el numerador y el denominador tienen que ser: o los dos positivos (mayores que cero), o los dos negativos (menores que cero). Ves como eso se traduce en inecuaciones que ya no son racionales. Y tenemos dos alternativas: o pasa una cosa, o pasa la otra. A su vez, dentro de cada alternativa se tienen que cumplir las dos cosas al mismo tiempo: (positivo y positivo) ó (negativo y negativo). Sino, la fracción no daría positiva. Puede ser que, las alternativas que yo escribí ahí arriba las hayas visto expresadas de la siguiente manera:

(2x + 1 > 0 Λ x - 3 > 0) V (2x + 1 < 0 Λ x - 3 < 0)

Es lo mismo, sólo que se usan los símbolos de Lógica:

"Λ" significa "y". Se usa para enlazar dos condiciones que deben cumplirse ambas.

"V" significa "ó". Se usa cuando se cumple una condición o la otra.

Y luego de plantear las alternativas, vamos a resolver cada una, a ver qué subconjunto de los números reales cumple las condiciones expresadas en cada una:

1) "Los dos positivos":

2x + 1 > 0
2x > 0 - 1
2x > -1
x > -1/2

y

x - 3 > 0
x > 3

Se debe cumplir que x > -1/2  y que x > 3. Los números que cumplen la alternativa 1) son lo que son: mayores que -1/2 y mayores que 3. Representas en la recta numérica esos dos conjuntos, y verás que la intersección (donde están los números que cumplen ambas cosas), es el conjunto formado por todos los números mayores que 3.



Es el intervalo:

(3 ; + ∞)


2) Ó "los dos son negativos":


2x + 1 < 0
2x < 0 - 1
2x < -1
x < -1/2

y

x - 3 < 0
x < 3

Se debe cumplir que x < -1/2 y x < 3. Representamos en la recta, y vemos que los números que cumplen ambas cosas son los menores que -1/2: 



Es el intervalo:

(-∞ ; -1/2)

Finalmente, los números que son solución de la inecuación, son los que: están en el intervalo (-∞ ; -1/2) ó están en el intervalo (3 ; +∞). Si los representamos en la misma recta, vemos que esos dos conjuntos no tienen elementos en común (son conjuntos "disjuntos"):



Así que la única forma de expresar la solución es como una "Unión" de esos intervalos:

S = (-∞ ; -1/2) U (3 ; +∞)

Ésa es entonces la solución de la inecuación.

La "Unión" es una operación entre conjuntos, cuyo resultado incluye a todos los elementos de ambos conjuntos. Sería algo así como la suma de los elementos de los dos conjuntos: el resultado son todos los elementos que pertenecen a un conjunto o al otro.

Atención: Cuando una inecuación con "x" en el denominador, viene con el signo ≤ ó ≥. hay que recordar que el denominador de una fracción nunca puede ser cero (ya que no se puede dividir por cero, y el denominador de una fracción está dividiendo al numerador). Entonces, hay plantear la inecuación para el denominador, hay que quitarle el "igual" (=). Por ejemplo, si la inecuación fuera:



Habría que plantear:

2x + 1 ≥ 0 y x - 3 > 0

ó

2x + 1 ≤ 0 y x - 3 < 0

Ves cómo a (x - 3) no le puse el "=", porque es el denominador, y no puede ser igual a cero; tendrá que ser mayor o menor, pero no igual a cero.


Bueno, pero todo lo anterior vale si tenemos una inecuación con el "0" en el segundo miembro:



Porque, lo de "positivo", "negativo", equivale a mayor o menor que cero. Si hay otro número que no sea cero, o cualquier otra cosa que no sea cero, no se puede resolver así. Primero hay que hacer algo (pasos matemáticamente válido) para que quede solamente el cero de un lado. Por ejemplo:



No se puede resolver como te mostré antes. Porque, que una fracción sea mayor que 4 no significa nada que nos sirva. Tiene que ser mayor que cero (positivo) para poder usar lo que vimos arriba. Así que, en este ejemplo, podríamos hacer lo siguiente para que quede "0" en vez del "4":









Ahora sí que se puede aplicar lo que vimos antes. Para hacer esos pasos hay que saber suma y/o resta de Expresiones algebraicas racionales: buscar denominador común, etc. Ese tema está desarrollado en la página:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS - SUMA Y RESTA

Bueno, espero que con esto trates de resolver tú un ejercicio con "menor que cero". Por ejemplo:



Y pruebes también continuar el ejemplo que puse con "mayor o igual que cero". Cualquier duda me vuelves a consultar.